別出心裁 思維綻放

劉海燕

[摘 要]近年來，高考試卷中涉及函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合的試題越來越多.我們應(yīng)當(dāng)有意識地挖掘和提煉數(shù)學(xué)知識本身所蘊含的豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，并引導(dǎo)學(xué)生在解法上求異，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和靈活性，提高學(xué)生的解題能力.

[關(guān)鍵詞]函數(shù) 單調(diào)性 最值 極限

函數(shù)問題是高考的熱點和難點，思維方法靈活多變.縱觀2014年全國各省市的高考試題，函數(shù)題較多地以函數(shù)單調(diào)性、極值、最值、不等式恒成立等問題出現(xiàn).教師在解題教學(xué)中除強調(diào)通性通法外，也應(yīng)注意數(shù)學(xué)思想方法的運用.本文以2014年高考理科數(shù)學(xué)北京卷第18題為例，多角度地分析求解函數(shù)最值及恒成立問題，巧妙地結(jié)合極限思想和數(shù)形結(jié)合思想，使得這一問題的求解思維更加開闊.

題目：已知函數(shù)f（x）=xcosx-sinx，x∈[0，π2].

（1）求證：f（x）≤0;

（2）若a解答：高考標(biāo)準(zhǔn)答案中的解法不再贅述.

方法一：（1）由f（x）=xcosx-sinx，

得f′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.

∵在區(qū)間[0，π2]上，f′（x）=-xsinx<0，

∴f（x）在區(qū)間[0，π2]上單調(diào)遞減，∴f（x）≤f（0）=0.

令g（x）=sinxx，x∈（0，π2） ，則g′（x）=xcosx-sinxx2= f（x）x2.

由（1）可知f（x）<0，x∈（0，π2），

∴g′（x）<0，∴g（x）在（0，π2）上單調(diào)遞減.

∴g（x）>g（π2）=2π， 且g（x）