一類面積最值問(wèn)題解法探究

徐世奎

【摘 要】數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一就是它具有嚴(yán)密的系統(tǒng)性，數(shù)學(xué)的知識(shí)、思想、方法之間都有密切的內(nèi)在聯(lián)系。要理解和掌握數(shù)學(xué)的知識(shí)、思想和方法，不僅要理解和掌握數(shù)學(xué)的每一個(gè)知識(shí)、思想和方法，而且還要理解和掌握數(shù)學(xué)的知識(shí)、思想、方法之間的內(nèi)在聯(lián)系。那么善于總結(jié)歸納數(shù)學(xué)思想與方法是學(xué)好數(shù)學(xué)的必須。

【關(guān)鍵詞】面積;拋物線;二次函數(shù)

本文以一道習(xí)題的多種解題方法出發(fā)，體會(huì)總結(jié)歸納數(shù)學(xué)思想方法對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好處。

問(wèn)題：已知拋物線y=ax2+bx+c沿x軸向右平移2個(gè)單位后所得拋物線為y=ax2-4ax+4a+1，正方形ABCD的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其邊分別平行于坐標(biāo)軸，以O(shè)為圓心的圓在第二象限內(nèi)與正方形ABCD相交于點(diǎn)P、Q，且P、Q在拋物線y=ax2+bx+c上。

（1）求a的取值范圍;

（2）設(shè)AB交X軸于點(diǎn)E，若PE⊥EC.求E、C兩點(diǎn)的坐標(biāo);

（3）在（2）的條件下，設(shè)直線AC與y=ax2+bx+c相交于M、N，問(wèn)在直線AC上方的拋物線y=ax2+bx+c上，是否存在一點(diǎn)T，使得△MNT的面積最大？若存在求出最大面積，并指出此時(shí)T的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

分析：（1）分析說(shuō)理或論證均可。

（2）利用相似求出P、Q，坐標(biāo)是關(guān)鍵。

（3）如何求面積最大值，利用代數(shù)或幾何方法均可，這將是本文探究的重點(diǎn)。

解析：

（1）通過(guò)觀察y=ax2-4ax+4a+1，不難發(fā)現(xiàn)y=a（x-2）2+1，將其沿x軸向左平移2個(gè)單位后就成了y=ax2+bx+c，故y=ax2+bx+c即為y=ax2+1。

方法一（敘述說(shuō)理）

∵y=ax2+1的對(duì)稱軸為y軸，經(jīng)過(guò)P、Q兩點(diǎn)

∴拋物線的開(kāi)口必須向下

∴a<0

方法二（論述說(shuō)理）

設(shè)P（xp，yp） Q（xQ，yQ），將其帶入y=ax2+1得

yp=axP2+1，yQ=axQ2+1

∴axP2-axQ2=yp-yQ

∴a（xp+xQ）（xp-xQ）=yp-yQ

∵yp>yQ，，xp>xQ，xp<0，xQ<0

∴xp+xQ<0，xp-xQ：>0，yp-yQ>0

∴a= ?<0

（2）易知△APE∽△BEC，故有 ?= ?= ?，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，0），則P（ ?x0，-x0），根據(jù)HL知△PHOE≌△QEO，故Q（x0，- ?x0），將P，Q坐標(biāo)代入y=ax2+1中得：

x ? ?+1=-x0ax ? ?+1=- ?x0解之得，x0=- ?，a=-

∴E=（- ?，0），C（ ?，- ?）

（3）方法一：幾何法，利用與直線AB平行的直線當(dāng)與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，△MNT以MN為底邊的高最大，從而面積最大。

由A（- ?， ?），C（ ?，- ?）得直線解析式y(tǒng)=-x，故由y=-x+by=- ?x2+1得 ?x2-x+b-1=0，由△=0得b=

由 ?x2-x+ ?=0得x= ?，∴T（ ?， ?）

方法二：幾何法，將△MNT如圖分解成兩個(gè)共底的三角形。

S△MNT=S△MST+S△SNT= ?TS（h1+h2）= ?TS×GN

而GN長(zhǎng)度一定，要使S△MNT最大，則TS長(zhǎng)度最大

設(shè)T（x1，- ?x ? ?+1），則S（x1，-x1）

故TS=TS=-- ?x ? ?+x1+1=- ?[（x1- ?）2+ ?]

∴當(dāng)x1= ?時(shí)TS最大，此時(shí)T（ ?， ?）

方法三：代數(shù)法，構(gòu)建關(guān)于△MNT的面積的二次函數(shù)是關(guān)鍵。

設(shè)T（x0，y0）

S△MNT=S四邊形MGNT-S△MGN=（S梯形MGST+S△TSN）-S△MGN

故應(yīng)先求出M、N的坐標(biāo)，從而得出以x0為自變量的S的二次函數(shù)，求出最值。

可見(jiàn)一題多解，就是對(duì)于同一問(wèn)題，由于觀察的角度不同、側(cè)重點(diǎn)不同，運(yùn)用知識(shí)的不同，思考方向和思維力度的不同，從而得到不同的解法。采用不同方法求解，是開(kāi)拓學(xué)生思路，培養(yǎng)學(xué)生將已學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通的一個(gè)重要途徑，用多種方法解答同一道數(shù)學(xué)題，不僅能更牢固地掌握和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，而且，通過(guò)一題多解，分析比較，尋找解題的最佳途徑和方法，能夠培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力。

（作者單位：湖北省宜昌市夷陵區(qū)分鄉(xiāng)初中）