《托馬斯微積分》的特點及對中國高職教育的啟示

盧小瑞

【摘要】本文分析了美國微積分教材《托馬斯微積分》的特點，比較了中美教材之間的差異，探討并提出了我院《經(jīng)濟數(shù)學與模型》的改革思路從教材改革起步，把數(shù)學職業(yè)教育與數(shù)學建模、經(jīng)濟應用有機結(jié)合起來，引領(lǐng)學生利用數(shù)學思想方法來解決實際問題.

【關(guān)鍵詞】托馬斯微積分；特點；啟示；比較；實踐

中國高職數(shù)學教育的課程設(shè)計要求“以專業(yè)需要為依據(jù)、知識應用為主線、創(chuàng)新思維為導向、人才培養(yǎng)為目標”，以“必須、夠用”為目的，開設(shè)了數(shù)學基礎(chǔ)課《微積分》.現(xiàn)行教材跟《托馬斯微積分》比較起來，突出區(qū)別是美國教材更注重培養(yǎng)學生的學習興趣和實踐應用能力，這恰恰是我國高職教材嚴重缺乏的.下面從《托馬斯微積分》的教材特點來印證以上觀點.

一、《托馬斯微積分》的特點

（一）數(shù)學理論與現(xiàn)實應用相結(jié)合

《托馬斯微積分》教材中給出了1000多個數(shù)學問題，來自于現(xiàn)實應用的各個領(lǐng)域.例如在P314講解數(shù)學中的因變量對自變量的微分，以打開受阻塞的動脈為例，給出了血管造影術(shù)和成形術(shù)的說明，引用了法國醫(yī)師和生理學家制定的圓管內(nèi)液體層流速度的公式，并加入了兩張醫(yī)學上應用的關(guān)于血管造影術(shù)和血管成形術(shù)的原理圖，得出了流體以固定的壓力在單位時間內(nèi)流過的細管的體積V等于一個常數(shù)乘以管半徑r的四次冪，即V=kr4，問半徑r增加10%對V的影響有多大？從數(shù)學的角度看，這個醫(yī)學問題是用微分、導數(shù)來估計變化率，計算起來比較簡單，但是這種跟實際問題緊密結(jié)合的數(shù)學問題讓學生了解了醫(yī)學，學會了數(shù)學，掌握了應用.類似的例子很多，如涉及幾何背景的習題——最佳圍欄規(guī)劃、收集雨水、海報尺寸設(shè)計等；涉及物理應用的習題——矩形木質(zhì)梁的強度、無摩擦的手車、馬口鐵害蟲等；解決商業(yè)和經(jīng)濟學問題的習題——銷售背包、旅游服務(wù)、極小化平均成本等； 醫(yī)學領(lǐng)域的習題——對藥物的敏感性、我們怎樣咳嗽等等.

從例題到課后習題，都在實際問題的應用背景中講解數(shù)學概念和原理，即通過解決現(xiàn)實問題來提高數(shù)學學習的目的性、趣味性，又拓寬了學生的知識視野，體現(xiàn)了數(shù)學理論的實踐價值，對促進學生的學習積極性主動性大有裨益.

（二）“問題驅(qū)動式”的內(nèi)容安排

美國教材的每個主題都從幾何、數(shù)值、分析、語言四個方面進行闡明，應用阿基米德方法即“問題驅(qū)動式”的內(nèi)容安排方式，盡可能地從實際問題出發(fā)，根據(jù)對實際問題的探究，自然而然的得出概念的定義與解決方法.這樣更符合由易到難、由具體到抽象的思維認知規(guī)律.

例如P95講變化率的問題：先講解求平均速度、求瞬時速度的例題，用代數(shù)的方法確認瞬時速度，在幾何上畫圖說明平均變化率就是割線的斜率，然后給出平均變化率的數(shù)學定義.再以一個實際問題“擋熱罩的溫度變化”著手，從這個具體的溫度函數(shù)圖像入手分析，順理成章的得到溫度的瞬時變化率，給出函數(shù)極限的非正式定義，進一步舉例，然后給出極限的嚴格數(shù)學定義.托馬斯教材中，極限的定義做了兩次處理，從直觀定義過渡到精確定義，教材處理較費時，但極限概念的兩次處理方法有利于學生接受和教師教學時靈活處理.

（三）題型豐富、內(nèi)容有趣、數(shù)量龐大

《托馬斯微積分》大約有6000道練習題， 練習題量大但不同于我們認知中的那種題海，每一道題都有作者出題的意圖，50%以上是關(guān)于實際應用的.美式教材的編者在習題配置和選材上頗費心思，題目風格多樣.題目設(shè)計的指導思想：立意活潑，強調(diào)應用能力，有很多不那么 “正規(guī)”的數(shù)學題，內(nèi)容和形式都很新穎，內(nèi)容涉及面廣，給人印象深刻.本文以《極限與連續(xù)》一章為例比較中美微積分教材中習題數(shù)量與質(zhì)量的區(qū)別.

（四）尊重知識產(chǎn)權(quán)，重視數(shù)學史素養(yǎng)

在《托馬斯微積分》中所有引述實例或者采納有實際背景的資料都注明出處，真實可信，使學生對所學知識有真實感，也潛移默化地培養(yǎng)了學生尊重知識產(chǎn)權(quán)，養(yǎng)成寫文章必須注明資料來源的良好習慣.重視數(shù)學史，重視數(shù)學素養(yǎng)教育.在教材所附光盤中，包含了微積分發(fā)展年表、微分方程發(fā)展專題，一百多位大數(shù)學家的傳記.介紹杰出數(shù)學家，介紹數(shù)學發(fā)展的歷程中每個階段數(shù)學家們考慮的重大問題.有關(guān)歷史的教學單元可以作為講課的補充材料或用于學生的課外活動.這些教學單元是了解數(shù)學思想和數(shù)學方法來龍去脈、論述課題的極好原始材料.

二、《托馬斯微積分》對中國高職數(shù)學教育的啟發(fā)

（一）內(nèi)容豐富，結(jié)構(gòu)編排流暢.首先，國內(nèi)微積分教材體系比較單一，內(nèi)容趨同，美國教材提供了一類差別較大的參照教材，有較強的互補性；其次，美式教材內(nèi)容的現(xiàn)代化、時代性、取材的豐富性、趣味性、內(nèi)容的應用性（包括學科的交叉性）、習題配置的多樣性等等都值得我們借鑒；最后，教材內(nèi)容的立體化建設(shè)，美國同行提供了不少寶貴經(jīng)驗和得失，包括教學資源如何實現(xiàn)電子化、網(wǎng)絡(luò)化，教學資源如何恰當使用，教材內(nèi)容如何為現(xiàn)代教學手段搭建便利平臺等.

我們的教材建設(shè)不僅應當考慮數(shù)學課程的知識性、系統(tǒng)性、邏輯性和應用性，還應考慮對學生的啟發(fā)性，趣味性和探索性.對高職學生而言，教學內(nèi)容中刪減一些純數(shù)學理論和代數(shù)運算的習題，增加有實際背景的習題，增加數(shù)值題、圖形題、探索題、交叉題、與計算機結(jié)合的小課題等等.選好題、講好題、用好題是教學中的重要環(huán)節(jié)，這一部分是吸引學生、培養(yǎng)學生興趣的主要部分.最近，筆者看到一本應用性很強的高職教材《經(jīng)濟數(shù)學》（主編：劉洪宇，中國人民大學出版社出版，2012年），這本教材可操作性很強，是教材改革中出現(xiàn)的融知識性、趣味性于一體的好教材，但就例題習題的深度廣度上還有改進的余地.

（二）重視應用，強調(diào)思維訓練.數(shù)學學習是一種數(shù)學思維的培養(yǎng)過程.堅持數(shù)學教育主要是教會學生“數(shù)學的思維”.中國的職業(yè)教育一直提倡實踐能力的培養(yǎng)，借鑒于美國微積分的教學內(nèi)容，高職的數(shù)學教材要鮮活起來，調(diào)動學生的興趣，讓學生勤于動手，把數(shù)學建模思想融入到課本中，讓學生的積極體驗多一點，學習平臺多一點，在合作中解決實際問題，從而形成一定的應用能力及實踐能力.中小學數(shù)學改革正致力于從“學數(shù)學”到“做數(shù)學”的過程中，日本著名數(shù)學家小平邦彥在《一個數(shù)學家的妄想》中提出“數(shù)學是一門感覺的學問”.教材若能激發(fā)學生的數(shù)學感覺，學生主觀能動性的發(fā)揮對學習數(shù)學是大有裨益的.我們高職教育能否更進一步，我想主要是從解決實際問題入手，在培養(yǎng)學生動手能力、提高學生職業(yè)發(fā)展?jié)摿ι舷鹿Ψ?

（三）更新理念，重視專業(yè)融合.美國微積分教學沒有全國統(tǒng)一的文件，但是看一下所謂AP計劃所設(shè)定的一元微積分教學要求，大致反映了美國大學普通微積分的教學水平.中美教材中知識點要求基本差不多，但對教學內(nèi)容的提法和要求與我們是有較大區(qū)別的.我們應注意更新教材內(nèi)容，及時反映現(xiàn)代科技發(fā)展成果，不絕對強調(diào)統(tǒng)一教材統(tǒng)一指導，各院校根據(jù)自己的科研教學實際，有調(diào)整的完成微積分教學內(nèi)容.我們應加強數(shù)學思維和方法，數(shù)學發(fā)展過程的講解，只教會學生做純粹的數(shù)學題毫無意義.我們要重視數(shù)學在現(xiàn)代科技進展中的應用，重視數(shù)學課程與專業(yè)課程的相互融合.這種側(cè)重數(shù)學思想和方法，側(cè)重解決實際問題的教學理念正是我院《經(jīng)濟數(shù)學與模型》課程改革的著力方向.

三、 結(jié)語

目前社會各行業(yè)都急需大量的高素質(zhì)職業(yè)技術(shù)人才，國家對職業(yè)技術(shù)教育質(zhì)量高度重視，高職數(shù)學教育要切合時代發(fā)展，以培養(yǎng)職業(yè)素養(yǎng)為導向，抓住數(shù)學內(nèi)容的應用性與趣味性，有機的融入經(jīng)濟數(shù)學教學內(nèi)容中.社會生活中的數(shù)學無處不在，找到數(shù)學和職業(yè)技術(shù)培養(yǎng)的切入點，改革后的高職數(shù)學課程將會給人耳目一新的感受.

【參考文獻】

[1] [美]Finney，weir，Giordano著；葉其孝，王耀東，唐兢譯Thomascalculus（tenthedition）（托馬斯微積分第十版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2] 梁寶玨.微積分（面向21世紀高職教育基礎(chǔ)課系列教程）[M].山西人民出版社，2006.

[3] 劉洪宇.經(jīng)濟數(shù)學 （21世紀高職高專規(guī)劃教材） [M]. 北京：中國人民大學出版社出版，2012.

[4] 郭鏡明； 朱曉平； 應明. 交流互補 融合提高——中美微積分教材內(nèi)容的比較[J].高等數(shù)學研究，2006（1）.

[5] 張偉平. 美國微積分教學的“四原則” [J].高等數(shù)學研究，2007（1）.

[6] 葉塞英、胡月. 國內(nèi)外兩本微積分教材的比較與啟示[J].大學數(shù)學， 2007（2）.

[7] 薛有才、張少林. 中美數(shù)學分析教材比較分析與思考[J].高等理科教育，2008（4）.

[8] 薛有才、胡月、葉賽英. 中美典型微積分教材比較分析與思考[J].科技與出版，2006（2）.