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    導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用

    2015-07-07 18:56:56劉成明
    關(guān)鍵詞:單調(diào)性不等式導(dǎo)數(shù)

    劉成明

    摘要:江蘇省普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)要求中明確指出要能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,而利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式證明中的一個(gè)難點(diǎn)。解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù),把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值,從而證得不等式,而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。

    關(guān)鍵詞:函數(shù);導(dǎo)數(shù);不等式;單調(diào)性

    中圖分類號:G427文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 文章編號:1992-7711(2015)09-093-2

    在江蘇省新課標(biāo)中新增加了正余弦函數(shù)、指對數(shù)函數(shù)等初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),因此考察的知識面加寬了很多,例如導(dǎo)數(shù)可以和數(shù)列、三角、向量、不等式、解析幾何等內(nèi)容相互交融,進(jìn)而衍生出很多綜合性的題目.在這里,筆者對導(dǎo)數(shù)與不等式相結(jié)合的問題進(jìn)行了探究:

    一、直接作差構(gòu)造函數(shù)證明

    例1已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)=12x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a>0.設(shè)兩曲線f(x),g(x)有公共點(diǎn),且在該點(diǎn)處的切線相同.

    (1)用a表示b,并求b的最大值;

    (2)求證:f(x)≥g(x)(x>0).

    解析:(1)公共點(diǎn)為(a,52a2),b=52a2-3a2lna(具體略)

    (2)設(shè)F(x)=f(x)-g(x)=12x2+2ax-3a2lnx-b(x>0)

    則F′(x)=x+2a-3a2x=(x-a)(x+3a)x(x>0).

    故F(x)在(0,a)上為減函數(shù),在(a,+∞)上為增函數(shù).

    于是函數(shù)F(x)在(0,+∞)上的最小值是F(a)=0.

    故當(dāng)x>0時(shí),有f(x)-g(x)≥0,即x>0時(shí),有f(x)≥g(x).

    本題求證的是f(x)≥g(x)(x>0),因此只需證明f(x)-g(x)≥0在x>0上恒成立即可,令F(x)=f(x)-g(x),然后利用導(dǎo)數(shù)研究新的函數(shù)F(x)的單調(diào)性,求出最值,進(jìn)而證明出原命題成立.

    二、導(dǎo)數(shù)是函數(shù)所特有的,沒有函數(shù)就構(gòu)造函數(shù)

    例2證明對任意的正整數(shù)n,不等式ln(1n+1)>1n2-1n3恒成立.

    證明:令函數(shù)h(x)=x3-x2+ln(x+1),

    則h′(x)=3x2-2x+1x+1=3x3+(x-1)2x+1

    所以當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),h′(x)>0,所以函數(shù)h(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,又h(0)=0,所以當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),恒有h(x)>h(0)=0,即ln(x+1)>x2-x3恒成立,對任意正整數(shù)n,取x=1n∈(0,+∞),則有l(wèi)n(1n+1)>1n2-1n3,

    所以結(jié)論成立.

    本題的核心部分是構(gòu)造新函數(shù)h(x)=x3-x2+ln(x+1),取x=1n∈(0,+∞),把本是定義在正整數(shù)集上的不等式轉(zhuǎn)化為定義在(0,+∞)上這一連續(xù)區(qū)間上的函數(shù)進(jìn)行研究.從這一題我們便自然而然有了這樣的想法:數(shù)列問題中的不等式是不是有的也可以觸類旁通的去解決呢?請看下一題:

    三、數(shù)列也是一類特殊的函數(shù)

    例3已知分別以d1和d2為公差的等差數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=18,b14=36,

    (1)若d1=18,且存在正整數(shù)m,使得a2m=bm+14-45,求證:d2>108;

    (2)若ak=bk=0,且數(shù)列a1,a2,…,ak,bk,bk+1,…,b14的前n項(xiàng)和Sn滿足S14=2Sk,求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;

    (3)在(2)的條件下,令cn=aan,dn=abn,a>0,且a≠1,問不等式cndn+1≤cn+dn是否對一切正整數(shù)n恒成立?請說明理由.

    解析:(1)、(2)略

    (3)證明:由(2)知an=-2n+20,bn=9n-90,

    令f(n)=(cn-1)(dn-1)=(a9n-90-1)(a20-2n-1)

    再次換元將n-10換成x,則x∈[-9,+∞),

    令g(x)=(a9x-1)(a-2x-1)=a7x-a9x-a-2x+1

    所以g′(x)=7a7xlna-9a9xlna+2a-2xlna

    =7a7xlna(1-a2x)+2a-2xlna(1-a11x)

    當(dāng)a>1時(shí),lna>0,a7x>0,a-2x>0

    當(dāng)x∈[-9,0]時(shí),1-a2x≥0,1-a11x≥0,此時(shí)g′(x)≥0,函數(shù)y=g(x)單調(diào)遞增;

    當(dāng)x∈(0,+∞]時(shí),1-a2x<0,1-a11x<0,此時(shí)g′(x)<0,函數(shù)y=g(x)單調(diào)遞減;

    所以當(dāng)x∈[-9,+∞)時(shí),g(x)max=g(0)=0,

    即:x∈[-9,+∞)時(shí),g(x)≤0恒成立,即f(n)=(cn-1)(dn-1)≤0恒成立,

    即:cndn+1≤cn+dn對一切正整數(shù)n恒成立,

    同理當(dāng)0本題的做法是把n-10換成x,從而構(gòu)造了一個(gè)特殊的函數(shù)g(x)=(a9x-1)(a-2x-1),這種做法不易想到,但是數(shù)列可以看做是一種特殊的函數(shù),因此用函數(shù)的思想解決數(shù)列問題理所當(dāng)然,用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)列中的不等式問題也就在情理之中了.

    四、主元思想構(gòu)造函數(shù)

    例4已知函數(shù)f(x)=12x2-2x,g(x)=logax(a>0,a≠1).如果h(x)=f(x)+g(x)是增函數(shù),且h′(x)存在零點(diǎn)(h′(x)為h(x)的導(dǎo)函數(shù)).

    (1)求a的值;

    (2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1證明:x1

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