基于迭代更新策略的快速高精度頻率估計(jì)方法

高志峰, 彭喜元， 彭 宇

1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化測試與控制研究所，哈爾濱 150080；2. 山東大學(xué) 機(jī)電與信息工程學(xué)院，山東 威海 264209)

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基于迭代更新策略的快速高精度頻率估計(jì)方法

高志峰1,2, 彭喜元1， 彭 宇1

1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化測試與控制研究所，哈爾濱 150080；2. 山東大學(xué) 機(jī)電與信息工程學(xué)院，山東 威海 264209)

基于濾波器組的譜估計(jì)方法用于信號(hào)頻率估計(jì)頻率雖分辨率高,但濾波器組中心頻率格點(diǎn)劃分缺乏先驗(yàn)知識(shí)，譜峰搜索過程存在計(jì)算復(fù)雜、信號(hào)不匹配問題。基于MVDR(Minimum Variance Distortionless Response)譜構(gòu)造指標(biāo)函數(shù)，將譜峰搜索問題等價(jià)為標(biāo)量指標(biāo)函數(shù)局部極小值問題求解，通過構(gòu)造一組最速下降方向及自適應(yīng)步長對(duì)極值頻率迭代更新，實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)頻率的直接估計(jì)。新算法不僅回避中心頻率點(diǎn)組劃分及傳統(tǒng)的譜峰搜索，且有效緩解信號(hào)不匹配，估計(jì)精度、計(jì)算效率更高。對(duì)單成分信號(hào)頻率估計(jì)精度與計(jì)算量進(jìn)行新算法與現(xiàn)有算法的性能比較，并用于多成分信號(hào)頻率估計(jì)。

頻率估計(jì)；迭代算法；自適應(yīng)步長；MVDR

信號(hào)頻率估計(jì)在機(jī)械振動(dòng)信號(hào)監(jiān)測及故障特征參數(shù)提取、電網(wǎng)狀態(tài)監(jiān)測、雷達(dá)、通訊、語音信號(hào)識(shí)別等眾多領(lǐng)域占據(jù)重要地位[1-8]。頻率估計(jì)方法主要有參數(shù)化法及非參數(shù)法兩類。參數(shù)化方法假設(shè)信號(hào)滿足特定的數(shù)學(xué)模型，頻率分辨率更高，但模型失配時(shí)性能不佳且數(shù)學(xué)模型對(duì)相關(guān)參數(shù)初始值有諸多限制；而非參數(shù)化法無需建模應(yīng)用更靈活，且可同時(shí)獲取頻率、幅值及相位等特征信息，但大多通過頻域譜峰搜索實(shí)現(xiàn)頻率估計(jì)，普遍存在計(jì)算量與估計(jì)精度的矛盾。如何快速、準(zhǔn)確得到信號(hào)成分的頻率估計(jì)具有重要研究、應(yīng)用價(jià)值。

最大似然估計(jì)(Maximum Likehood, ML)方法及非線性最小二乘(Nonlinear Least Square,NLS)方法可獲得最優(yōu)信號(hào)頻率估計(jì)，但計(jì)算量巨大，且提高頻率分辨率需較長采樣序列?；陬l域的改進(jìn)算法大多包含兩步，即采取快速離散傅里葉頻譜粗搜索提高計(jì)算效率，進(jìn)而采取相位差法(Phase Different,PD)或迭代頻域細(xì)化搜索或頻域插值(frequency-domain interpolation)[9-10]法提高估計(jì)精度。在時(shí)域中通過信號(hào)建?？商岣哂?jì)算效率，包括基于線性預(yù)測(Linear Prediction,LP)模型及相位平均(Phase Average,PA)[11-14]?；诓蓸訑?shù)據(jù)自相關(guān)函數(shù)(autocorrelation-based)方法與基于迭代自回歸滑動(dòng)(Autoregressive Moving Average，ARMA)模型[15]方法等。信號(hào)建模頻率分辨率較高，但大多屬于次優(yōu)估計(jì)，在低信噪比時(shí)頻率估計(jì)性能不佳且存在模型失配問題。以上算法多適用于單頻率信號(hào)。

將短采樣數(shù)據(jù)上具有高分辨率的功率譜估計(jì)方法用于多頻率成分信號(hào)頻率估計(jì)[16-20]?；趨f(xié)方差矩陣子空間分解的多重信號(hào)分類(Multiple Signal Classification, MUSIC)[16]及旋轉(zhuǎn)不變信號(hào)參數(shù)估計(jì)(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Technique,ESPRIT)[17]方法具有噪聲抑制能力，但其特征空間分解缺乏先驗(yàn)知識(shí)，易造成空間維數(shù)判別失衡而得到有偏估計(jì)。基于匹配濾波組理論[18]的譜估計(jì)方法，利用一組均勻分割的頻率格點(diǎn)進(jìn)行功率譜估計(jì)，并通過譜峰搜索實(shí)現(xiàn)。而預(yù)劃分頻率格點(diǎn)數(shù)目有限難以與信號(hào)頻率成分完全匹配，存在固有信號(hào)不匹配(Signal Mismatch Problem,SMP)問題[19]，包括最小方差無失真響應(yīng) (Minimum Variance Distortionless Response,MVDR)[20]及幅值與相位估計(jì)(Amplitude and Phase Estimation,APES)[21]等方法。理論表明傅里葉譜估計(jì)器也屬于匹配濾波器組譜估計(jì)方法[22]。基于預(yù)劃分均勻頻率格點(diǎn)的譜峰搜索，計(jì)算量與估計(jì)精度間存在固有矛盾關(guān)系。采取兩步式搜索實(shí)現(xiàn)頻率估計(jì)[23]：進(jìn)行譜峰頻率粗搜索，采取二分法迭代搜索以提高估計(jì)精度緩解計(jì)算量，但粗搜索步驟所需計(jì)算量不可忽視。

本文提出基于迭代策略的譜峰頻率搜索算法，以回避傳統(tǒng)的譜峰搜索方式，在提高估計(jì)精度的同時(shí)降低計(jì)算量。基于MVDR譜定義標(biāo)量指標(biāo)函數(shù)，由指標(biāo)函數(shù)極小值估計(jì)MVDR譜峰頻率。新算法基于最速下降法，由標(biāo)量梯度函數(shù)構(gòu)造一組迭代方向并計(jì)算最優(yōu)更新步長，且迭代更新過程收斂到指標(biāo)函數(shù)局部極小值。因無需預(yù)先劃分頻率格點(diǎn)，可緩解信號(hào)不匹配，且在頻率估計(jì)精度提高的同時(shí)降低計(jì)算量。新算法適用于單頻率信號(hào)，若結(jié)合初始頻率選擇策略，可直接推廣到多頻率信號(hào)頻率估計(jì)。在仿真、試驗(yàn)中從精度、計(jì)算量角度對(duì)算法性能進(jìn)行分析比較。

1 基于MVDR譜的頻率估計(jì)

含噪聲的時(shí)域采樣信號(hào)可近似為多成分正弦信號(hào)組合，即

(1)

式中：Ai,fi,φi分別為頻率成分幅值、頻率、初始相位；Ts為采樣周期；v(n)為加性高斯白噪聲。

則問題等價(jià)為通過MVDR譜峰角頻率ωi得到對(duì)信號(hào)時(shí)頻率fi的估計(jì)值fi=ωi/(2πTs)。

長度為N的采樣信號(hào)通過Hilbert變換轉(zhuǎn)換為復(fù)信號(hào)進(jìn)行功率譜估計(jì)，其MVDR譜估計(jì)記為

(2)

式中：上標(biāo)H表示共軛轉(zhuǎn)置；R為L維協(xié)方差矩陣；f(ω)為定義在角頻率ω∈[0,2π)的L維搜索向量，即

f(ω)=[1 e-jω… e-j(L-1)ω]T

(3)

式中：上標(biāo)T表示矩陣及向量轉(zhuǎn)置運(yùn)算。

若搜索向量f(ω)與信號(hào)x(n)頻率相同，則對(duì)應(yīng)MVDR譜中的尖銳譜峰(局部極大值)。取式(2)分母作為指標(biāo)函數(shù)，即

g(ω)=fH(ω)R-1f(ω)

(4)

則所有的MVDR譜峰均對(duì)應(yīng)指標(biāo)函數(shù)g(ω)的局部極小值點(diǎn)。本文采取最速下降方法構(gòu)造g(ω)局部極小值頻率迭代式為

ωk=ωk-1-μkωg(ωk-1)

(5)

式中：μk為第k次迭代中正實(shí)數(shù)值步長；ωg(ωk-1)為指標(biāo)函數(shù)g(ω)在角頻率ωk-1處標(biāo)量梯度函數(shù)。

2 迭代頻率估計(jì)算法

2.1 梯度函數(shù)及自適應(yīng)步長

搜索向量f(ω)關(guān)于角頻率ω的梯度函數(shù)定義為

[0 … -j(L-1)e-j(L-1)ω]T=-jJf(ω)

(6)

式中：J=diag([0,1,…,L-1])為常系數(shù)對(duì)角矩陣。

指標(biāo)函數(shù)g(ω)關(guān)于角頻率ω的梯度函數(shù)定義為

jfH(ω)JR-1f(ω)-jfH(ω)R-1Jf(ω)

(7)

由jfH(ω)JR-1f(ω)=[-jfH(ω)R-1Jf(ω)]H簡化為

ωg(ω)=-2Im[fH(ω)JR-1f(ω)]

(8)

則頻率ωk上的梯度函數(shù)ωg(ωk)為實(shí)數(shù)值標(biāo)量函數(shù)，且在局部極小值頻率上滿足)=0。

由式(4)、(5)知，最優(yōu)迭代步長μk對(duì)應(yīng)最小化問題

(9)

隨角頻率變量ωk迭代更新，函數(shù)g(ω)單調(diào)下降并收斂到局部極小值點(diǎn)。為獲得指標(biāo)函數(shù)g(ω)閉式表達(dá)式，將指數(shù)函數(shù)ejmωk進(jìn)行一階泰勒展開并線性化處理

e-jmωk≈e-jmωk-1-jme-jmωk-1(ωk-ωk-1)≈

e-jmωk-1[1+jmμkωg(ωk-1)]

代入式(3)得f(ωk)關(guān)于f(ωk-1)的近似表達(dá)式為

f(ωk)=(I+jμkωg(ωk-1)J)f(ωk-1)

(10)

式中：I為L維的單位對(duì)角陣。

將式(10)代入式(4)，得函數(shù)g(ωk)閉式表達(dá)式為

g(ωk)=fH(ωk-1)R-1f(ωk-1)-

jμkωg(ωk-1)fH(ωk-1)JR-1f(ωk-1)+

jμkωg(ωk-1)fH(ωk-1)R-1Jf(ωk-1)+

(11)

對(duì)步長μk求偏導(dǎo)，得梯度函數(shù)表達(dá)式為

μg(ωk)=-jωg(ωk-1)fH(ωk-1)JR-1f(ωk-1)+

jωg(ωk-1)fH(ωk-1)R-1Jf(ωk-1)+

(12)

將式(7)代入式(12)，得

(13)

由于Jf(ωk-1)為非零向量及逆矩陣R-1存在，則迭代步長μk均為正實(shí)數(shù)標(biāo)量。

2.2 迭代算法和收斂性分析

由式(5)、(7)、(13)獲得指標(biāo)函數(shù)局部極值的迭代求解算法(Single local minimum Iterative algorithm，SITER )，主要步驟為

步驟1: 起始角頻率ω0，Q=JR-1,U=JR-1J，k=1

步驟2: 由式(7)計(jì)算頻率點(diǎn)ωk-1對(duì)應(yīng)的梯度函數(shù)

ωg(ωk-1)=-2Im[fH(ωk-1)Qf(ωk-1)]

步驟3: 由式(13)計(jì)算迭代步長μk

μk=1/[2fH(ωk-1)Uf(ωk-1)]

步驟4: 更新頻率變量ωk=ωk-1-μkωg(ωk-1)，k=k+1，跳轉(zhuǎn)到Step2繼續(xù)執(zhí)行。

證明：由式(5)及迭代步長μk>0，性質(zhì)1自然成立。

證明：由式(4)，對(duì)可逆矩陣R, 指標(biāo)函數(shù)g(ω)≥0為正值標(biāo)量函數(shù)，存在下界。由式(9)獲得自適應(yīng)步長滿足g(ωk)≤g(ωk-1)，即指標(biāo)函數(shù)值單調(diào)下降。由式(11)得，當(dāng)且僅當(dāng)ωg(ωk-1)=0時(shí)等式成立g(ωk)=g(ωk-1)，即得到局部極小值點(diǎn)。

2.3 頻率估計(jì)解析解法

若信號(hào)中除噪聲外僅含單頻率成分，取矩陣維數(shù)L=2即可區(qū)分。由于此時(shí)指標(biāo)函數(shù)g(ω)僅存在一個(gè)極小值點(diǎn)，可推導(dǎo)獲得頻率估計(jì)得解析表達(dá)式。記L=2維滿秩酉對(duì)稱協(xié)方差矩陣R及逆矩陣R-1分別為

(14)

式中：a22>0為正實(shí)數(shù)；a12=-r12/det(R),det(R)>0為矩陣R的行列式。

式(7)進(jìn)一步簡化為

ωg(ω)=-2Im(fH(ω)JR-1f(ω))=

-2Im(a12e-jω+a22)=

-2{cosωIm(a12)-Re(a12)sin(ω)}

(15)

(16)

由a12=-r12/det(R), 可回避矩陣求逆運(yùn)算，得

(17)

則單成分信號(hào)頻率可由式(17)直接求得，計(jì)算時(shí)間幾乎可忽略。式(17)為SITER算法在L=2的特例，不采取迭代過程，直接由(17)式獲得信號(hào)成分頻率估計(jì) (Direct solution of the Iterative algorithm，DITER)。該算法僅適用于單頻率成分信號(hào)頻率估計(jì)，簡單易行，其頻率估計(jì)值常作為單成分信號(hào)時(shí)SITER算法迭代頻率初始值。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 單頻率成分信號(hào)的頻率估計(jì)

式(1)中頻率f=203.1 Hz，A=1，采樣長度32，采樣頻率fs=1 500 Hz，采樣周期Ts=1/fs。

DITER算法與Rife-ML方法及未加窗的線性預(yù)測(Kay-ULP)、相位平均(Kay-UPA)方法的均方誤差(Mean Square Error, MSE)隨輸入信噪比(Signal Noise Ratio, SNR)變化，并與Cramer-Rao Lower Bound (CRLB)比較見圖1。由圖1看出，Rife-ML方法基于周期圖譜峰搜索實(shí)現(xiàn)，驗(yàn)證ML估計(jì)的最優(yōu)性，但計(jì)算量繁重。而DITER、Kay-ULP、Kay-UPA算法性能接近，與CRLB存在約6 dB閾值，因數(shù)據(jù)截取時(shí)均未加窗導(dǎo)致頻譜泄漏，可加窗修正。DITER算法計(jì)算量少為優(yōu)點(diǎn)所在。

圖1 不同信噪比對(duì)應(yīng)的均方誤差Fig.1 Mean square error versus different SNR

取L=2, SNR=40 dB，在K=200，2 000，3 000頻率格點(diǎn)的MVDR譜估計(jì)結(jié)果見圖2。由圖2看出，K越大頻率間隔越小，頻率估計(jì)精度越高，但計(jì)算量呈級(jí)數(shù)增加。圖2(d)為由式(17)直接所得DITER算法的頻率估計(jì)值，并由式(2)計(jì)算對(duì)應(yīng)MVDR譜估計(jì)，其頻率估計(jì)最接近真實(shí)頻率203.1 Hz。

圖2 高信噪比時(shí)單頻率估計(jì)結(jié)果Fig.2 The frequency estimation with high SNR

不同信噪比及最大迭代次數(shù)對(duì)應(yīng)的均方誤差見圖3。將矩陣維數(shù)增大L=8以獲取更高頻率分辨率及更窄匹配濾波器主瓣，提高估計(jì)精度。以DITER算法(L=2)的頻率估計(jì)值作為初始頻率, 用SITER算法進(jìn)行迭代頻率更新。由圖3看出，隨SITER算法迭代次數(shù)增大(分別為3,5,10,100,200)，其估計(jì)值的均方誤差MSE越接近CLRB，頻率估計(jì)精度提高。

圖3 不同信噪比、最大迭代次數(shù)對(duì)應(yīng)的均方誤差Fig.3 Mean square error versus different SNR and different maximum iterations

圖4為L=8及SNR=20 dB時(shí)，SITER算法不同迭代次數(shù)對(duì)應(yīng)的計(jì)算量與MSE值，并與DITER算法(L=2)、標(biāo)準(zhǔn)MVDR算法(頻率格點(diǎn)數(shù)K=200, 2 000,3 000)進(jìn)行比較(所有結(jié)果均為運(yùn)行1 000次的平均值)。圖4(a)中SITER算法耗時(shí)與DITER算法相當(dāng)，略少于K=200點(diǎn)的MVDR算法進(jìn)行頻率估計(jì)及譜峰搜索所需時(shí)間；但圖4(b)中SITER算法的MSE遠(yuǎn)小于其它結(jié)果，對(duì)應(yīng)高估計(jì)精度。SITER算法打破了估計(jì)精度及復(fù)雜計(jì)算量間固有矛盾關(guān)系。

圖4 不同迭代次數(shù)對(duì)應(yīng)的時(shí)間和均方誤差Fig.4 Time and mean square error versus iteration number

3.2 多頻率成分信號(hào)頻率估計(jì)

對(duì)含隨機(jī)噪聲的多正弦成分信號(hào)，有

式中：fi分別為各成分頻率{100,254,312,410,503}Hz；信噪比取20 dB, 連續(xù)采樣256點(diǎn)(采樣頻率1 500 Hz)，初始相位隨機(jī)φi∈[0,2π)，取協(xié)方差矩陣維數(shù)L=30。

MVDR譜分別在100，500，4 000個(gè)頻率格點(diǎn)的計(jì)算見圖5(a)、(b)、(c)。圖5(d)中共需獨(dú)立5次SITER算法以獲得5個(gè)信號(hào)頻率成分，對(duì)應(yīng)的初始角頻率可采取傅里葉頻譜譜峰粗搜索獲得，或用MVDR算法在K=100頻率點(diǎn)上進(jìn)行譜峰粗搜索獲得。

圖5 MVDR與SIter算法頻率估計(jì)Fig.5 The frequency estimations of MVDR and SITER algorithm

不同算法對(duì)應(yīng)的頻率估計(jì)結(jié)果見表1。由表1看出，由SITER算法所得頻率估計(jì)精度優(yōu)于MVDR算法在4 000個(gè)頻率點(diǎn)上所得頻率估計(jì)結(jié)果。

表1 不同算法對(duì)應(yīng)的頻率估計(jì)結(jié)果

4 結(jié) 論

(1) 相對(duì)于低分辨率的傅里葉頻譜，匹配濾波器組譜估計(jì)方法在較短采樣數(shù)據(jù)上具有高分辨率。由于信號(hào)頻率成分?jǐn)?shù)目、位置未知，傳統(tǒng)譜峰搜索方法普遍存在譜線不匹配(SMP)問題，估計(jì)精度及復(fù)雜計(jì)算量之間存在固有矛盾關(guān)系，影響估計(jì)精度的提升。

(2) 為提高頻率估計(jì)精度、降低計(jì)算量，提高計(jì)算效率，本文將譜峰搜索問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)量指標(biāo)函數(shù)的局部極值計(jì)算問題，獲得局部極小值迭代算法SITER。最速下降搜索方向及最優(yōu)步長的選取滿足指標(biāo)函數(shù)單調(diào)下降，收斂到局部極小值點(diǎn)。針對(duì)單成分信號(hào)頻率估計(jì)，SITER算法簡化為解析算法DITER，無需迭代而直接計(jì)算信號(hào)頻率估計(jì)值。SITER算法推廣到多成分信號(hào)頻率估計(jì)應(yīng)用中，可對(duì)多成分信號(hào)頻率估計(jì)算法有效補(bǔ)充。

(3) 在SITER算法中采取最速下降法，主要考慮其迭代收斂過程中指標(biāo)函數(shù)值及頻率更新的單調(diào)性，但該方法收斂速度較慢，尤其在極值點(diǎn)附近。

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Fast and accurate frequency estimation with a gradient-based iterative algorithm

GAO Zhi-feng1, 2, PENG Xi-yuan1, PENG Yu1

1.Harbin Institute of Technology, Automatic Test and Control Institute, Harbin 150001, China;2.Shandong University, School of Mechanical, Electrical and Information, Weihai 264209, China)

Nonparametric spectral estimation algorithms were applied to frequency estimation for their significant performance. To avoid the signal mismatch problem and to improve the frequency estimation accuracy, a new iterative algorithm was presented based on the minimum variance distortionless response (MVDR) spectrum. With given initial frequency, searching directions and adaptive steps were derived to update the frequency sequence, which converges to a local spectral peak as the scalar gradient function goes to zero. Without the spectral peak searching on predefined analysis frequency grids, the computation is saved. The proposed algorithm was also applied to multiple component frequency estimation with carefully selected initial frequencies.

frequency estimation; iterative algorithm; adaptive step; MVDR

國家自然科學(xué)基金(61304142，61305130)

2014-04-17 修改稿收到日期：2014-06-03

高志峰 男，講師，1979年5月生

彭喜元 男，教授，1961年12月生

TP202.4

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.14.004