帶有對流項和源項的非線性交叉擴散方程組的不變子空間及其分類

屈改珠

（渭南師范學院數(shù)學與信息科學學院，陜西渭南714000）

帶有對流項和源項的非線性交叉擴散方程組的不變子空間及其分類

屈改珠

（渭南師范學院數(shù)學與信息科學學院，陜西渭南714000）

利用不變子空間方法研究帶有對流項和源項的非線性交叉擴散方程組，借助符號計算系統(tǒng)Maple確定出方程組所容許的多項式不變子空間×中的完全分類，進一步將方程組約化為有限維動力系統(tǒng)并構(gòu)造了方程組的廣義分離變量解。

不變子空間；非線性交叉擴散方程組；廣義分離變量解

非線性問題大多可以用微分方程包括非線性演化方程（組）來描述和刻畫。這類方程的精確解對于解釋和描述一些自然現(xiàn)象或發(fā)現(xiàn)自然現(xiàn)象的新規(guī)律具有重要意義，同時構(gòu)造求解方程的過程，往往會產(chǎn)生新的數(shù)學思想、方法和理論。因此，尋求和構(gòu)造非線性演化方程（組）的精確解成為數(shù)學和物理工作者的重要研究課題之一。

不變子空間方法是和條件Lie－B?cklund對稱方法以及微分約束方法相關(guān)的一種求解非線性演化方程（組）的有效方法。該方法由Galaktionov［1］首次提出，并利用不變子空間方法研究帶有二次非線性項演化方程的廣義分離變量解。文獻［2］進一步推廣了不變子空間方法，并將其成功應(yīng)用于非線性交叉擴散方程組的分類。事實上，許多非線性演化方程（組）的精確解都可以由不變子空間方法得到［3－8］。

本文利用不變子空間方法研究帶有對流項和源項的非線性交叉擴散方程組

其中f（u，v）、p（u，v）、h（u，v）、r（u，v）、g（u，v）、q（u，v）、l（u，v）、s（u，v）都是u和v的待定函數(shù)。方程組（1）可以被看作是帶有對流項和源項的非線性擴散方程

的推廣形式，在物理和生物中具有很多應(yīng)用，對于方程（2）已有很多研究結(jié)果。文獻［9］運用不變集理論得到了一般的非線性擴散方程ut＝A（u）uxx+ B（u）u2x+C（u）的泛函分離變量解。文獻［10］運用二階條件Lie－B?cklund對稱構(gòu)造出方程（2）中反應(yīng)系數(shù)為冪函數(shù)的非古典解。

1 不變子空間理論

考慮非線性演化方程組

其中U＝（u1，u2，…，um）∈Rm，

Fq（·）是充分光滑函數(shù)。如果向量微分算子F滿足條件

即

其中［Hq］表示方程Lq［uq］＝0，q＝1，2，…，m及其關(guān)于x的微分結(jié)果。由不變條件（5）可以確定出不變子空間理論中重要的維數(shù)定理［2］。

定理1 令F［U］是一個k階非線性向量微分算子，且容許不變子空間×，如果F1，u2≠0，F(xiàn)2，u1≠0，同時0＜n2≤n1，則有n1－n2≤k，n2≤3k+1，或n1－n2≤k，n1≤4k+1。

2 方程組（1）的分類結(jié)果

這一部分將利用不變子空間方法研究方程組（1）在它所容許的多項式型不變子空間中的分類，并構(gòu)造相應(yīng)的精確解，即向量微分算子（F1，F(xiàn)2）容許多項式不變子空間×，其中×由以下線性常微分方程組定義：

由定理1，將對（n1，n2）分別討論以下情況：

（9，8），（9，7），（8，7），（8，6），（7，6），（7，5），

（6，5），（6，4），（5，5），（5，4），（5，3），（4，4），

（4，3），（4，2），（3，3），（3，2），（2，2）。

首先，假定向量微分算子（F1（u，v），F(xiàn)2（u，v））容許多項式型不變子空間W19×W28，即

則相應(yīng)的不變條件為

將算子F1［u，v］、F2［u，v］代入到方程（8）和（9）中并合并同類項，它們的左端都成為關(guān)于ui（i＝1，2，…，8）及vj（j＝1，2，…，7）的多項式。其中，在方程（8）中，比較u8u3、v7v4、u8v3和u7v4前的系數(shù)，得到

所以f（u，v）和p（u，v）都是常數(shù)。將此結(jié)果代入到方程（8），比較u8u2、u8v2、v7v3以及u8v1、u8u1、v7v2的系數(shù)，有

因此h（u，v）和r（u，v）關(guān)于u和v是線性的。對不變條件（9）進行同樣的分析，也可推出g（u，v）、q（u，v）是常數(shù)，l（u，v）、s（u，v）都是u、v的線性函數(shù)。所以，得到下面的定理。

定理2 沒有帶有交叉擴散對流項的非線性微分算子（F1（u1，v），F(xiàn)2（u，v））容許由常微分方程組（7）定義的多項式型不變子空間W19×W28。

當（n1，n2）取其他情況時，對不變條件（5）進行同樣的分析和計算，得到下面的結(jié)論。

定理3 沒有帶有交叉擴散對流項的非線性微分算子（F1（u，v），F(xiàn)2（u，v））容許由下面的常微分方程組（6）定義的多項式子空間×，其中（n1，n2）＝（9，7），（8，7），（8，6），（7，6），（6，5），（5，5）。

定理4 如果（n1，n2）＝（8，6），（7，5），（6，4），（5，4），（5，3），（4，4），（4，3），（4，2），（3，3），（3，2），（2，2），則非線性向量微分算子（F1［u，v］，F(xiàn)2［u，v］）及其他所容許的多項式不變子空間×可以被表示成如下的形式：

下面給出一個具體求解的例子進行說明。

例1 在（19）式中，令c9＝c10＝c18＝d18＝d22＝1，ci＝0，i≠9、10、18，di＝0，i≠18、22，則方程組（1）變?yōu)?/p>

它在子空間W12×W22中有多項式型解，即

將它們代入到方程組（20）中，將方程組約化為有限維動力系統(tǒng)：

求解此方程組，得到方程組（20）的廣義分離變量解

其中ai、bi（i＝1、2）為任意常數(shù)。

3 結(jié)論

本文討論了帶有對流項和源項的非線性交叉擴散方程組（1）在由常微分方程組（6）所確定的多項式不變子空間×中的完全分類，從而將方程組約化為有限維動力系統(tǒng)并構(gòu)造了方程組的廣義分離變量解。值得一提的是，文獻［11］利用不變子空間方法構(gòu)造了分數(shù)階微分方程的精確解。因此，下一步將考慮利用不變子空間方法對分數(shù)階微分方程組進行分類及求解。

［1］Galaktionov V A.Invariant subspaces and new explicit solutions to evolution equations with quadratic nonlinearities［J］.Proceedings of the Royal Society of Edinburgh：Section A Mathematics，1995，125：225－246.

［2］Qu Changzheng，Zhu Chunrong.Classification of coupled systems with two－component nonlinear diffusion equations by the invariant subspace method［J］.Journal of Physics A：Mathematical and Theoretical，2009，42：475201.

［3］Svirshchevskii S R.Lie－B?cklund symmetries of linear ODEs and generalized separation ofvariables in nonlinear equations［J］.Physics Letters A，1995，199：344－348.

［4］Galaktionov V A，Svirshchevskii S R.Exact solutions and invariant subspaces of nonlinear partial differential equations in mechanics and physics［M］.London：Chapman and Hall／CRC，2007.

［5］Ma Wenxiu.A refined invariant subspace method and applications to evolutionequations［J］.Science China Mathematics，2012，55：1769－1778.

［6］Zhu Chunrong，Qu Changzheng.Maximal dimension of invariant subspaces admittedby nonlinear vector differential operators［J］.Journal of Mathematical Physics，2011，52：043507.

［7］Zhu Chunrong.Second－order nonlinear differential operators possessing invariant subspaces of submaximal dimension［J］.Chinese Physics B，2011，20：010201.

［8］Qu Gaizhu，Zhang Shunli，Li Y L.Third－order nonlinear differentialoperators preserving invariant subspaces of maximal dimension［J］.Chinese Physics B，2014，23：110202.

［9］Qu Changzheng，Estevez P G.Extended rotation and scaling groups fornonlinear evolution equation［J］.Nonlinear Analysis：Theory，Methods and Applications，2003，52：1655－1673.

［10］Ji Lina，Qu Changzheng.Conditional symmetries and solutions toa class of nonlinear diffusion convection equation［J］.Communications in Theoretical Physics，2006，46：668－674.

［11］Gazizov R K，Kasatkin A A.Construction of exact solutions forfractional order differential equations by the invariant subspace method［J］.Computers and Mathematics with Applications，2013，66：576－584.

〔責任編輯 宋軼文〕

Invariant subspaces and classification to systems of nonlinear cross－diffusion equations with convection and source terms

QU Gaizhu
（School of Mathematics and Information Science，Weinan Normal University，Weinan 714000，Shaanxi，China）

The invariant subspace method is extended to investigate systems of two－component nonlinear cross－diffusion equations with convection and source terms.Based on the symbolic computation system Maple，a complete classification of the invariant subspace×are derived. As a result，the systems are reduced to finite－dimensional dynamical systems and the corresponding explicit solutions are constructed.

invariant subspace；nonlinear cross－diffusion equations；generalized separation of variables solution

35A22，35A25，35K55

2014－12－27

陜西省教育廳基金（14JK1246）；渭南師范學院理工類科研項目（15YKS005）；渭南師范學院校級特色學科建設(shè)項目（14TSXK02）

屈改珠，女，講師，博士，主要研究方向為偏微分方程。E－mail：qugaizhu.hi＠163.com

O175.2

：A

1672－4291（2015）05－0004－05

10.15983／j.cnki.jsnu.2015.05.152