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    例談函數(shù)問題在數(shù)學(xué)中的意義和作用

    2015-06-01 12:25:50許欽彪稽山中學(xué)浙江紹興312000
    中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2015年11期
    關(guān)鍵詞:零點(diǎn)數(shù)形單調(diào)

    ●許欽彪 (稽山中學(xué) 浙江紹興 312000)

    例談函數(shù)問題在數(shù)學(xué)中的意義和作用

    ●許欽彪 (稽山中學(xué) 浙江紹興 312000)

    函數(shù)是數(shù)學(xué)的主干知識,函數(shù)思想是數(shù)學(xué)思想的重要組成部分,函數(shù)知識、函數(shù)方法、函數(shù)應(yīng)用貫穿于整個中學(xué)數(shù)學(xué)體系和教學(xué)過程,也是數(shù)學(xué)高考的重要考點(diǎn).全國和各省、市每年的數(shù)學(xué)高考試題中,除了約占13%的純函數(shù)方面試題外,還有許多其他內(nèi)容的考題需要用到函數(shù)思想和方法.因而,在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中,必須高度重視函數(shù)及其思想、方法、技能的教學(xué)、培養(yǎng)和應(yīng)用訓(xùn)練,使學(xué)生能牢固掌握、靈活應(yīng)用并與其他數(shù)學(xué)知識自覺結(jié)合.

    中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、正(反)比例函數(shù)及指(對)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等初等函數(shù).函數(shù)題型主要有函數(shù)知識應(yīng)用,以及函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等性質(zhì)應(yīng)用,求函數(shù)解析式,求函數(shù)最值,求函數(shù)零點(diǎn),函數(shù)圖像應(yīng)用,函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等其他數(shù)學(xué)知識結(jié)合應(yīng)用,含有字母參數(shù)的函數(shù)問題等.函數(shù)問題經(jīng)常作為考查數(shù)學(xué)思維、邏輯推理、類比歸納、嚴(yán)謹(jǐn)運(yùn)算、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)能力的一種綜合考查題,而且有些省、市近2年導(dǎo)數(shù)不作為必考要求,因此函數(shù)圖像性質(zhì)的應(yīng)用更為重要與必要.本文就這類問題舉例說明這方面的能力培養(yǎng),期望同行們的參與討論.

    例1 設(shè)x1,x2為函數(shù)f(x)=ax2+(b-1)x+ 1(其中a>0)的2個不同的零點(diǎn).

    1)若x1=1,且對任意x∈R,都有f(2-x)= f(2+x),求f(x).

    2)若b=2a-3,則關(guān)于x的方程f(x)=|2xa|+2是否存在負(fù)根?若存在,求出該負(fù)根的取值范圍;若不存在,說明理由.

    3)若 a≥2,x2-x1=2且當(dāng) x∈(x1,x2)時,g(x)=-f(x)+2(x2-x)的最大值為h(a),求h(a)的最小值.

    分析 這是一類常見的含有字母參數(shù)的二次函數(shù)問題,因?yàn)槎螁栴}是二次函數(shù)、二次圖像、二次方程、二次不等式的結(jié)合問題,涉及的知識方法較多,又在二次曲線(圓錐曲線)等其他問題上有廣泛應(yīng)用,所以這類問題具有典型性和代表性.

    1)這是較簡單的根據(jù)條件求待定字母的問題.

    由條件f(2-x)=f(2+x),得對稱軸為

    又f(1)=0,

    2)這是探索性問題.要充分注意到“負(fù)根”這個條件提示,才能得到正確的解決方法.因?yàn)閍> 0,注意到|2x-a|,若x≥,則x>0不必考慮.所以x<0,只需要考慮的情況.

    要討論這個關(guān)于a的式子的取值范圍(得用導(dǎo)數(shù)求最值)有一定的難度,需用單調(diào)性或圖像.為了使式子變簡單熟悉,可進(jìn)行變量代換.

    3)注意到g(x)的形式和條件x2-x1=2.

    由x1,x2是f(x)的2個根,可設(shè)f(x)=a(xx1)(x-x2),其中x1<x<x2,于是

    下面不利用導(dǎo)數(shù)證明h(a)的單調(diào)性.

    設(shè)a2>a1≥2,則于是h(a)在a≥2時是單調(diào)遞增函數(shù),從而h(a)的最小值為

    點(diǎn)評 該題的難點(diǎn)在于信息量多,已知條件與所求之間關(guān)系比較難尋.在求最值和范圍時,其中的式子變形、變量代換、基本不等式應(yīng)用、單調(diào)性判斷等均有較高的運(yùn)算技能.

    例2 定義函數(shù)求函數(shù)g(x)=xf(x)-6在區(qū)間[1,8]內(nèi)的所有零點(diǎn).

    分析 這是一道常見的分段函數(shù)題,技巧的能力要求并不高,但需要嚴(yán)謹(jǐn)清晰的思維和計算歸納表述能力.首先,要清楚將f(x)分幾段.因?yàn)楫?dāng)x>2時,并不一定在[1,2]內(nèi),比如當(dāng)4≤x<6時,則

    相應(yīng)可得

    點(diǎn)評 該題充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)新課標(biāo)中要求的“數(shù)學(xué)分析,數(shù)據(jù)處理,數(shù)學(xué)表達(dá)能力,形成鍥而不舍的鉆研精神和科學(xué)素質(zhì)”,這也是數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)本質(zhì)的體現(xiàn).這類題目有許多學(xué)生不是沒有能力解決,而是沒有這樣的毅力意志和持之以恒的精神完整地去解決,這恰是數(shù)學(xué)精神的缺乏.建議數(shù)學(xué)教學(xué)中要有意識地利用這類問題鍛煉學(xué)生的毅力.

    例3 設(shè)二次函數(shù)y=f(x)=ax2+bx+c(其中a>b>c),f(1)=0,且存在實(shí)數(shù)m使得f(m)=-a.

    1)求證:①b≥0;②f(m+3)>0.

    2)函數(shù)y=g(x)=f(x)+bx的圖像與x軸的2個交點(diǎn)間的距離為d,求d的取值范圍.

    分析 1)由f(1)=0,得a+b+c=0,

    即a+c=-b.

    因?yàn)?a>b>c,

    所以 a>0,c<0.

    又由存在實(shí)數(shù)m使得f(m)=-a,即am2+bm+ c+a=0有實(shí)根,從而

    Δ=b2-4a(a+c)=b2+4ab=b(4a+b)≥0,

    又4a+b=4a-c>0,

    從而 b≥0,

    ①得證.

    從而 a>b=-a-c,

    2a>-c,

    f(m+3)>f(1)=0,②得證.

    2)由f(x)+bx=0,得ax2+2bx+c=0,

    因?yàn)?/p>

    Δ=4b2-4ac>0,

    所以x+x=-2b, x x=c,12a12a

    從而

    點(diǎn)評 要審清題意,尋求目標(biāo)的具體形式和所需條件.

    例4 已知a∈R,函數(shù)f(x)=x|x-a|,求f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值.

    分析 此題目標(biāo)明確,但由于含有絕對值和字母參數(shù)a,對絕對值和字母a要嚴(yán)謹(jǐn)討論.作出函數(shù)簡圖,用數(shù)形結(jié)合“按圖索驥”能比較清楚直觀地得到解決方法.由題意可得

    1)當(dāng)a>0時,由圖1可得:

    當(dāng)0<a≤1時,f(x)在區(qū)間[1,2]上遞增,最小值為f(1);

    當(dāng)1≤a≤2時,最小值為f(a)=0;

    圖1

    圖2

    圖3

    2)當(dāng)a=0時,如圖2,最小值為f(1).

    3)當(dāng)a<0時,如圖3,f(x)在區(qū)間[1,2]上遞增,最小值為f(1).

    點(diǎn)評 當(dāng)根據(jù)題意能作圖時,數(shù)形結(jié)合、“按圖索驥”、“看圖說話”是一種很好的數(shù)學(xué)方法,特別對準(zhǔn)確、快速解決探索題、討論題有較大的作用.

    例5 已知函數(shù)f(x)=|x2-1|,g(x)=x2+ ax+2,若函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)+2在(0,2)上有2個不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

    分析 h(x)=|x2-1|+x2+ax+4=

    注意到h(0)=5>0,h(1)=a+5,當(dāng)1<x<2時是開口向上的拋物線.

    討論 1)若h(x)在(0,1],(1,2)內(nèi)各有1個根,則

    2)若h(x)在(0,1]內(nèi)無根,在(1,2)內(nèi)有2個根,則

    點(diǎn)評 這是結(jié)合函數(shù)圖形從條件到結(jié)論逐步分類討論的題型,是一類較好的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練題.這樣的教學(xué)訓(xùn)練對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解題能力有明顯的效果,為解決相應(yīng)的函數(shù)問題奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ).如2015年浙江省數(shù)學(xué)高考文、理科試題中的函數(shù)題,許多考生就能從中受益匪淺.

    例6 已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R),記M(a,b)是|f(x)|在區(qū)間[-1,1]上的最大值.

    1)證明:當(dāng)|a|≥2時,M(a,b)≥2;

    2)當(dāng)a,b滿足M(a,b)≤2,求|a|+|b|的最大值.

    (2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第18題)

    例7 已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R).

    2)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn),0≤b-2a≤1,求b的取值范圍.

    (2015年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第20題)

    從上可見,在函數(shù)教學(xué)中,有意識地進(jìn)行函數(shù)綜合問題的訓(xùn)練,對于培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維,提升邏輯推理、合理猜想、討論歸納、數(shù)形結(jié)合、探索創(chuàng)新、嚴(yán)謹(jǐn)計算等的數(shù)學(xué)品質(zhì)、能力,掌握數(shù)學(xué)知識方法和提高數(shù)學(xué)方法運(yùn)算技能、解題能力都是非常重要和有益的,是我們必須重視和需要充分實(shí)踐的.

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