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    合 理 過(guò) 渡 自 然 生 成
    ——“對(duì)數(shù)的概念”之教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

    2015-06-01 12:25:50崔志榮安豐中學(xué)江蘇東臺(tái)224221
    中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2015年11期
    關(guān)鍵詞:對(duì)數(shù)方程概念

    ●崔志榮 (安豐中學(xué) 江蘇東臺(tái) 224221)

    合 理 過(guò) 渡 自 然 生 成
    ——“對(duì)數(shù)的概念”之教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

    ●崔志榮 (安豐中學(xué) 江蘇東臺(tái) 224221)

    1 內(nèi)容分析

    “對(duì)數(shù)”作為高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一,有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義,它在銀行貸款利息、社會(huì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率、工程技術(shù)、天文學(xué)等方面的計(jì)算,都有廣泛的應(yīng)用.它的發(fā)明縮短了人們的計(jì)算時(shí)間,對(duì)人們研究科學(xué)、了解自然起了重大作用.

    “對(duì)數(shù)的概念”是蘇教版必修1第3章“對(duì)數(shù)函數(shù)”的第1課時(shí),是繼指數(shù)函數(shù)之后學(xué)習(xí)的一類(lèi)新運(yùn)算.讓學(xué)生建立好對(duì)數(shù)的概念并深刻理解,是后續(xù)熟練掌握“對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)”的保障,是理解并靈活運(yùn)用“對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)”的前提.

    2 教學(xué)分析

    “對(duì)數(shù)的概念”的教學(xué),重點(diǎn)是一個(gè)新概念的生成教學(xué).教材上已經(jīng)給出對(duì)數(shù)的概念,很多學(xué)生必然事先預(yù)習(xí),形成定勢(shì)思維,如何引導(dǎo)學(xué)生回歸探究,而非生硬接受,是教學(xué)的一大難點(diǎn).

    本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是深刻理解對(duì)數(shù)的概念,如果概念的探究教學(xué)時(shí)間過(guò)長(zhǎng),那么會(huì)影響概念反饋理解的時(shí)間,學(xué)生就不能熟練得出一些簡(jiǎn)單對(duì)數(shù)的值.因此,合理設(shè)計(jì)探究問(wèn)題,做到探究與反饋時(shí)間的平衡,是對(duì)數(shù)概念教學(xué)的又一個(gè)關(guān)注點(diǎn).

    基于以上2點(diǎn)分析,筆者對(duì)以往的教學(xué)過(guò)程進(jìn)行了改進(jìn),重新設(shè)計(jì)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié),并已在所教班級(jí)試教,自我感覺(jué)效果不錯(cuò),故把本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程、設(shè)計(jì)意圖、教學(xué)反思等整理成文,供讀者在教學(xué)中研討.

    3 教學(xué)過(guò)程

    3.1 問(wèn)題情境

    題目 某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì),每經(jīng)過(guò)1年,這種物質(zhì)剩留的質(zhì)量是原來(lái)的a倍.設(shè)該物質(zhì)最初的質(zhì)量為1,請(qǐng)寫(xiě)出這種物質(zhì)的剩留量N隨時(shí)間b的變化關(guān)系式[1].

    學(xué)生容易得出ab=N(其中a>0).

    設(shè)計(jì)意圖 該問(wèn)題與教材上的例題有所不同:一是幫學(xué)生設(shè)出相關(guān)未知數(shù)(物質(zhì)的初質(zhì)量、剩留量、時(shí)間),目的是節(jié)約時(shí)間,讓學(xué)生迅速列出關(guān)系式;二是將具體數(shù)值84%改為字母a,為的是過(guò)渡到下面教學(xué)設(shè)計(jì)的3個(gè)問(wèn)題,即在a,b,N中,已知2個(gè)量求另一個(gè)量.

    3.2 合理過(guò)渡,自然生成

    問(wèn)題1 在ab=N(其中a>0)中,已知a,b,求N.

    這個(gè)問(wèn)題學(xué)生不難理解,若b為整數(shù),則是乘方運(yùn)算的理解;若b為分?jǐn)?shù),則是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的轉(zhuǎn)換(在指數(shù)函數(shù)部分已經(jīng)學(xué)習(xí)).

    問(wèn)題2 在ab=N(其中a>0)中,已知b,N,求a.

    師:誰(shuí)能解決問(wèn)題2?

    生2:當(dāng)b=0時(shí)不能這么做,要單獨(dú)考慮,當(dāng)b=0時(shí),N=1,此時(shí)a>0且a≠1.

    師:很好!生1分析出問(wèn)題2的處理方法,生2又指出其漏洞.需要提醒大家注意的是:如果沒(méi)有條件a>0,那么生1的方法還有點(diǎn)問(wèn)題,比如x2=N.

    生4:x2=N,即x是N的平方根,因?yàn)镹>0,N有互為相反數(shù)的2個(gè)平方根是N的算術(shù)平方根.

    師:不錯(cuò)!不過(guò),能不能換個(gè)角度理解?

    (學(xué)生沉默約1分鐘.)

    生5:利用函數(shù)f(x)=x2的圖像,方程的根是函數(shù)值為正數(shù)N時(shí),自變量x的取值(教師在黑板上作圖),因此,只需考察函數(shù)f(x)=x2與直線(xiàn)y= N的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),顯然2個(gè)函數(shù)有2個(gè)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的交點(diǎn),把y軸右邊的那個(gè)正解規(guī)定成

    師:我覺(jué)得生5的解釋有道理,對(duì)于方程實(shí)數(shù)根的研究,可以把方程轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的函數(shù),利用函數(shù)的圖像研究方程的實(shí)數(shù)根,這是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法——數(shù)形結(jié)合.由函數(shù)的圖像可知,方程的解取決于正數(shù)N的值,數(shù)學(xué)家在表示這個(gè)正數(shù)解的時(shí)候,就用符號(hào)與正數(shù)N配合表示成一個(gè)新的實(shí)數(shù).請(qǐng)大家再理解一下這個(gè)數(shù)(停頓).

    師:另外,在指數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中,我們已經(jīng)指出,對(duì)于ab=N,通常只研究當(dāng)a>0且a≠1時(shí)的情況,此時(shí)N>0.接下來(lái),請(qǐng)同學(xué)們思考問(wèn)題3.

    問(wèn)題3 在ab=N(其中a>0且a≠1)中,已知a,N,求b.

    生6:可以用生5的函數(shù)方法處理.

    師:請(qǐng)具體闡述.

    生6:把b看成x,問(wèn)題3即是解方程ax=N (其中a是大于0且不等于1的常數(shù),N是大于0的常數(shù)),該方程的根,即是指數(shù)函數(shù)y=ax與函數(shù)y=N交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

    師:不錯(cuò)!同學(xué)們畫(huà)圖看看方程ax=N的根有什么特點(diǎn)?

    生7:不管0<a<1還是a>1,x總有唯一的解.

    師:為什么?

    生7:因?yàn)闊o(wú)論是0<a<1還是a>1,指數(shù)函數(shù)y=ax都是單調(diào)函數(shù),它的值域都是(0,+∞),又N>0,所以它與水平直線(xiàn)y=N有且只有1個(gè)交點(diǎn).

    教師投影函數(shù)圖像(如圖1與圖2所示).

    圖1

    圖2

    師:很好!方程ax=N確實(shí)存在唯一解,但這個(gè)解到底是多少呢?怎樣把它表示出來(lái)呢?

    生8:這個(gè)解應(yīng)用實(shí)數(shù)a,N表示,但我不知道怎么表示.

    (說(shuō)明:有不少已預(yù)習(xí)的學(xué)生在下面議論表示方法,學(xué)生8沒(méi)有預(yù)習(xí),不預(yù)習(xí)的課堂教學(xué)效果也精彩[2].)

    師:先不談怎么表示,為什么能用實(shí)數(shù)a,N表示?

    生8:剛才已經(jīng)分析:方程的解對(duì)應(yīng)著函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)這個(gè)實(shí)數(shù),當(dāng)2個(gè)函數(shù)確定,交點(diǎn)的位置也就隨之確定,比如若a=2,N=3,則解x就是指數(shù)函數(shù)y=2x與函數(shù)y=3交點(diǎn)的橫坐標(biāo),x就必然與2,3相關(guān).

    師:有道理!怎樣表示這個(gè)實(shí)數(shù)解呢?我們可以把這個(gè)解寫(xiě)成logaN,這就是我們本節(jié)課要研究的“對(duì)數(shù)”.

    (接著是對(duì)數(shù)概念的描述、板書(shū)、理解,到此,總用時(shí)約20分鐘.)

    設(shè)計(jì)意圖 問(wèn)題1的提出,體現(xiàn)的是問(wèn)題研究的全面性,也體現(xiàn)由易到難的研究過(guò)程;問(wèn)題2的探討,主要目的不是復(fù)習(xí)指數(shù)的運(yùn)算、平方根的理解,關(guān)鍵是要得出一種處理方程問(wèn)題的思想方法,要探討平方根的表示過(guò)程,為問(wèn)題3的思考作鋪墊;問(wèn)題3是我們最終的探究目的,要通過(guò)問(wèn)題3建立對(duì)數(shù)的概念.3個(gè)問(wèn)題過(guò)渡自然,既體現(xiàn)循序漸進(jìn)的原則,又能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到問(wèn)題的關(guān)聯(lián)性,同時(shí)還增強(qiáng)了學(xué)生的探究信心.

    3.3 交流反饋

    交流1 教師要求每位學(xué)生獨(dú)立寫(xiě)出5個(gè)對(duì)數(shù),然后同桌間交流各自的認(rèn)識(shí).

    交流2 教師選取3名學(xué)生代表,先從指數(shù)、對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)換角度來(lái)匯報(bào)交流自己的認(rèn)識(shí),此外,學(xué)生還可從其他角度理解,不限制思維,教師加以點(diǎn)評(píng).

    交流3 教師提出問(wèn)題,要求學(xué)生探究logaab與alogaN的值.首先是4人一組,交流討論;然后由學(xué)生代表匯報(bào)探究成果.

    這一過(guò)程用時(shí)約15分鐘.

    設(shè)計(jì)意圖 對(duì)數(shù)的概念雖已建立,但由于學(xué)生剛剛接觸,理解不深刻,而且不同的學(xué)生理解程度也不同,一些基本功不好的學(xué)生更要加強(qiáng)理解.交流1和交流2促進(jìn)概念的理解提升,尤其對(duì)基礎(chǔ)較弱的學(xué)生有幫助,交流3能調(diào)動(dòng)學(xué)生的探究積極性,培養(yǎng)學(xué)生的分析能力.3個(gè)交流活動(dòng),思維具有發(fā)散性,讓每位學(xué)生都有事可做,能起到“補(bǔ)差、推中、提優(yōu)”的分層教學(xué)效果.

    3.4 練習(xí)反饋

    從教材、課外資料上選取與對(duì)數(shù)概念相關(guān)的典型練習(xí)題(難度不要大,有點(diǎn)小梯度),學(xué)生先練習(xí),教師再對(duì)典型的錯(cuò)誤進(jìn)行糾正、點(diǎn)評(píng)、總結(jié)歸納,這一過(guò)程約10分鐘.

    4 一點(diǎn)反思

    問(wèn)題,是驅(qū)動(dòng)學(xué)生思維的源泉!在數(shù)學(xué)教學(xué)中,好的問(wèn)題可以啟發(fā)學(xué)生的思維,形成有效的數(shù)學(xué)探究活動(dòng).因此,所設(shè)計(jì)的問(wèn)題要符合學(xué)生的實(shí)際,如果問(wèn)題過(guò)大、過(guò)難,則會(huì)造成學(xué)生無(wú)從下手,教師啟而不發(fā);當(dāng)然,問(wèn)題過(guò)小、過(guò)碎,也不行.學(xué)生遵循教師的思路(必經(jīng)之路),最終達(dá)到目的,這樣的引導(dǎo),學(xué)生思維量小,失去“探究發(fā)現(xiàn)”的意義[3].本節(jié)課中的問(wèn)題2,學(xué)生雖懂,但要答出生5的方法,還是要經(jīng)過(guò)一番思考才行,問(wèn)題3學(xué)生雖有點(diǎn)陌生,但在問(wèn)題2的鋪墊與教師的啟發(fā)下,學(xué)生能有效探究發(fā)現(xiàn).

    教學(xué)中每一個(gè)概念都應(yīng)當(dāng)從概念所處的系統(tǒng)出發(fā),促進(jìn)學(xué)生建立新舊概念之間的各種聯(lián)系,實(shí)現(xiàn)概念網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建與擴(kuò)展,使新的概念成為學(xué)生內(nèi)部概念網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)有機(jī)組成部分.這樣,數(shù)學(xué)概念教學(xué)不再是個(gè)別概念的教學(xué),而是通過(guò)學(xué)生學(xué)習(xí)概念的各種活動(dòng),使學(xué)生獲得概念域、概念網(wǎng)絡(luò),直至完成對(duì)概念系統(tǒng)的理解與掌握[4].當(dāng)學(xué)生在原有的理解基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新概念時(shí),他們就會(huì)逐步意識(shí)到各個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的聯(lián)系,他們的理解會(huì)更深刻且牢固[5].本節(jié)課正是通過(guò)問(wèn)題1,2,3,將冪的乘方、指數(shù)運(yùn)算公式、平方根以及函數(shù)與方程等聯(lián)系起來(lái),逐步過(guò)渡到建立對(duì)數(shù)的概念,體現(xiàn)了概念之間的網(wǎng)絡(luò)聯(lián)系.

    [1] 單墫.蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)(必修1)[M].南京:江蘇教育出版社,2012.

    [2] 魏本義.不預(yù)習(xí)的課堂教學(xué)效果也精彩[J].中小學(xué)數(shù)學(xué),2012(9):27-29.

    [3] 聶必凱,鄭庭曜,孫偉,等.美國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育改革[M].北京:人民教育出版社,2010.

    [4] 李善良.現(xiàn)代認(rèn)知觀(guān)點(diǎn)下的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)與教學(xué)[M].南京:江蘇教育出版社,2005.

    [5] 全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì).美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)[M].蔡金法,譯.北京:人民教育出版社,2004.

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