直線的另一種定義方法

郎林華

【摘要】本文利用空間圓點(diǎn)的定義給出了直線的另一種定義方法，并作出了相應(yīng)的證明.

【關(guān)鍵詞】空間圓點(diǎn)；直線；旋轉(zhuǎn)

一、空間圓點(diǎn)的定義及證明

1.空間圓點(diǎn)的定義

在空間內(nèi)任取兩個(gè)不重合的定點(diǎn)O1，O2，取一條過O1，O2的線a，并在線a上任取一點(diǎn)A，使線a繞O1，O2做定形旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A形成的軌跡是空間圓時(shí)不必再算，當(dāng)點(diǎn)A的軌跡是點(diǎn)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)A就叫作空間圓點(diǎn)，也叫作O1，O2的空間圓點(diǎn)A.如圖，定點(diǎn)O1，O2，線a以及線a繞O1，O2做定形旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的線a′，線a上的點(diǎn)B，C和點(diǎn)B點(diǎn)、C分別產(chǎn)生的空間圓B0，C0.

2.證明：因?yàn)榭臻g圓是有大小的，所以O(shè)1，O2的空間圓A0是可以大于O1，O2的空間圓B0的.根據(jù)空間圓的性質(zhì)，線c是可以通過O1，O2，A，B的，這樣便形成另一種圖形，那么線c繞O1，O2做定形旋轉(zhuǎn)時(shí)，線c上的點(diǎn)A，B分別產(chǎn)生的空間圓與A0，B0是相同的.

這樣當(dāng)空間圓一直小下去時(shí)，最終會(huì)有過O1，O2，A，B的線d上的一點(diǎn)D，在線d繞O1，O2做定形旋轉(zhuǎn)時(shí)生成一個(gè)D點(diǎn)的軌跡是D0，這樣點(diǎn)D0就叫作點(diǎn)O1，O2的空間圓點(diǎn)D0.并由證明可以看出O1，O2的空間點(diǎn)是無(wú)窮多個(gè).

3.空間圓點(diǎn)的性質(zhì)

（1）線a是過O1，O2的線，A是線a上的點(diǎn)，A0是O1，O2的空間圓點(diǎn).如果再有一條線b過點(diǎn)O1，O2，A，那么當(dāng)線a和線b同時(shí)繞O1，O2做定形旋轉(zhuǎn)時(shí)，A點(diǎn)所形成的空間圓點(diǎn)A0只有一個(gè).

（2）因?yàn)镺1，O2的空間圓點(diǎn)是根據(jù)O1，O2的空間圓一直變小形成的，所以O(shè)1，O2的空間圓點(diǎn)是O1，O2的空間圓的中心部分.

二、直線的另一種定義及性質(zhì)

1.直線的另一種定義：在空間內(nèi)任取不重合的兩定點(diǎn)O1，O2，只過所有O1，O2的空間圓點(diǎn)的線a叫作直線.

2.證明：根據(jù)空間圓點(diǎn)的性質(zhì)（1），過空間內(nèi)任意不重合的兩定點(diǎn)O1，O2和給定的O1，O2的空間圓點(diǎn)A的線，繞O1，O2做定形旋轉(zhuǎn)，則給定的O1，O2的空間圓點(diǎn)A不變.所以當(dāng)線只過所有O1，O2的空間圓點(diǎn)時(shí)，線上所有的空間圓點(diǎn)在線繞O1，O2做定形旋轉(zhuǎn)后所有O1，O2的空間圓點(diǎn)不變，也就是線不變.這樣，只過所有O1，O2的空間圓點(diǎn)的線叫作直線.

3.直線的性質(zhì)

（1）根據(jù)空間圓點(diǎn)的性質(zhì)（1）（2）可知，過O1，O2的直線有且只有一條，也就是兩點(diǎn)可確定一條直線.

（2）根據(jù)直線的定義可知，直線上的每一點(diǎn)都是O1，O2的空間圓點(diǎn)，所以，當(dāng)直線a繞O1，O2做定形旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線上的每一點(diǎn)都會(huì)與O1，O2做同樣的旋轉(zhuǎn)，這樣我們可以任取直線上不重合的兩點(diǎn)，并以兩定點(diǎn)為定點(diǎn)，使直線繞其做定形旋轉(zhuǎn)，直線不變.

（3）根據(jù)直線的性質(zhì)（2）和空間圓點(diǎn)的定義可知直線是直的.

（4）直線是無(wú)限延伸的.

（5）如果一條直線上的不重合的兩點(diǎn)可與另一條直線上的不重合的兩點(diǎn)重合，根據(jù)直線的性質(zhì)（1）可知，兩直線重合.

三、直線的其他延伸定義

1.線段的定義及性質(zhì)

（1）線段的定義：直線上任意兩個(gè)不重合的點(diǎn)，以兩點(diǎn)之間的部分叫作線段，線段上的兩點(diǎn)叫線段的端點(diǎn)，兩點(diǎn)之間的部分叫線段的長(zhǎng)度.

（2）線段的性質(zhì)：

①根據(jù)直線的性質(zhì)（2），當(dāng)線AB繞A點(diǎn)、B點(diǎn)做定形旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段不變.

②根據(jù)直線的性質(zhì)（1）可知點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的線段有且只有一條.

③任取兩線段AB，CD，讓兩線段一端點(diǎn)重合，并且使一條線段的另一端在另一條線段上，根據(jù)線段的性質(zhì)（2）可知，一條線段的全部與另一條線段的部分是重合的.

④因?yàn)橹本€是直的，所以線段也是直的.

2.射線的定義及性質(zhì)

（1）射線的定義：直線上任意一點(diǎn)及一側(cè)的部分叫射線.

（2）射線的性質(zhì)：

①根據(jù)直線的性質(zhì)（5），任意兩射線是可以重合的.

②根據(jù)直線的性質(zhì)（2）可知，射線繞射線上的任意不重合的兩點(diǎn)做定形旋轉(zhuǎn)，射線不變.

③根據(jù)直線的性質(zhì)（3）可知射線是直的.