B（H）上保持部分等距的可加映射

石薇薇，吉國(guó)興

（陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西西安710119）

B（H）上保持部分等距的可加映射

石薇薇，吉國(guó)興＊

（陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西西安710119）

設(shè)B（H）是維數(shù)不小于3的復(fù)Hilbert空間H上的有界線性算子全體組成的代數(shù)。刻畫(huà)了在部分等距集合上雙邊保持偏序和正交性的雙射，并回答了Molna＇r在2002年提出的一個(gè)問(wèn)題。作為應(yīng)用，證明了B（H）上的可加滿射φ雙邊保持部分等距的充分必要條件為，存在H上的兩個(gè)酉算子或共軛酉算子U、V使得?X∈B（H）都有下列之一成立：（1）φ（X）＝UXV；（2）φ（X）＝UX＊V。

部分等距；偏序；正交；酉算子；可加映射

近幾十年來(lái)，許多專家學(xué)者致力于研究矩陣代數(shù)或算子代數(shù)上的保持問(wèn)題，并且得到了一系列深刻而有趣的結(jié)果。特別地，保持投影算子、冪等算子、冪零算子等重要算子類的映射已被廣泛而深刻地討論［1－9］。例如，由Hilbert空間上的投影組成的格在量子力學(xué)中具有重要的作用［10－11］。此外，投影可看作是正的部分等距算子，因此可以考慮關(guān)于部分等距的一些相關(guān)問(wèn)題。

設(shè)H是維數(shù)不小于3的復(fù)Hilbert空間。設(shè)B（H），PI（H）分別是H上的有界線性算子全體和部分等距算子全體。Molna＇r在文獻(xiàn)［12］中對(duì)在PI（H）的某非零元處連續(xù)的雙邊保持偏序和正交性的雙射進(jìn)行了刻畫(huà)，并提出了一個(gè)問(wèn)題，他指出若可以將連續(xù)性條件去掉這將是一個(gè)非常好的改進(jìn)，本文回答了這一問(wèn)題，證明了PI（H）上的雙邊保持部分等距的偏序和正交性的雙射實(shí)際上是一個(gè)同構(gòu)或者反同構(gòu)。進(jìn)一步地，對(duì)B（H）上的所有雙邊保持部分等距的可加滿射進(jìn)行了刻畫(huà)。

設(shè)H是維數(shù)不小于3的復(fù)Hilbert空間。設(shè)B（H）是H上的全體有界線性算子組成的代數(shù)。稱W∈B（H）是部分等距算子，若對(duì)于任意的h∈（ker W）⊥都有‖Wh‖＝‖h‖。其中，（ker W）⊥稱作W的始空間，記作IW。ran W稱作終空間，記作FW。由H上的所有部分等距算子構(gòu)成的集合記作PI（H）。

A∈PI（H）?A＊∈PI（H）?A＊A是投影?AA＊是投影。

文獻(xiàn)［12］引入了PI（H）上的偏序，即對(duì)于任意的P、Q∈PI（H），若滿足IP?IQ，F(xiàn)P?FQ且P｜IP＝Q｜IP，則記作P≤Q。若P＊Q＝PQ＊＝0，則稱部分等距算子P和Q正交，記作P⊥Q。顯然，當(dāng)限制到投影上時(shí)，該偏序與一般意義上的偏序保持一致。

H上的共軛線性雙射U稱作共軛酉算子，若〈Ux，Uy〉＝〈y，x〉，?x、y∈H，其中〈x，y〉表示x和y的內(nèi)積。x?y表示H上的一秩算子，定義為（x?y）z＝〈z，y〉x，?z∈H。T＝｛z∈C：｜z｜＝1｝表示復(fù)平面C上的單位圓周。

1 主要結(jié)果

下面的定理解決了Molna＇r在文獻(xiàn)［12］中提出的問(wèn)題。

定理1 設(shè)H是維數(shù)不小于3的復(fù)Hilbert空間。設(shè)φ：PI（H）→PI（H）是雙邊保持偏序和正交性的雙射，則下列形式之一成立：

（1）存在H上的兩個(gè)酉算子U、V使得

φ（R）＝URV，?R∈PI（H）；

（2）存在H上的兩個(gè)酉算子U、V使得

φ（R）＝UR＊V，?R∈PI（H）；

（3）存在H上的兩個(gè)共軛酉算子U、V使得

φ（R）＝URV，?R∈PI（H）；

（4）存在H上的兩個(gè)共軛酉算子U、V使得

φ（R）＝UR＊V，?R∈PI（H）。

證明 考慮到文獻(xiàn)［12］中定理1的證明過(guò)程中，條件φ在PI（H）的某處連續(xù)性（范數(shù)拓?fù)湟饬x下）僅用來(lái)證明定義在單位圓周上的函數(shù)f的連續(xù)性，因此我們只需要證明函數(shù)f是連續(xù)的。

由文獻(xiàn)［5］中定理1的證明可知，φ保持部分等距算子的秩且φ誘導(dǎo)了一個(gè)n維Hilbert空間Hn上的映射ψ，其中ψ與φ具有相同的保持不變量。特別地，ψ是正交可加的。又由文獻(xiàn)［12］中的方程（1）、（2）易知存在Hn上的酉算子或共軛酉算子U以及T上的可乘雙射f使得ψ（P）＝UPU＊，對(duì)任意的投影P∈B（Hn），且ψ（λR）＝f（λ）ψ（R）對(duì)任意的一秩部分等距R∈B（Hn）。注意到f（1）＝1，f（－1）＝－1且，?λ∈T。下證f是連續(xù)的。

不失一般性，可設(shè)ψ（P）＝P，對(duì)任意的投影P∈B（Hn）。令｛ei｝ni＝1是 Hn的一組正規(guī)正交基。?λ∈T，記

其中

均為一秩投影。顯然，?λ∈T，Uλ是酉算子。由于ψ是正交可加的，因而有

于是，

令ψ（e1?e2）＝（xij）n×n，ψ（e2?e1）＝（yij）n×n。注意到e1?e2、e2?e1、e3?e3、…、en?en是兩兩正交的一秩部分等距，而ψ保持部分等距的正交性和秩，所以ψ（e1?e2）、ψ（e2?e1）、e3?e3、…、en?en也是兩兩正交的一秩部分等距，故有

由（1）式可得

注意到f（λ）∈T，?λ∈T。斷言x11＝0。事實(shí)上，若x11≠0，則有y11≠0。因?yàn)?，由?）式易知，這與f是雙射矛盾，同理可知x22＝0。

由于x11＝x12＝0，因而y11＝y(tǒng)22＝0。又因?yàn)棣祝╡1?e2）是一秩部分等距，所以x12、x21中必有一個(gè)為0，另一個(gè)不為0。不失一般性，可設(shè)x12≠0，則x21＝0。又ψ（e1?e2）⊥ψ（e2?e1），因而有y12＝0。由（2）式可得f（λ）＝，而f是可乘的，故x12＝1，f（λ）＝λ，?λ∈T。同理可證，若x21≠0，則有

綜上可知，去掉φ的連續(xù)性條件仍可證得f是連續(xù)的。再由文獻(xiàn)［12］的證明過(guò)程可知φ可以寫(xiě)成定理中的形式之一，證畢。

作為定理1的一個(gè)應(yīng)用，進(jìn)一步考慮B（H）上的雙邊保持部分等距的可加映射。稱可加映射φ：B（H）→B（H）保持部分等距，若φ（A）∈PI（H）對(duì)于任意的A∈PI（H）成立；稱φ雙邊保持部分等距，若φ（A）∈PI（H）當(dāng)且僅當(dāng)A∈PI（H）。

定理2 設(shè)H是維數(shù)不小于3的復(fù)Hilbert空間。若φ：B（H）→B（H）是可加滿射，則φ雙邊保持部分等距的充分必要條件是下列之一成立：

（1）存在H上的兩個(gè)酉算子U、V使得

1．樹(shù)立批判性思維教育理念，注重提高學(xué)生的思維能力。創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育的改革應(yīng)從樹(shù)立批判性思維教育理念做起，應(yīng)當(dāng)倡導(dǎo)重視、提高學(xué)生的思維力，開(kāi)發(fā)學(xué)生的思辨力，并將其納入課程的主要目標(biāo)。批判性思維教育理念認(rèn)為，“教育與培訓(xùn)的使命:培養(yǎng)學(xué)生的批判性精神和獨(dú)立思考的態(tài)度”，“批判性思維和創(chuàng)造性”是教育方式革新的重點(diǎn)，高等學(xué)校必須教育并培養(yǎng)學(xué)生，使其能夠批判性地思考問(wèn)題、分析問(wèn)題。［8］這與創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育的本質(zhì)有相似之處。國(guó)外許多高校紛紛把培養(yǎng)大學(xué)生的批判性思維、促進(jìn)大學(xué)生創(chuàng)新能力發(fā)展作為人才培養(yǎng)的重要目標(biāo)和課程設(shè)置目標(biāo)，批判性思維教育理念已經(jīng)成為了整個(gè)教育界的核心理念之一，創(chuàng)新人才培養(yǎng)機(jī)制較為成熟。

φ（X）＝UXV，?X∈B（H）；

（2）存在H上的兩個(gè)酉算子U、V使得

φ（X）＝UX＊V，?X∈B（H）；

（3）存在H上的兩個(gè)共軛酉算子U、V使得

φ（X）＝UXV，?X∈B（H）；

（4）存在H上的兩個(gè)共軛酉算子U、V使得

φ（X）＝UX＊V，?X∈B（H）。

證明 充分性顯然，只需證明必要性。首先證明φ限制在PI（H）上是保持部分等距的偏序和正交性的雙射。注意到φ是B（H）上的雙射。事實(shí)上，若φ（A）＝0，則A是部分等距，進(jìn)而對(duì)任意的正整數(shù)n都有φ（nA）＝0，因此nA也是部分等距，故A＝0，即φ是B（H）上的雙射。特別地，φ也是PI（H）上的雙射。

設(shè)A、B∈PI（H），則有A+B，A－B∈PI（H）當(dāng)且僅當(dāng)A⊥B。事實(shí)上，若A⊥B，則A＊B＝AB＊＝0且A＊A和B＊B均為投影。由于（A±B）＊（A±B）＝A＊A+B＊B是投影，因而A+B、A－B∈PI（H）。反之，設(shè)A+B、A－B∈PI（H），則有

都是投影。記P1＝A＊A，P2＝B＊B，H＝A＊B+B＊A。顯然P1、P2、P1+P2+H和P1+P2－H都是投影，進(jìn)而

上式表明－（P1P2+P2P1）＝H2≥0，即

P1H2P1＝－2P1P2P1≥0。

但是，P1P2P1≥0，故有P1P2P1＝0，P1P2＝0，亦即A＊A⊥B＊B，IA⊥IB。同理，由（A+B）（A+B）＊、（A－B）（A－B）＊也是投影可得AA＊⊥BB＊，F(xiàn)A⊥FB。因此A⊥B。又φ（A）∈PI（H）當(dāng)且僅當(dāng)A∈PI（H），有?A、B∈PI（H）。

A⊥B?A±B∈PI（H）?φ（A）±φ（B）∈PI（H）?φ（A）⊥φ（B），即φ：PI（H）→PI（H）雙邊保持部分等距的正交性。

另一方面，取A，B∈PI（H）滿足A≤B。易知B＝A+（B－A）且A⊥B－A，由φ保持部分等距的正交性可得

φ（B）＝φ（A）+φ（B－A）且φ（A）⊥φ（B－A）。

進(jìn)而Iφ（A）?Iφ（B），F(xiàn)φ（A）?Fφ（B）且

即φ（A）≤φ（B）。注意到φ－1和φ有相同的性質(zhì)，因此φ雙邊保持部分等距的偏序。綜上可知φ限制在PI（H）上是雙邊保持部分等距的偏序和正交性的雙射，因此φ可以寫(xiě)成定理1中四種形式之一。

不失一般性，設(shè)φ可寫(xiě)成定理1中（1）的形式，即存在H上的兩個(gè)酉算子U、V使得

φ（R）＝URV，?R∈PI（H）。

下證φ（λR）＝λφ（R），?R∈PI（H），?λ∈C。事實(shí)上，若｜λ｜＝1，則λR∈PI（H）且φ（λR）＝U（λR）V＝λφ（R）。

若0＜｜λ｜＜1，則存在λ1、λ2∈T使λ2）。進(jìn)而λ1R、λ2R∈PI（H）且

特別地，φ（λP）＝λφ（P），對(duì)任意的投影P∈B（H），任意的λ∈C。由文獻(xiàn)［13］中定理3知任一有界線性算子X(jué)∈B（H）都可以寫(xiě)成有限多個(gè)投影的線性組合，且φ可加，從而φ（X）＝UXV，?X∈B（H），即φ可寫(xiě)成定理2中（1）的形式。其他情況可得到相應(yīng)的結(jié)論。證畢。

2 結(jié)論

本文刻畫(huà)了在部分等距集合上雙邊保持偏序和正交性的雙射。同時(shí)，作為應(yīng)用，證明了B（H）上的可加滿射φ雙邊保持部分等距的充分必要條件為，存在H上的兩個(gè)酉算子或共軛酉算子U、V使得?X∈B（H）都有下列之一成立：（1）φ（X）＝UXV；（2）φ（X）＝UX＊V。

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〔責(zé)任編輯 宋軼文〕

Additive maps preserving partial isometries on B（H）

SHI Weiwei，JI Guoxing＊
（School of Mathematics and Information Science，Shaanxi Normal University，Xi′an 710119，Shaanxi，China）

Let B（H）be the algebra of all bounded linear operators on a complex Hilbert space H with dim H≥3.All the bijections on the set of all partial isometries on Hwhich preserve the order and the orthogonality in both directions are described，which answers the question raised by Molna＇r in 2002.As an application，it is shown that an additive surjectionφon B（H）preserves partial isometries in both directions if and only if one of the following assertions holds：There exist two unitary operators or two anti－unitary operators Uand Von Hsuch that（1）φ（X）＝UXV?Xin B（H），（2）φ（X）＝UX＊V?Xin B（H）.

partial isometry；partial ordering；orthogonality；unitary operator；additive map

47B49

O177.1

：A

1672－4291（2015）05－0014－04

10.15983／j.cnki.jsnu.2015.05.154

2014－11－25

國(guó)家自然科學(xué)基金（11371233）

石薇薇，女，碩士研究生，研究方向?yàn)樗阕涌臻g。E－mail：shiweiwei＠snnu.edu.cn

＊通信作者：吉國(guó)興，男，教授，博士生導(dǎo)師。E－mail：gxji＠snnu.edu.cn