求函數(shù)最值問題的常用方法例析

陶飛

[摘要]求函數(shù)最值問題的方法很多，在練習(xí)和習(xí)題過程中，學(xué)生要學(xué)會(huì)根據(jù)不同的題型，選擇合適的解題方法.主要結(jié)合具體的數(shù)學(xué)題型，介紹幾種常用的函數(shù)最值求解方法.

[關(guān)鍵詞]高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想函數(shù)最值問題常用方法

[中圖分類號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2015）110044

高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要重視數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的傳授.特別是解題教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)審題和解題.數(shù)學(xué)的解題技巧直接影響解題的速度和質(zhì)量，數(shù)學(xué)方法是極具教育價(jià)值的寶庫(kù)，是重要的教學(xué)資源.教師應(yīng)最大化地發(fā)揮數(shù)學(xué)解題方法和數(shù)學(xué)思想的導(dǎo)向與引領(lǐng)作用，通過練習(xí)鞏固和拓展提高學(xué)生的解題能力.

求函數(shù)最值問題是高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)內(nèi)容中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，其涉及的知識(shí)內(nèi)容很多，解題方法也具有很強(qiáng)的技巧性，既要求學(xué)生有扎實(shí)的基本功，又要求學(xué)生有良好的數(shù)學(xué)思維能力.從近幾年的高考試題和學(xué)生的做題情況來看，函數(shù)最值問題難度大、要求高，學(xué)生很容易失分.現(xiàn)本文結(jié)合具體的數(shù)學(xué)題型，介紹如下幾種常用的函數(shù)最值求解方法.

一、配方法

配方法是求函數(shù)最值較為常見的一種方法，主要應(yīng)用于二次函數(shù)或者可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)類型的函數(shù)最值問題求解，其常見形式為將二次函數(shù)y=ax2+bx+c通過配方變?yōu)閥=a（x+b2a）2+4ac-b24a的形式，然后再結(jié)合定義域的具體取值范圍來求解函數(shù)最值.

【例1】求函數(shù)y=x2-4x+1，x∈[1，4]的最值.

解：y=x2-4x+1=（x-2）2-3.

當(dāng)x=2時(shí)，y有最小值為-3；

當(dāng)x=4時(shí)，y有最大值為1.

分析：如果函數(shù)為二次函數(shù)，學(xué)生在用配方法求其最值時(shí)，需要注意定義域的取值范圍和對(duì)稱軸之間的關(guān)系，其主要分為兩類：對(duì)稱軸在定義域取值范圍內(nèi)和對(duì)稱軸在定義域取值范圍外.如果對(duì)稱軸在定義域取值范圍內(nèi)，則頂點(diǎn)處的函數(shù)值為其最值之一，另一最值在其端點(diǎn)處；如果對(duì)稱軸在其定義域之外，則其最值都在其端點(diǎn)處.同時(shí)，如果函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)形式，在求其最值時(shí)，學(xué)生需要注意其隱含的條件與對(duì)稱軸的關(guān)系，如三角函數(shù)的取值范圍、對(duì)數(shù)函數(shù)的限制等.

思維的方向和敏捷度直接決定思維的質(zhì)量.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)聯(lián)系教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思維.在運(yùn)用配方法求函數(shù)最值問題的教學(xué)中，教會(huì)學(xué)生利用已知的條件去分析題目的要求，根據(jù)條件去尋找方法.

而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，x=±a2b2a2+b2與x2a2+y2b2=1的兩個(gè)交點(diǎn)為（a2b2a2+b2，±a2b2a2+b2）或（-a2b2a2+b2，±a2b2a2+b2）滿足OA⊥OB.

我們可以得到下面的推論.

三、推論

推論1：橢圓x2a2+y2b2=1中，存在圓x2+y2=a2b2a2+b2的任意切線交于橢圓兩點(diǎn)A、B，使得OA⊥OB.

我們進(jìn)一步討論：在雙曲線中是否也存在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓使得切線交于曲線兩點(diǎn)A，B，并使得.

設(shè)x2a2-y2b2=1

y=kx+m，得

b2x2-a2（k2x2+2kxm+m2）=a2b2，整理為（b2-a2k2）x2-2a2kxm-a2m2-a2b2=0.

由韋達(dá)定理得

x1+x2=2a2kmb2-a2k2

x1x2=-a2m2+a2b2b2-a2k2，

由y=kx+m得

y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=（-a2m2-a2b2）k2b2-a2k2+2a2k2m2b2-a2k2+m2，即y1y2=b2m2-a2b2k2b2-a2k2.

要使OA⊥OB，必須滿足

x1x1+y1y2=-a2m2-a2b2b2-a2k2+b2m2-a2b2k2b2-a2k2=（b2-a2）m2-a2b2-a2b2k2b2+a2k2=0，即（b2-a2）m2-a2b2-a2b2k2=0，k2=b2-a2a2b2-1.

因?yàn)橹本€y=kx+m為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，所以圓的半徑為r=|m|1+k2，得r2=m21+k2=|m21+b2-a2a2b2-1|=|a2b2a2-b2|.而切線不存在斜率時(shí)，也滿足OA⊥OB.

推論2：雙曲線x2a2-y2b2=1中，存在圓x2+y2=|a2b2a2-b2|的任意切線交于橢圓兩點(diǎn)A、B，使得OA⊥OB.

我們不妨設(shè)想，當(dāng)橢圓中a=b時(shí)則轉(zhuǎn)化為圓，在圓中，此時(shí).

于是我們得到推論3

推論3：兩個(gè)同心圓，小圓的半徑為大圓半徑的時(shí)，小圓的任意切線交于大圓的兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)分別與圓心的連線相垂直.

根據(jù)，這時(shí)，圓上的兩點(diǎn)AB與圓心構(gòu)成的面積最大.

當(dāng)圓心在平面任意一點(diǎn)，圓也具有以上性質(zhì).

（責(zé)任編輯鐘偉芳）