二面角的求解策略

鄭欣

二面角問題是高考的熱點(diǎn)，求解的關(guān)鍵是根據(jù)不同的幾何背景，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，一般有傳統(tǒng)的方法：找或作出二面角的平面角，或運(yùn)用射影面積公式求解；向量法：利用兩平面的法向量的夾角。

一、定義法

感悟：利用定義法作二面角的平面角，要注意題中條件的特點(diǎn)，合理選擇棱上的點(diǎn)，過這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是平面角。

二、向量法

感悟：利用向量法求二面角，關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)形式表示出來，將二面角問題轉(zhuǎn)化為平面的法向量的夾角問題。但要注意所得角是否與圖形所示角（即鈍角還是銳角）相吻合，不吻合時(shí)，要用互補(bǔ)思想將其轉(zhuǎn)化過來。

三、補(bǔ)形法

感悟：通過補(bǔ)形，可將某些特殊的幾何體構(gòu)造成常見的長(zhǎng)方體、正方體、正四面體等，從而易找到二面角的平面角。

四、垂面法

感悟：自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角，其中面面垂直的性質(zhì)定理和三垂線定理的應(yīng)用是求解的關(guān)鍵。

五、射影面積法

感悟：斜面面積和射影面積的關(guān)系：S'=S·cosθ（S為斜面面積，S'為射影面積，θ為斜面與其射影所成二面角的平面角），這個(gè)公式對(duì)斜面為三角形、任意多邊形的情況都成立，是求二面角的好方法。當(dāng)作二面角的平面角有困難時(shí)，如果能找得斜面面積和射影面積，可直接應(yīng)用公式，求出二面角的大小。