Welch譜估計(jì)的隨機(jī)誤差與置信度

朱學(xué)旺，劉青林，張思箭

（中國工程物理研究院總體工程研究所，四川 綿陽 621999）

振動環(huán)境工程研究中，通常采用Welch方法來獲得隨機(jī)振動信號的功率譜密度估計(jì)（Welch譜估計(jì)）[1—2]。Welch譜估計(jì)本質(zhì)上是修正周期圖方法的一種，其做法是通過對振動信號的分段平滑、數(shù)據(jù)重疊以及加窗處理等技術(shù)，以達(dá)到降低譜估計(jì)方差的目的。Welch譜估計(jì)是一致估計(jì)，即當(dāng)用于譜估計(jì)的每段數(shù)據(jù)足夠長且數(shù)據(jù)段足夠多時，Welch譜估計(jì)結(jié)果的偏差和方差均等于0或趨于0[3—4]。令人遺憾的是，工程中用于譜估計(jì)的數(shù)據(jù)總是有限的，既不能保證每段數(shù)據(jù)足夠長，也不能保證數(shù)據(jù)段足夠多，即使對于平穩(wěn)隨機(jī)過程也是如此。為了便于操作，GJB 150.16A[5]和 MIL-STD-810F[6]對 Welch 譜估計(jì)給出了推薦要求：統(tǒng)計(jì)自由度不少于120，在試驗(yàn)頻帶內(nèi)至少保證400線。換句話說，至少要60段數(shù)據(jù)，每段數(shù)據(jù)的長度要確保譜分析后的帶寬小于5 Hz（當(dāng)試驗(yàn)頻率上限為2000 Hz時）。在這種狀態(tài)（自由度取128）下獲得的Welch譜估計(jì)，可以證明其隨機(jī)誤差與相同自由度χ2的隨機(jī)誤差相同（約為12.5%）。也就是說，該Welch譜估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差與其均值（真值）的比為12.5%，但是其在一定置信概率下的置信區(qū)間并不知道。

為了提高welch估計(jì)的精度，加窗技術(shù)的研究一直受到相關(guān)研究人員的關(guān)注[7]。合理的窗函數(shù)，可以減小因?yàn)閿?shù)據(jù)截?cái)鄮淼哪芰啃孤?，繼而減小譜估計(jì)的系統(tǒng)誤差。譜估計(jì)的精度可以采用估計(jì)的偏差與估計(jì)的方差表示，小的方差表明單次估計(jì)接近真值的可能性大，是一種定性描述[3]。Welch譜估計(jì)的精度也可以定量描述，此時將譜估計(jì)結(jié)果作為一個隨機(jī)變量的一次實(shí)現(xiàn)，可采用置信度分析方法獲得其置信度與置信區(qū)間。文獻(xiàn)[8—10]采用定量方法討論了Welch譜估計(jì)的精度。針對不同的分布概率，其置信度分析的重點(diǎn)各異，文獻(xiàn)[11]對置信度分析的現(xiàn)狀進(jìn)行了總結(jié)，而文獻(xiàn)[12—13]對t分布變量的置信區(qū)間開展了專門研究。形式上，Welch譜估計(jì)可以表述為多個變量的平方和，與數(shù)學(xué)上定義的χ2分布變量具有類似的形式。一些經(jīng)典的譜分析論著在討論譜估計(jì)時也直接給出了與χ2分布變量相同的隨機(jī)誤差[3，14—15]，卻沒有進(jìn)行詳細(xì)的說明。文中給出了Welch譜估計(jì)隨機(jī)誤差的導(dǎo)出過程，試圖證明其正確性。另外，為了進(jìn)一步理解Welch譜估計(jì)隨機(jī)誤差的物理意義，研究了Welch譜估計(jì)結(jié)果的置信概率及對應(yīng)的置信區(qū)間。通過正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)化處理，能夠?qū)ⅵ?變量的置信度分析方法應(yīng)用于Welch譜估計(jì)結(jié)果的置信度分析。

1 χ2變量統(tǒng)計(jì)分析方法[14]

數(shù)學(xué)上定義的χ2（n）變量為n個獨(dú)立的N（0，1）變量x1，x2，…，xn的平方和。即：

獲得χ2（n）的均值m和方差σ2：

以均值和方差表述隨機(jī)過程χ2（n）的隨機(jī)誤差為：

χ2（n）變量的概率分布p（Z=χ2（n））為：

置信概率與置信區(qū)間存在以下關(guān)系：

式中：a，b分別為置信區(qū)間的下限和上限，可查表得到I（a，n），I（b，n）后反推獲得。自由度數(shù)較大的χ2（n）變量的分位數(shù)見表1，不同置信概率80%，95%，99%下的置信區(qū)間結(jié)果（利用了對稱性假設(shè)）如圖1所示[16]。

已知置信區(qū)間的上下限a，b時，可直接求得其對應(yīng)的置信概率；反之，已知置信概率也可以導(dǎo)出對應(yīng)的置信區(qū)間，只是此時需要假定上下限之外的概率分布。通常的做法是假定對稱[16]，即小于置信區(qū)間下限的概率與大于置信區(qū)間上限的概率相等。

表1 χ2（n）分布的概率分布Table 1 Probability contribution of large D.O.F.χ2（n）variable

圖1 χ2（n）變量的置信區(qū)間隨統(tǒng)計(jì)自由度的變化Fig.1 Relationship between confidence interval and D.O.F.of χ2（n）variable

2 Welch譜估計(jì)的隨機(jī)誤差

為了導(dǎo)出Welch譜估計(jì)隨機(jī)誤差的表達(dá)式，首先回顧Welch譜估計(jì)方法。本質(zhì)上，Welch譜估計(jì)是B-T估計(jì)的一種修正，其技術(shù)特點(diǎn)是加窗、分段平滑和重疊。具體過程是：將N個數(shù)據(jù){x（0），x（1），…，x（N-1）}分為K段，每段數(shù)據(jù)長度為L，其中有L－D個數(shù)據(jù)為相鄰段的重疊數(shù)據(jù)（D≤L），則：

第i段的L個數(shù)據(jù)為：

對每一段數(shù)據(jù)進(jìn)行加窗處理，并分別計(jì)算其B-T周期圖，有：

然后對各周期圖進(jìn)行平滑處理，獲得N個數(shù)據(jù)的Welch譜估計(jì)：

由公式（5），（6）可知，Welch譜估計(jì)與原始信號（已經(jīng)加窗處理）傅立葉變換的實(shí)部與虛部的平方和成正比。這樣，公式（6）可改寫為：

可以證明，當(dāng)原始信號滿足零均值正態(tài)分布時，其傅立葉變換的實(shí)部與虛部也滿足零均值正態(tài)分布，且相互獨(dú)立[15]，但是，不能保證其方差為1。為了能夠利用第1節(jié)的結(jié)論，對傅立葉變換的實(shí)部與虛部進(jìn)行正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)化處理，此時，式（7）改寫為：

式中：θ=γλ2，λ為傅立葉變換的實(shí)部與虛部的標(biāo)準(zhǔn)差（假設(shè)其相同）。顯然，

3 Welch譜估計(jì)的置信分析

這樣，便可以獲得相應(yīng)的置信概率。

4 算例及分析

算例一[14]：假定譜估計(jì)結(jié)果S0滿足χ2分布，其分析自由度為10，則其在置信概率為80%的置信區(qū)間為（4.87，15.99），即：

式中：SM為譜估計(jì)變量的統(tǒng)計(jì)均值。

相應(yīng)地，99%的置信概率對應(yīng)的置信區(qū)間為：0.397S0＜SM＜4.63S0。

算例二：假定S0的自由度為64，重復(fù)算例一的計(jì)算過程。其結(jié)果為：0.82S0＜SM＜1.28S0對應(yīng)于置信概率80%；0.66S0＜SM＜1.66S0對應(yīng)于置信概率99%。

算例三：假定S0的自由度為128，重復(fù)算例一的計(jì)算過程。其結(jié)果為：0.86S0＜SM＜1.19S0對應(yīng)于置信概率80%；0.74S0＜SM＜1.41S0對應(yīng)于置信概率99%。

從上述3個算例可以看出，隨著自由度的增加，Welch譜估計(jì)的置信區(qū)間越來越趨向于均值集中。應(yīng)用公式（12）可知，上述結(jié)果同樣適用于工程中經(jīng)常出現(xiàn)的高斯過程（均值為0，方差不等于1）的Welch譜估計(jì)。

GJB 150.16A和MIL-STD-810F都推薦譜估計(jì)的自由度要大于120，下面針對算例三進(jìn)行專門分析。其結(jié)果表明，對應(yīng)于置信概率80%，128自由度的Welch譜估計(jì)的均值在估計(jì)值的0.86～1.19倍之間，換句話說，估計(jì)值可能是均值的0.84～1.16倍；對應(yīng)于置信概率99%，128自由度的Welch譜估計(jì)的均值在估計(jì)值的0.74～1.41倍之間，即估計(jì)值可能是均值的0.71～1.35倍。這一結(jié)果應(yīng)該引起工程界的重視，因?yàn)楂@得的Welch譜估計(jì)可能比真實(shí)的譜高，也可能低。

128自由度的Welch譜估計(jì)的隨機(jī)誤差為12.5%，用此構(gòu)造相對置信區(qū)間，則具有相同置信概率的χ2變量的置信區(qū)間為（87.5%×128，112.5%×128），對應(yīng)的置信概率為68.4%。這是一個令人遺憾的結(jié)果，其表明128自由度的Welch譜估計(jì)結(jié)果僅有68.4%的置信概率能夠?qū)崿F(xiàn)其結(jié)果在真值的上下12.5%的范圍內(nèi)。

為了提高置信概率（依然以均值的上下波動12.5%作為相對置信區(qū)間），增加Welch譜估計(jì)的自由度，例如自由度取512，則其置信概率為95.5%。即有95.5%的可能，保證512自由度的Welch譜估計(jì)結(jié)果在均值的上下12.5%的范圍內(nèi)，此時，Welch譜估計(jì)的隨機(jī)誤差為6.25%。從這個意義上說，也許標(biāo)準(zhǔn)推薦的Welch譜估計(jì)的自由度120未必合適，尤其對于具有長數(shù)據(jù)的平穩(wěn)隨機(jī)振動的項(xiàng)目。

5 結(jié)論

1）Welch譜估計(jì)的隨機(jī)誤差與標(biāo)準(zhǔn)χ2變量的隨機(jī)誤差相同，僅與統(tǒng)計(jì)自由度有關(guān)。

2）基于χ2變量的置信分析方法可以應(yīng)用于Welch譜估計(jì)的置信分析。

3）128自由度的Welch譜估計(jì)的隨機(jī)誤差為12.5%，以此作為譜估計(jì)的相對置信區(qū)間，其置信概率僅為68.4%，若要提高置信概率到95%，則Welch譜估計(jì)的自由度要512以上，此時的隨機(jī)誤差小于6.25%。

4）結(jié)論未考慮χ2變量概率密度函數(shù)的不對稱性。

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