探究高考中的直角折線距離問題

甘大旺

在坐標平面內(nèi)，與兩點間的直線段距離相比較，近年來高考命題專家熱衷于兩點間、多點間依托縱橫方向的“直角折線距離”問題，本文來探究之.

例1 （2014年江西省高考題）對任意x、y∈R，x-1+x+y-1+y+1的最小值為（ ?）.

A.1 ? B.2 ? C.3 ? D.4

解 由于x-1+x≥（x-1）-x=1

（其中當(dāng)0≤x≤1時取等號）

且y-1+y+1≥（y-1）-（y+1）=2

（其中當(dāng)-1≤y≤1時取等號），

則x-1+x+y-1+y+1的最小值為1+2=3.

所以選C.

圖1

探析 ①上述解法用到一個實數(shù)絕對值的不等式u-a+u-b≥a-b（其中當(dāng)b≤u≤a時取等號）;②如圖1，此題的命題意圖是求坐標平面內(nèi)的動點P（x，y）到兩個定點M（1，1）、N（0，-1）間沿垂直于坐標軸方向的“直角折線距離”，該距離取最小值3時動點P的軌跡是矩形區(qū)域{（x，y）0≤x≤1，-1≤y≤1}.

例2 （2014年福建省高考題）在平面直角坐標系中，兩點P1x1，y1，P2x2，y2間的“L-距離”定義為‖P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|，則平面內(nèi)與x軸上兩個不同的定點F1、F2的“L-距離”之和等于定值（大于‖F(xiàn)1F2|）的點的軌跡可以是（ ?）.

A. ? ?B. ? ?C. ? ?D.

解 依題意設(shè)兩個定點F1（-m，0）、F2（m，0），其中常數(shù)m>0，則F1F2=2m.設(shè)動點P（x，y）與兩個定點F1、F2的“L-距離”之和等于定值2n，其中n>m，則PF1+PF2=2n，即就是

（x+m+y）+（x-m+y）=2n.

當(dāng)y≥0時，y=x+n，-n≤x≤-m;

n-m，-m≤x≤m;

-x+n，m≤x≤n.

當(dāng)y≤0時，y=-x-n，-n≤x≤-m;

-n+m，-m≤x≤m;

x-n，m≤x≤n.

所以，點P的軌跡是六邊形，故選A.

探析 這里給出臨時定義“L-距離”，其實是一般的直角折線距離，后面例題的臨時定義雖然本質(zhì)不變，但說法及其記號都有變化.

例3 （2006年福建省高考題，2009年珠海市競賽題）對于直角坐標平面內(nèi)的任意兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），定義它們之間的一種“距離”：AB=x1-x2+y1-y2.給出下列三個命題：

①若點C在線段AB上，

則AC+CB=AB;

②在△ABC中，若∠C=90°，

則AC2+CB2=AB2;

③在△ABC中，AC+CB>AB.

其中，真命題的個數(shù)為（ ?）.

A.0 ? B.1 ? C.2 ?D.3

解 對于命題①，由于點C在線段AB上，

則xA≤xC≤xB或xA≥xC≥xB

yA≤yC≤yB或yA≥yC≥yB，

則AC+CB

=xA-xC+yA-yC+xC-xB+yC-yB

=xA-xC+xC-xB+yA-yC+yC-yB

=xA-xB+yA-yB=AB，則①是真命題.

對于命題②，不妨取C（0，0）、A（-1，1）、B（2，2），則∠ACB=90°，但此時AC2+CB2

-AB2=（1+1）2+（2+2）2-（3+1）2≠0.所以，②是假命題.

圖2對于命題③，不妨取A（0，0）、B（3，2）、

C（2，1），則此時AC+CB-AB

=（2+1）+（1+1）-（3+5）=0.所以，③是假命題.

所以選B.

探析 這里的真命題①是直角折線距離的一個基本性質(zhì)，其直觀意義如圖2所示.

例4 （2010年廣東省高考題）已知A（x1，y1）、B（x2，y2）是平面直角坐標系xOy上的兩點，定義由點A到點B的一種折線距離ρ（A，B）=x1-x2+y1-y2.

對于平面xOy上給定的不同兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），解答下列問題.

（Ⅰ）若點C（x，y）是平面xOy上的點，試證明：ρ（A，C）+ρ（C，B）≥ρ（A，B）;

（Ⅱ）在平面xOy上是否存在點C（x，y），同時滿足：（ⅰ）ρ（A，C）+ρ（C，B）=ρ（A，B）;（ⅱ）ρ（A，C）=ρ（C，B）.若存在，請求出所有符合條件的點;若不存在，請予證明.

解 （Ⅰ）因為ρ（A，C）+ρ（C，B）

=（x1-x+y1-y）+（x-x2+y-y2）

=（x1-x+x-x2）+（y1-y+y-y2）

≥x1-x2+y1-y2=ρ（A，B），

所以ρ（A，C）+ρ（C，B）≥ρ（A，B）.

（Ⅱ）取點C（x，y）使x=x1+x22，y=y1+y22，驗知此時點C（x，y）同時滿足條件（ⅰ）、（ⅱ），則存在點C滿足題意，且所有符合條件的點C是線段AB的中點（x1+x22，y1+y22）.

探析 此例的兩個小題都是例3的唯一真命題①的拓廣和推論，可畫圖示意之.

例5 （2009年上海市高考題）某地街道呈現(xiàn)東——西、南——北向的網(wǎng)格狀，相鄰街距都為1.兩街道相交的點稱為格點.若以互相垂直的兩條街道為軸建立直角坐標系，現(xiàn)有下述格點（-2，2），（3，1），（3，4）（-2，3），（4，5），（6，6）為報刊零售點.請確定一個格點（除零售點外） ? 為發(fā)行站，使6個零售點沿街道到發(fā)行站之間路程的和最短.

解 依題意，設(shè)發(fā)行站的格點坐標是P（x，y），則6個零售點沿街道到發(fā)行站之間路程的和為

S=（x+2+y-2）+（x-3+y-1）+（x-3+y-4）

+（x+2+y-3）+（x-4+y-5）+（x-6+y-6）=（x+2+x+2+x-3+x-3+x-4+x-6）+（y-1+y-2+y-3+y-4+y-5+y-6）.于是，當(dāng)x=3且3≤y≤4時，S取得最小值Smin=14+9=23.因為還要考慮到除零售點外的格點（如圖3），所以發(fā)行站的位置坐標是（3，3）.

圖3

探析 ①直角折線距離的一個現(xiàn)實典型應(yīng)用是垂直街道網(wǎng)的直達輸送的最短行程問題;②一般地，設(shè)t1≤t2≤t3≤…≤tn，其中n∈N+，并記絕對值和式S（t）=t-t1+t-t2+t-t3+…+t-tn，則當(dāng)n=2k-1（k∈N+）時S（t）的最小值S（t）min=S（tk），當(dāng)n=2k（k∈N+）時S（t）的最小值S（t）min=S（t′）（其中t′適合tk≤t′≤tk+1）.

例6 （2013年湖南省高考題）在平面直角坐標系xOy中，將從點M出發(fā)沿縱、橫方向到達點N的任一路徑稱為M到N的一條“L路徑”.某地有三個新建的居民區(qū)，分別位于平面xOy內(nèi)三點A（3，20）、B（14，0）、C（-10，0）處.現(xiàn)計劃在x軸上方區(qū)域（包含x軸）內(nèi)的某一點P（x，y）處修建一個文化中心.

（1）寫出點P到居民區(qū)A的“L路徑”長度最小值的表達式（不要求證明）;

（2）若以原點O為圓心，半徑為1的圓的

內(nèi)部是保護區(qū)，“L路徑”不能進入保護區(qū)，請確定點P的位置，使其到三個居民區(qū)的“L路徑”長度值和最小.

解 （1）點P到居民區(qū)A的“L路徑”長度最小值的表達式d=x-3+y-20，這里x∈R、y≥0.

（2）假如不考慮半徑為1的保護區(qū)，則點P到三個居民區(qū)的“L路徑”的最短長度和為

d1=（x-3+y-20）+（x-14+y）+（x+10+y）=（x+10+x-3+x-14）+（y+y+y-20）

≥（3+10+3-3+3-14）+（0+0+0-20）=43.

圖4

此時，點P位于（3，0），但要經(jīng)過保護區(qū)的區(qū)域x2+y2<1.如圖4，為了完全符合題意，作出調(diào)整

不妨使以C點引發(fā)的路徑先過點C′（-10，1），則點P到三個居民區(qū)的“L路徑”的最短長度和為

d2=（x-3+y-20）+（x-14+y）

+（1+x+10+y-1）

=（x+10+x-3+x-14）+（y+y-1+y-20）+1≥（3+10+3-3+3-14）+（1+1-1+1-20）+1=45（其中當(dāng)x=3、y=1時取等號）.

所以，符合題意的點P的位置是（3，1）.

探析 此例中，點A與點P的最短“L路徑”只有1條，點B與點P的最短“L路徑”有無數(shù)條，點C與點P的最短“L路徑”也有無數(shù)條.這里只是“不妨使以C點引發(fā)的路徑先過點C′（-10，1）”，其實也能夠以橫、縱方向依次經(jīng)過點C（-10，0）、C1（-5.5，0）、C2（-5.5，1）、P（3，1），等等，這并不影響第（2）小題最后的解題結(jié)論.

綜上所述，本文只是探究平面上的直角折線距離（有時可用其它名稱和記號）;作為該探究的一個最近發(fā)展區(qū)，我們可以預(yù)見不遠的將來還可能遇到三維空間上的直角折線距離問題.