完全彈性支承變截面梁動(dòng)力特性半解析解

閆維明， 石魯寧， 何浩祥， 陳彥江

北京工業(yè)大學(xué) 工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124)

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完全彈性支承變截面梁動(dòng)力特性半解析解

閆維明， 石魯寧， 何浩祥， 陳彥江

北京工業(yè)大學(xué) 工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124)

基于Bernoulli-Euler梁理論對(duì)直接模態(tài)攝動(dòng)方法進(jìn)行改進(jìn)，建立求解完全彈性支承變截面梁振動(dòng)方程的半解析方法。改進(jìn)攝動(dòng)法(IPM)在等效等截面完全彈性支承梁的模態(tài)空間內(nèi)將變截面簡(jiǎn)支、連續(xù)梁的變系數(shù)微分方程組轉(zhuǎn)化為非線性代數(shù)方程組，獲得完全彈性支承變截面梁動(dòng)力特性的半解析解；推導(dǎo)彈性邊界條件下系數(shù)Δkki的具體計(jì)算公式。算例分析表明，改進(jìn)攝動(dòng)法計(jì)算精度高、收斂速度快，可有效考慮彈性支承對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性影響；據(jù)振型的對(duì)稱性給出完全彈性支承變截面對(duì)稱梁動(dòng)力特性的簡(jiǎn)便計(jì)算方法(SIPM)；研究支座出現(xiàn)損傷對(duì)變截面簡(jiǎn)支梁橋自振頻率影響。

改進(jìn)攝動(dòng)法；變截面梁；完全彈性支承；自振頻率；振型

變截面梁廣泛用于公路、城市橋梁中，其動(dòng)力特性研究已成為熱點(diǎn)；但變截面梁的振動(dòng)方程均為復(fù)雜的高階變系數(shù)微分方程，除個(gè)別結(jié)構(gòu)能獲得振動(dòng)方程的解析解[1-2]外，大部分結(jié)構(gòu)均無法獲得精確解；而具有完全彈性支承的變截面梁的振動(dòng)方程形式更復(fù)雜，常規(guī)方法無法獲得解析解。完全彈性支承變截面梁廣泛用于工程，如變截面簡(jiǎn)支梁橋、連續(xù)梁橋、軸承及階梯梁等，因此需尋求適當(dāng)方法獲得完全彈性支承變截面梁振動(dòng)方程的精確解。

Ece等[3]將變截面簡(jiǎn)支梁振動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為空間坐標(biāo)系下普通微分方程從而獲得頻率方程。Tong等[4]研究Timoshenko階梯梁的動(dòng)力特性并將變截面梁等效為多段等截面微梁段獲得振動(dòng)方程的近似解。Abrate[5]將變截面梁運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為等截面梁的運(yùn)動(dòng)方程獲得變截面梁自振頻率。錢波等[6]利用有限差分法研究變截面簡(jiǎn)支梁橫向振動(dòng)固有頻率的數(shù)值計(jì)算方法；徐騰飛等[7]采用Frobeniu方法求解變截面Bernoulli-Euler梁的振動(dòng)方程獲得級(jí)數(shù)解。以上研究均未考慮彈性邊界條件影響。Mao等[8-9]通過Adomian分解法研究變截面彈性支承Bernoulli-Euler梁的自由振動(dòng)問題，但限于特定截面變化形式；Hosking等[10]研究帶離散彈性支承等截面連續(xù)梁的振動(dòng)問題，但不適用變截面梁。Lou等[11-13]給出的復(fù)雜梁動(dòng)力特性近似分析方法-直接模態(tài)攝動(dòng)法，考慮彈性支承均為跨內(nèi)附加彈性支承，跨與跨間支承仍為理想鉸支承，且計(jì)算均基于帶鉸支承的等截面梁模態(tài)攝動(dòng)求解跨內(nèi)帶附加彈性支承與集中質(zhì)量變截面梁模態(tài)。因此直接模態(tài)攝動(dòng)方法無法用于求解具有完全彈性支承變截面梁(梁橋及軸承等結(jié)構(gòu)形式)的振動(dòng)方程。為此，本文針對(duì)該方法的不足進(jìn)行改進(jìn)，提出適用于求解完全彈性支承變截面梁動(dòng)力特性的改進(jìn)攝動(dòng)方法(IPM)，并通過算例驗(yàn)證其有效性。據(jù)振型對(duì)稱性對(duì)改進(jìn)攝動(dòng)方法進(jìn)一步改進(jìn)獲得用于求解完全彈性支承變截面對(duì)稱梁動(dòng)力特性的簡(jiǎn)化計(jì)算方法(SIPM)；利用完全彈性支承變截面梁動(dòng)力特性半解析解研究支座損傷對(duì)變截面簡(jiǎn)支梁動(dòng)力特性影響。

1 完全彈性支承變截面梁振動(dòng)方程

n跨完全彈性支承kb(b=1,2, …,n+1)變截面Bernoulli-Euler梁，見圖1(a)，其自由振動(dòng)方程為

(1)

圖1 完全彈性支承變截面梁計(jì)算模型Fig.1 Computa tion model ofnon-uniform beam with complete elastic supports

用變量分離方法[14]求解式(1)，設(shè)解的形式為

(2)

將式(2)代入式(1)，整理得

(3)

式(3)為高階變系數(shù)微分方程，本文利用改進(jìn)攝動(dòng)方法求解完全彈性支承變截面梁的振動(dòng)問題，獲得求解式(3)精確高效的解析方法。

2 改進(jìn)攝動(dòng)法

直接模態(tài)攝動(dòng)法均以帶鉸支承等效梁的模態(tài)解析解攝動(dòng)求解變截面梁的振動(dòng)方程。該方法可考慮跨內(nèi)帶附加彈性支承影響，但無法考慮彈性支座影響，因此直接模態(tài)攝動(dòng)方法不適用求解完全彈性支承變截面梁振動(dòng)問題。本文提出以完全彈性支承等效梁模態(tài)解析解攝動(dòng)求解式(3)方法，改進(jìn)的攝動(dòng)方法(IPM)可有效求解完全彈性支承變截面梁振動(dòng)問題。

2.1 改進(jìn)模態(tài)攝動(dòng)法公式推導(dǎo)

取與完全彈性支承變截面梁相同跨徑布置及材料特性的彈性支承等效等截面Bernoulli-Euler梁(圖1(b))，等效梁截面參數(shù)計(jì)算式為

(4)

(5)

式中：I0為梁截面慣性矩；A0為梁截面面積；L為梁長(zhǎng)。

變截面梁慣性矩I(x)與面積A(x)關(guān)系為

ΔI(x)=I(x)-I0

(6)

ΔA(x)=A(x)-A0

(7)

式中：ΔI(x)，ΔA(x)為x處變截面梁相對(duì)等效梁截面慣性矩及面積變化量。

完全彈性支承等效梁(圖1(b))自由振動(dòng)方程為

(8)

直接模態(tài)攝動(dòng)法帶鉸支承等效梁的振動(dòng)方程為式(8)去掉第三項(xiàng)后的形式，顯然兩種方法存在明顯差異。設(shè)等效梁第i階振動(dòng)主模態(tài)函數(shù)為φi(x)，則等效梁的特征方程可表示為

(9)

式中：λi為等效梁第i階特征值。

將式(3)的完全彈性支承變截面梁視為圖1(b)完全彈性支承等效等截面梁經(jīng)截面慣性矩I0及面積A0變化后所得新體系，其主模態(tài)函數(shù)及特征值設(shè)為

(10)

(11)

除φi(x)外等效梁其它保留主模態(tài)函數(shù)線性組合為

(12)

式中：qj為模態(tài)線性組合系數(shù)。

λiρA0Δφi(x)-λiρΔA(x)φi(x)-λiρΔA(x)Δφi(x)-

ΔλiρA0φi(x)-ΔλiρA0Δφi(x)-ΔλiρΔA(x)φi(x)-

ΔλiρΔA(x)Δφi(x)=0

(13)

將式(12)代入式(13)，兩邊同乘φk(x)(k=1,2, …,η)，沿梁長(zhǎng)L積分，并利用完全彈性支承等效等截面Bernoulli-Euler梁模態(tài)正交性簡(jiǎn)化為

Δkki-λiΔmki

(14)

式中：

(15)

(16)

(17)

式(15)、(16)可直接采用數(shù)值積分獲得，但式(17)需先簡(jiǎn)化。為此，本文將推導(dǎo)式(17)的簡(jiǎn)化公式。分別令式(14)中k=1,2, …,η，獲得η個(gè)關(guān)于未知數(shù)Δλi及qj的非線性代數(shù)方程，整理簡(jiǎn)化為矩陣形式為

[A-B+λiC+λiDqi]q-p=0

(18)

式中：

式中：q為位置向量，其第i個(gè)元素qi=Δλi/λi。

由此將變系數(shù)微分方程式(1)轉(zhuǎn)化為非線性矩陣方程式(18)。

2.2 彈性邊界條件系數(shù)計(jì)算

直接利用式(17)較難獲得系數(shù)Δkki值，需將式(17)化簡(jiǎn)間接獲得該值。已有文獻(xiàn)未給出具體計(jì)算方法，本文利用振型正交性及彈性邊界條件推導(dǎo)該系數(shù)計(jì)算公式。將式(6)代入式(17)整理得

(19)

將式(9)代入式(19)，據(jù)振型正交性簡(jiǎn)化得

(20)

將式(20)第一項(xiàng)兩次分部積分得

(21)

上式第一項(xiàng)為第i階振型邊界剪力在第k階振型位移所做功，第二項(xiàng)為第i階振型邊界彎矩在第k階振型轉(zhuǎn)角上做的功。對(duì)圖1(b)彈性支承等效梁而言，式(21)第二項(xiàng)恒為零，整理得

(22)

利用彈性支承等效梁邊界條件化簡(jiǎn)式(22)代入式(20)并整理得

k1φk(0)φi(0)+kn+1φk(L)φi(L)

(23)

由此知，利用式(23)可方便求得系數(shù)Δkki值。

2.3 非線性矩陣方程組求解

對(duì)非線性矩陣方程組式(18)的求解可用牛頓-拉夫遜法或遺傳算法、粒子群算法及模擬退火算法等并行智能算法；鑒于式(18)的Jacobian矩陣各項(xiàng)均為一次函數(shù)形式，較易獲得，因此本文采用牛頓-拉夫遜法[15]求解。牛頓-拉夫遜法對(duì)初值選取非常重要，給定合理初值不僅可減少迭代次數(shù)且可獲得更準(zhǔn)確結(jié)果。據(jù)式(18)物理意義及向量q內(nèi)各組合系數(shù)含義給定初值為

q=0

(24)

迭代終止條件為

(25)

式中：上角標(biāo)κ為求解第i階Δλi/λi系數(shù)時(shí)方程迭代次數(shù)；ξ為收斂誤差。

將所得未知向量q代入式(10)、(11)，可求得完全彈性支承變截面梁第i階自振頻率及振型。令式(10)、(11)中i=1,2,…,n，重復(fù)上述迭代過程可獲得完全彈性支承變截面梁前n階模態(tài)參數(shù)。

2.4 完全彈性支承等截面梁特征方程的解析解

為利用完全彈性支承等截面梁的模態(tài)攝動(dòng)求解完全彈性支承變截面梁模態(tài)參數(shù)，需獲得該等截面梁特征方程的解析解。其第i跨模態(tài)函數(shù)表達(dá)式[16-17]為

(26)

式中：a4=mω2/EI，ω為圓頻率；ai，Bi，Ci，Di為實(shí)常數(shù)。

據(jù)各支彈性支承處變形協(xié)調(diào)關(guān)系得

支承1處

(27)

支承n+1處

(28)

中間支承2～n處

(29)

將式(26)代入式(29)整理得

(30)

式中：

Hi-1=

循環(huán)利用式(30)可得

(31)

將式(26)代入式(27)、(28)得

(32)

(33)

式中：

將式(32)、(33)代入式(31)可得n跨完全彈性支承梁的頻率方程為

det(ΦUnNn-1Un-1Nn-2…U2N1Ψ)=0

(34)

通過式(34)可獲得n跨完全彈性支承的自振頻率，將其代入式(31)反復(fù)利用式(30)可依次獲得實(shí)常數(shù)Ai，Bi，Ci，Di值，并代入式(26)可獲得n跨完全彈性支承梁的振型函數(shù)。

3 改進(jìn)攝動(dòng)法(IPM)算例驗(yàn)證

3.1 簡(jiǎn)支梁

完全彈性支承變截面簡(jiǎn)支梁見圖2，長(zhǎng)L=10 m，寬0.5 m，壁厚0.1 m，梁高按線性變化；彈性支承剛度k1=k2=1×105kN/m，材料彈性模量約1.6×1010N/m2，密度約3 000 kg/m3；等效梁慣性矩I0=0.004 m4，面積A0= 0.12 m2，收斂誤差ξ=1×10-8。改進(jìn)攝動(dòng)方法、文獻(xiàn)[9]方法及有限元法(單元長(zhǎng)度0.1 m)計(jì)算所得前5階頻率見表1。改進(jìn)模態(tài)攝動(dòng)方法(η=9)及其它方法所得前5階振型見圖3。

圖2 變截面簡(jiǎn)支梁(單位m)Fig.2 Non-uniform simply supported beam

圖3 簡(jiǎn)支梁振型圖Fig.3 Mode shapes of simply supported beam

表1 簡(jiǎn)支梁自振頻率(單位：Hz)

Tab.1 Freq uencies of simply supported beam (Unit: Hz)

計(jì)算方法模態(tài)階次12345文獻(xiàn)[9]方法5．5931421．6513045．3752672．43695102．09113有限元方法5．5935521．6564345．3864872．47292102．18170本文方法(η=13)5．63687(3)21．83593(4)45．78902(4)73．12983(5)103．12689(5)本文方法(η=11)5．63859(3)21．84191(4)45．79165(4)73．19531(5)103．19657(5)本文方法(η=9)5．63929(3)21．84771(4)45．80685(4)73．21592(5)103．21625(5)本文方法(η=7)5．64105(3)21．85126(4)45．81213(4)73．30269(5)103．35562(5)有限元法(鉸)5．6599622．7339451．0707790．71991141．68780本文方法(η=13，鉸)5．66238(3)22．72979(4)51．05181(4)90．68339(4)141．71094(5)

注：括號(hào)內(nèi)數(shù)值為計(jì)算迭代次數(shù)；“鉸”表示邊界條件為理想鉸支承。

3.2 兩跨階梯梁

完全彈性支承兩跨階梯梁見圖4，跨徑L1=L2=5 m，梁高0.3 m，左跨梁寬0.5 m，右跨梁寬0.3 m，彈性支承剛度k1=k2=k3=2.0×107kN/m，材料彈性模量210 GPa，密度7 850 kg/m3，等效梁慣性矩I0=0.1 m4，面積A0= 0.000 85 m2，收斂誤差ξ=1×10-8。改進(jìn)攝動(dòng)方法、文獻(xiàn)[8]方法及有限元法(單元長(zhǎng)度0.1 m)計(jì)算所得前5階頻率見表2。改進(jìn)模態(tài)攝動(dòng)方法(η=9)與其它方法所得階梯梁前5階振型見圖5。

圖4 兩跨階梯梁(單位m)Fig.4 Two-span stepped beam

圖5 兩跨階梯梁振型圖Fig.5 Mode shapes of two-span stepped beam

表2 兩跨階梯梁自振頻率(單位：Hz)

Tab.2 Freg uencies of two-span stepped beam (unit: Hz)

計(jì)算方法模態(tài)階次12345文獻(xiàn)[8]方法26．7521741．60236106．78979133．18575239．42214有限元方法26．7487941．61601106．73371133．33598239．09972本文方法(η=13)26．76925(3)41．89489(4)107．06126(3)135．25317(4)240．94012(4)本文方法(η=11)26．76980(3)41．89729(4)107．06880(3)135．26780(4)241．13879(4)本文方法(η=9)26．77208(3)41．95417(4)107．10473(4)135．35991(4)241．11264(4)本文方法(η=7)26．77258(3)41．99813(4)107．11060(4)135．77552(4)241．20464(4)

注：號(hào)內(nèi)數(shù)值為計(jì)算迭代次數(shù)。

由表1、表2看出，本文IPM法計(jì)算所得前5階自振頻率與文獻(xiàn)[8-9]及有限元結(jié)果均吻合較好，且IPM法所得各階自振頻率隨η取值增大而趨向更精確結(jié)果。η=7～13時(shí)IPM法計(jì)算結(jié)果略大于文獻(xiàn)[8-9]及有限元計(jì)算結(jié)果，但I(xiàn)PM計(jì)算結(jié)果(η=13)與文獻(xiàn)[8-9]理論計(jì)算結(jié)果及有限元數(shù)值計(jì)算結(jié)果誤差均在1.5%內(nèi)，工程上可接受。本文忽略高階模態(tài)參數(shù)對(duì)攝動(dòng)結(jié)果影響，而誤差為取η值7～13所致截?cái)嗾`差，故略大于有限元數(shù)值結(jié)果；算例中有限單元長(zhǎng)度均為0.1 m，網(wǎng)格劃分較細(xì)，計(jì)算結(jié)果更接近解析解；本文計(jì)算結(jié)果精度不及有限元。IPM法屬于Ritz法，計(jì)算結(jié)果高于結(jié)構(gòu)真實(shí)值，理論上η取值越大結(jié)果越接近真實(shí)值。由圖3、圖5看出，IPM法所得彈性支承變截面梁前5階振型與文獻(xiàn)及有限元結(jié)果較一致；對(duì)比不同方法各階振型彈性支承處位移及表1第9，10行數(shù)據(jù)可知，IPM法能有效考慮彈性支承對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性影響，能獲得具有足夠精度、完全彈性支承變截面梁模態(tài)參數(shù)。

本文IPM法僅需知道完全彈性支承變截面梁材料、截面、跨徑及支座剛度信息即可獲得結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)。而有限元方法不僅需上述信息且需幾何建模及網(wǎng)格劃分，計(jì)算精度與網(wǎng)格質(zhì)量、尺寸有關(guān)，計(jì)算效率與節(jié)點(diǎn)、單元數(shù)量有關(guān)，因此IPM法在計(jì)算速度、精度上具有有限元方法無法比擬的優(yōu)勢(shì)；有限方法進(jìn)行參數(shù)敏感性分析時(shí)需手動(dòng)調(diào)節(jié)參數(shù)值，計(jì)算工作量大。而IPM法獲得完全彈性支承變截面梁的半解析解可方便快速進(jìn)行參數(shù)敏感性分析，其優(yōu)勢(shì)顯而易見。

4 改進(jìn)攝動(dòng)法在對(duì)稱梁中簡(jiǎn)化計(jì)算方法

4.1 簡(jiǎn)化計(jì)算原則及公式

據(jù)跨徑、截面對(duì)稱布置的完全彈性支持變截面梁振型對(duì)稱性將式(18)進(jìn)行簡(jiǎn)化。據(jù)動(dòng)力學(xué)基本理論，完全彈性支承變截面對(duì)稱梁奇、偶數(shù)階振型對(duì)稱性相同，而奇數(shù)階振型對(duì)稱性總與偶數(shù)階振型對(duì)稱性相反。

據(jù)式(12)在攝動(dòng)求變截面梁的偶數(shù)階振型時(shí)，等效梁的奇數(shù)階振型對(duì)稱性與偶數(shù)階振型對(duì)稱性相反將對(duì)式(18)求解起干擾影響，會(huì)增加迭代次數(shù)，影響收斂速度。因此，在攝動(dòng)求解偶數(shù)階模態(tài)參數(shù)時(shí)可僅利用等效梁的偶數(shù)階振型忽略奇數(shù)階振型影響；因此，利用等效梁前η階(設(shè)η為偶數(shù))振型攝動(dòng)求解時(shí)，式(18)可簡(jiǎn)化為

[Ac-Bc+λiCc+λiDcqci]qc-pc=0

(34)

式中：i=2, 4, 6,…；

由此，將式(18)的η個(gè)非線性方程組求解簡(jiǎn)化為式(34)的η/2個(gè)非線性矩陣方程式(28)的求解。攝動(dòng)求解奇數(shù)階模態(tài)參數(shù)時(shí)可僅利用等效梁的奇數(shù)階振型。利用等效梁的前η階(設(shè)η為奇數(shù))振型攝動(dòng)求解時(shí)，式(18)同樣可簡(jiǎn)化為式(34)形式，但各參數(shù)需相應(yīng)變化，取i=1, 3, 5,…；將式(18)η個(gè)非線性方程組的求解簡(jiǎn)化為式(34)的(η+1)/2個(gè)非線性矩陣方程式(33)求解。

4.2 簡(jiǎn)化計(jì)算方法驗(yàn)證

完全彈性支承變截面簡(jiǎn)支梁橋見圖6，分別利用IPM法、SIPM法攝動(dòng)求解模態(tài)參數(shù)見表3、表4 (限于篇幅僅給出前兩階頻率對(duì)比結(jié)果)。橋梁跨徑為20 m，混凝土標(biāo)號(hào)C50，梁底下緣及底板上緣均按二次拋物線變化，支座實(shí)際剛度為7.6×105kN/m，計(jì)算收斂誤差ξ=1×10-8。改進(jìn)攝動(dòng)方法及簡(jiǎn)化方法計(jì)算所得前5階振型見圖7 (η=9)。

圖6 簡(jiǎn)支梁布置圖 (單位: m)Fig.6 Genera l l ayout of simply supported beam

圖7 簡(jiǎn)支梁振型圖Fig.7 Mode shapes of simply supported beam

表3 一階頻率攝動(dòng)結(jié)果

Tab.3 The perturb ation results of first order frequency

注：IPM為改進(jìn)攝動(dòng)方法；SIPM為對(duì)稱變截面梁改進(jìn)攝動(dòng)法的簡(jiǎn)化計(jì)算法。

表4 二階頻率攝動(dòng)結(jié)果

由表3、表4可知，用SIPM法求解變截面對(duì)稱簡(jiǎn)支梁橋的第一、二階頻率與IPM法計(jì)算結(jié)果十分接近，計(jì)算迭代次數(shù)無明顯增加。取相同η值分別用IPM法、SIPM法攝動(dòng)求解奇數(shù)階模態(tài)，IPM法所得q2,q4,… ,q2n值均接近于零，而所得q1,q3,… ,q2n+1值與SIPM法對(duì)應(yīng)的組合系數(shù)值較接近；攝動(dòng)求解偶數(shù)階模態(tài)時(shí)亦有此規(guī)律，說明在攝動(dòng)求解對(duì)稱梁奇數(shù)階模態(tài)時(shí)可忽略偶數(shù)階模態(tài)影響，僅用等效梁的奇數(shù)階模態(tài)求解；反之亦然。對(duì)完全彈性支承變截面對(duì)稱梁用SIPM法求解模態(tài)參數(shù)，計(jì)算精度與IPM法接近。SIPM法系數(shù)及未知數(shù)數(shù)量均較IPM法減少約50%，顯然SIPM法效率更高。

5 支座損傷對(duì)變截面簡(jiǎn)支梁橋動(dòng)力特性影響

長(zhǎng)期荷載、環(huán)境因素作用下的橋梁支座會(huì)出現(xiàn)不同程度損傷，在偶然荷載下甚至?xí)霈F(xiàn)支座失效，均會(huì)導(dǎo)致支座剛度不同程度下降。本文以完全彈性支承變截面簡(jiǎn)支梁為例，用IMP法分析支座剛度下降(0～30%)對(duì)結(jié)構(gòu)前六階自振頻率影響，見圖8、圖9。由兩圖看出，支座出現(xiàn)損傷后隨剛度下降各階自振頻率下降較明顯；隨支座損傷程度增大各階自振頻率變化率增加；支座出現(xiàn)損傷初期，對(duì)自振頻率影響較少。單個(gè)支座出現(xiàn)30%損傷時(shí)，結(jié)構(gòu)基頻下降約0.8%，第六階頻率變化最小，約0.5%；而第三階頻率變化最大，約下降6.2%。兩支座出現(xiàn)不同程度損傷時(shí)，各階自振頻率均隨其損傷程度增加而降低；兩支座均出現(xiàn)30%損傷時(shí)基頻下降約1.5%。第六階頻率變化最小，約1.0%；而第三階頻率變化最大，約下降11.7%。各階自振頻率對(duì)支座損傷敏感性各異，并呈現(xiàn)明顯的非線性關(guān)系。因此，通過尋找頻率對(duì)支座損傷較敏感階次用本文的半解析解可對(duì)支座剛度、損傷進(jìn)行識(shí)別研究。

圖8 簡(jiǎn)支梁?jiǎn)蝹€(gè)支座出現(xiàn)損傷Fig.8 Influence of freq uencies with bearing damage

圖9 簡(jiǎn)支梁兩支座不同損傷Fig.9 Influence of frequencies with two bearings damage

6 結(jié) 論

(1) 基于Bernoulli-Euler梁理論，改進(jìn)直接模態(tài)攝動(dòng)方法獲得完全彈性支承變截面梁動(dòng)力特性的半解析解。推導(dǎo)出完全彈性邊界條件下系數(shù)Δkki的具體計(jì)算式。算例分析表明，改進(jìn)攝動(dòng)法(IPM)可有效求解完全彈性支承變截面梁的動(dòng)力特性，且計(jì)算精度高、收斂速度快。尤其在參數(shù)敏感性分析、計(jì)算效率方面具有有限元無法比擬的優(yōu)勢(shì)。

(2) 據(jù)振型對(duì)稱性，對(duì)改進(jìn)攝動(dòng)法進(jìn)行簡(jiǎn)化獲得適用求解完全彈性支承變截面對(duì)稱梁動(dòng)力特性的簡(jiǎn)化計(jì)算方法(SIMP)。該方法不僅能減少未知系數(shù)、未知數(shù)數(shù)量約50%，且迭代次數(shù)無顯著增加，計(jì)算精度與改進(jìn)攝動(dòng)法十分接近，效率更高。

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Semi-analytical solution of dynamic characteristics of non-uniform beams with complete elastic supports

YAN Wei-ming, SHI Lu-ning, HE Hao-xiang, CHEN Yan-jiang

Beijing Laboratory of Earthquake Engineering and Structure Retrofit,Beijing University of Technology, Beijing 100124, China)

The mode perturbation method was modified and the improved perturbation method (IPM) was used to solve the vibration problem of non-uniform beam with complete elastic supports based on Bernoulli-Euler beam theory. In the modal subspace of an equivalent uniform beam with complete elastic supports, the variable coefficient differential vibration equation of the non-uniform simply supported continuous beam with complete elastic supports was converted to nonlinear algebraic equations. The semi-analytical solution of dynamic characteristics of non-uniform beam with complete elastic supports was obtained and the formula of coefficient Δkkiwas given. An example analysis indicates that the improved perturbation method not only has high precision and good convergency but also considers the elastic supports effect on dynamic characteristics. A simplified calculating method (SIPM) for symmetrical beam was proposed based on the symmetry of mode shapes. The bearing damage effects on dynamic characteristics of non-uniform simply supported beam bridge were discussed.

improved perturbation method; non-uniform beam; complete elastic support; natural frequency; mode shape

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51378039，51378037)

2014-05-22 修改稿收到日期：2014-06-24

閆維明 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1960年9月生

U441+.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.14.014