巧用數(shù)學(xué)知識(shí) 妙解物理極值問(wèn)題

陳一誠(chéng)

極值問(wèn)題是高中物理中一個(gè)常見(jiàn)問(wèn)題。處理極值問(wèn)題的方法叫做極值法。高中物理中的極值問(wèn)題可以分為兩類：一類是直接指明變化的某物理量，要求得出最值；另一類是通過(guò)求出某量的極值，進(jìn)而以此為依據(jù)解出與之相關(guān)的問(wèn)題。

解答極值問(wèn)題可以從物理過(guò)程的分析著手，也可以從數(shù)學(xué)方法的角度思考，還可以綜合運(yùn)用物理、數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)和方法分析得出。其中，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法求解物理極值問(wèn)題，需要先由物理問(wèn)題所遵循的物理規(guī)律建立數(shù)學(xué)方程，然后進(jìn)行數(shù)學(xué)推演，在推演過(guò)程中利用數(shù)學(xué)中有關(guān)極值問(wèn)題的知識(shí)得出物理量極值。

一、利用均值定理求極值問(wèn)題

方法解讀：在解答某些物理問(wèn)題時(shí)，若通過(guò)解方程組得出的函數(shù)表達(dá)式中含有兩個(gè)代數(shù)式之積或之和為一定值，則可以利用均值定理求出相關(guān)物理量的極值。

均值定理的內(nèi)容是：（1）如果兩個(gè)變數(shù)之和為一定值，則當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等時(shí)，它們的乘積取最大值；（2）如果兩個(gè)變數(shù)之積為一定值，則當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等時(shí)，它們的和取最小值。

例1 2013年12月15日“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)“月面軟著陸”。若著陸的最后階段可簡(jiǎn)化為三個(gè)過(guò)程：①探測(cè)器從月球表面附近高為H處開(kāi)始勻減速豎直下落至靜止；②懸停，即處于靜止?fàn)顟B(tài)；③自由下落至月球表面。為了保證探測(cè)器的安全，要求探測(cè)器到達(dá)月球表面的速度不能超過(guò)v_max，月球表面附近的重力加速度為g₀，探測(cè)器在減速過(guò)程中每秒消耗的燃料△m= pa+q（a為探測(cè)器下降的加速度大小，p、q為大于零的常數(shù)）。忽略探測(cè)器因消耗燃料而引起的質(zhì)量變化。

（1） 求探測(cè)器懸停位置距月球表面的最大高度h_max。

（2） 若在保持（1）中懸停最大高度h_max不變的情況下，為使探測(cè)器減速下降過(guò)程中消耗燃料的質(zhì)量最少，則該過(guò)程中探測(cè)器的加速度為多大？最低消耗燃料的質(zhì)量m為多少？

二、利用一元二次方程根的判別式求極值問(wèn)題

方法解讀：在解答某些物理問(wèn)題時(shí)，若通過(guò)解方程組得出的函數(shù)表達(dá)式是一元二次方程，則可以利用一元二次方程根的判別式求出相關(guān)物理量的極值。

例2 如圖1所示，傾角θ=30°的足夠長(zhǎng)的光滑斜面下端與一足夠長(zhǎng)的光滑水平面相接，連接處用一光滑小圓弧過(guò)渡，斜面上距離水平面高度分別為h1=5 m和h2=0.2 m的兩點(diǎn)上，各靜止放置一小球A和B。某時(shí)刻由靜止釋放A球，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間t后，再由靜止開(kāi)始釋放B球。g取10m/S?。

（1） 為了保證A、B兩球不會(huì)在斜面上相碰，t最長(zhǎng)不能超過(guò)多少？

（2） 若A球從斜面上h1高度處自由下滑的同時(shí)，B球受到恒定外力作用從C點(diǎn)以加速度a由靜止開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)，則加速度a最大為多少時(shí)，A球能夠追上B球？

解析：（1） A、B兩球在斜面上下滑的加速度相

三、利用二次函數(shù)y=ax?+bx+c的性質(zhì)求極值問(wèn)題

方法解讀：在解答某些物理問(wèn)題時(shí)，若通過(guò)解方程組得出的表達(dá)式中含有二次函數(shù)，則可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出相關(guān)物理量的極值。

例3 如圖2所示，摩托車做騰躍特技表演。摩托車關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后以初速度v₀=10 m/s沖上高為h、頂部水平的高臺(tái)，然后從高臺(tái)水平飛出。取g=10 m/s?，在各種阻力的影響可以忽略不計(jì)的情況下，試分析：當(dāng)臺(tái)高h(yuǎn)多大時(shí)，摩托車飛出的水平距離最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)距離是多少？