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    似是而非 錯在哪里
    ——談2個相似不等式的推廣及證明

    2015-06-01 12:25:49李云杰福清第三中學福建福清350315
    中學教研(數(shù)學) 2015年11期
    關鍵詞:福清證法正數(shù)

    ●何 燈 李云杰 (福清第三中學 福建福清 350315)

    似是而非 錯在哪里
    ——談2個相似不等式的推廣及證明

    ●何 燈 李云杰 (福清第三中學 福建福清 350315)

    問題[1]已知a,b,c為滿足a+b+c=1的正數(shù),求證:

    (《中學數(shù)學》第231號問題)

    宋慶老師在其微博中歸納了式(1)的多種證明,并給出了其姊妹不等式:已知a,b,c為滿足a+b+ c=1的正數(shù),求證:

    文獻[2]利用換元法給出上述姊妹不等式的新證,并利用此證法將式(1)和式(2)推廣為:

    命題1 已知a,b,c為滿足a+b+c=1的正數(shù),n∈R且n>1,k∈R且k≥0,求證:

    筆者發(fā)現(xiàn)式(3)對任意k≥0不恒成立,如令a=b→0+,c→1,k→0+,若原式成立,則必有得,這與條件矛盾,顯然文獻[2]中的換元證法存在問題.為了說明問題所在,現(xiàn)將文獻[2]中針對式(1)的證明摘抄如下:

    證明[2]設,其中a>0,i=1,2,3,則i

    上述推理過程似乎很自然,究竟錯在哪里?在證明不等式時,常用到分析法和綜合法,而分析法又稱執(zhí)果索因法,顧名思義,即從證明的結論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知、定理、定義、公理等).考查文獻[2]的證明,在使用了冪平均不等式之后,實際上是將問題轉化為證明(此為待證不等式),而上述證明過程中已認定此不等式成立,從而證明了犯了循環(huán)論證的錯誤.

    下面筆者給出式(3)和式(4)的修正、推廣及證明.命題2 已知a,b,c為滿足a+b+c=1的正數(shù),n∈R且n>0,k∈R,則當時,式(3)成立;當 k≥0時,式(4)成立.

    當k≥0時,由均值不等式得

    即式(4)成立.

    [1] 宋慶.數(shù)學奧林匹克問題高231[J].中學數(shù)學,2008(8):47.

    [2] 王煒.兩個相似不等式的統(tǒng)一證明及推廣[J].中學數(shù)學研究,2015(1):20-23.

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