優(yōu)化定理教學(xué) 發(fā)展學(xué)生思維

王春華

摘 ? 要：在定理教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)適當(dāng)情境，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題進(jìn)行研究，歷經(jīng)猜想、探究、失敗、反思、再探究、發(fā)現(xiàn)，類似于科學(xué)家進(jìn)行科學(xué)研究的過程，可極大地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和創(chuàng)造性，從而達(dá)到發(fā)展學(xué)生思維能力的目的.

關(guān)鍵詞：定理教學(xué);思辨能力;推理能力;創(chuàng)新意識

數(shù)學(xué)定理不僅表達(dá)了重要的數(shù)學(xué)事實(shí)，是定義的延伸，而且集中地反映了數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，反映了前人探究和創(chuàng)新的成果，是提高學(xué)生綜合素質(zhì)的好素材.在定理教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)適當(dāng)情境，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題進(jìn)行研究，歷經(jīng)猜想、探究、失敗、反思、再探究、發(fā)現(xiàn)，類似于科學(xué)家進(jìn)行科學(xué)研究的過程，可極大地調(diào)動學(xué)生的主動性和創(chuàng)造性，從而達(dá)到發(fā)展學(xué)生思維能力的目的.

結(jié)合自己多年的教學(xué)實(shí)踐，本文就“初中數(shù)學(xué)課堂中，如何優(yōu)化定理教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的思維能力”，談一談自己的幾點(diǎn)體會，與同行們商榷.

1 ? 立足定理討論，發(fā)展學(xué)生的思辨能力和求真精神

思辨能力就是思考辨析能力，是一種抽象思維能力.求真即追求真理，是指在科學(xué)理論與方法的指導(dǎo)下不斷地認(rèn)識事物的本質(zhì)，把握事物的規(guī)律. [1 ]

很多數(shù)學(xué)定理都帶有高度的抽象性和概括性，不容易理解，給學(xué)生造成很大的困惑，致使課堂氣氛顯得沉悶，學(xué)習(xí)積極性不高，容易形成教師的一言堂.而這種課堂教學(xué)往往過多地發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，限制了學(xué)生思辨能力的發(fā)展.久而久之，學(xué)生對數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)不再有好奇心，也就無從談及培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力了.因此教師應(yīng)以發(fā)展學(xué)生思辨能力和求真精神為目的，留給學(xué)生自己的空間，尊重學(xué)生的愛好、個(gè)性和人格，以平等、寬容、友善的態(tài)度對待學(xué)生，形成一種民主和諧的教學(xué)環(huán)境.在民主和諧的環(huán)境中，課堂討論能吸引學(xué)生積極主動參與，做學(xué)習(xí)的主人.

案例1 ? 在教學(xué)“三角形內(nèi)角和定理”時(shí)，教師布置學(xué)生準(zhǔn)備兩個(gè)不同形狀的紙質(zhì)三角形.師：這兩個(gè)三角形的內(nèi)角和各是多少，是否相等？生：有的搖頭表示不知道，有的說都是180°.師：看來，大家的想法不一樣.同學(xué)們是怎么發(fā)現(xiàn)它等于180°呢？請同學(xué)們小組交流、討論.（學(xué)生討論，師巡回指導(dǎo)）師：老師看各小組都有答案，哪個(gè)小組來說說你們的奇思妙想.生甲：我們用量角器分別量出三個(gè)角的度數(shù)，相加是179°.生乙：我們用量角器分別量出三個(gè)角的度數(shù)，相加是181°.生丙：我們也是用量角器分別量出三個(gè)角的度數(shù)，相加是180°.師：為什么會出現(xiàn)這種情況？生丁：量得不準(zhǔn).生戊：有的量角器有誤差.師：對，這就是測量的誤差，但是這些結(jié)果都比較接近于多少？生：180°.師：那到底三角形的內(nèi)角和是不是180°呢？還有其它的方法進(jìn)行驗(yàn)證嗎？生甲：我們撕下三個(gè)角，把三個(gè)角拼在一起，剛好湊成一個(gè)平角，所以是180°.生乙：我們把三角形的三個(gè)內(nèi)角分別往內(nèi)折，也剛好湊成一個(gè)平角.師：同學(xué)們，我們剛才用不同的方法，得到了一個(gè)相同的發(fā)現(xiàn)，這個(gè)發(fā)現(xiàn)就是？生：三角形的內(nèi)角和是180°.師：必須通過嚴(yán)格證明確定“三角形的三個(gè)內(nèi)角之和是180°.”

在對定理的討論中，師與生、生與生、組與組不斷互動，學(xué)生更積極、更主動，形成一種樂于探究、不懼困難、努力求知的學(xué)習(xí)氛圍，既鍛煉了學(xué)生的思辨能力，又孕育了數(shù)學(xué)的求真精神.

2 ? 立足定理探索，發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力

演繹推理是由已知概念、定理推出新的定理的思維方式，是進(jìn)行數(shù)學(xué)證明的有力工具，對數(shù)學(xué)的形成和發(fā)展有重要的作用，因此演繹推理能力是數(shù)學(xué)能力的一個(gè)重要方面.目前定理教學(xué)“輕過程、重結(jié)論”現(xiàn)象比較普遍，學(xué)生只是被動地接受知識，這種急于求成的教學(xué)，顯然不利于學(xué)生演繹推理能力的培養(yǎng).因此，我們在定理教學(xué)中，應(yīng)重視定理產(chǎn)生、形成的過程，引導(dǎo)學(xué)生去探索、去發(fā)現(xiàn)，發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力.

案例2 ? 在 教學(xué)“等腰三角形的性質(zhì)定理”時(shí)，提出這樣的問題：將一把三角尺和重錘如圖1放置，就能檢查一根橫梁是否水平，你知道為什么嗎？學(xué)生有可能會回答“等腰三角形三線合一”，因?yàn)椴荒芘懦胁糠謱W(xué)生已經(jīng)預(yù)習(xí)，那就可以追問“等腰三角形三線為什么會合一？”使他們帶著問題，帶著渴望參與教學(xué)活動.教師再因勢利導(dǎo)，與學(xué)生一起探索等腰三角形的性質(zhì)定理.1.創(chuàng)設(shè)情境：①讓學(xué)生制作一個(gè)等腰三角形紙片，對折、打開、分析;②給出一個(gè)直角三角形，讓學(xué)生畫出它以某一直角邊為對稱軸的對稱圖形. 2.引導(dǎo)學(xué)生探索：通過上面的操作實(shí)驗(yàn)，觀察、分析、猜想，并與他人交換意見，互相討論. 3.得出結(jié)論：①等腰三角形的兩個(gè)底角相等;②等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線互相重合. 4.指導(dǎo)學(xué)生論證：①要證兩個(gè)角相等，一般的思路是什么？學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)用“證明所在兩個(gè)三角形全等”，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)必須添加輔助線，構(gòu)造三角形;②讓學(xué)生闡述不同的證明思路，再分別用不同的方法證明;③等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線互相重合，這一命題包含3種情況，讓學(xué)生一一推理論證.

對于學(xué)生來說，經(jīng)歷這樣的探索過程，生動有趣，大大地激發(fā)了學(xué)生的求知欲和進(jìn)取心，并運(yùn)用學(xué)過的知識進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力.

3 ? 立足定理研究，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力和創(chuàng)新意識

3.1 ? 直觀感知，操作確認(rèn)，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力

合情推理的實(shí)質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)—猜想”.牛頓有一句名言：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)明.” [2 ]在定理教學(xué)中，鼓勵(lì)學(xué)生猜想，引導(dǎo)學(xué)生猜想，尊重學(xué)生的猜想，讓學(xué)生真正體驗(yàn)猜想的樂趣，享受探究的過程，進(jìn)而有序地培養(yǎng)數(shù)學(xué)合情推理能力.

案例3：在教學(xué)“勾股定理”時(shí)，課前讓每個(gè)學(xué)生準(zhǔn)備一個(gè)以3厘米長和4厘米長為直角邊的直角三角形紙片、一個(gè)以5厘米長和12厘米長為直角邊的直角三角形紙片和四個(gè)全等的直角三角形紙片.先讓學(xué)生量一量兩個(gè)不同的直角三角形的三邊的長度，并將各邊的長度填入表1：

提問：根據(jù)上面表格中的數(shù)據(jù)，對于直角三角形三邊的關(guān)系你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生猜想：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.此時(shí)，老師還不急于肯定，繼續(xù)讓學(xué)生探索：如圖2，正方形瓷磚拼成的地面，觀察圖中的三個(gè)正方形有什么關(guān)系？讓學(xué)生觀察思考，不難發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)小正方形P、Q的面積之和等于大正方形R的面積，即SP+SQ=SR .

這說明Rt△ACB的三邊有什么關(guān)系？

學(xué)生觀察猜想：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

學(xué)生通過自己動手測量、計(jì)算和觀察，從數(shù)和形兩個(gè)方面得到了一個(gè)直觀印象：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.這就是數(shù)學(xué)猜想！接著教師指出：猜想得出的結(jié)論，必須經(jīng)過推理論證.然后因勢利導(dǎo)，讓學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備的4個(gè)全等的直角三角形，通過拼圖，完成證明.

在定理教學(xué)中，教師不僅要充分利用教材，深入挖掘，而且還要引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、探索、猜想，進(jìn)而養(yǎng)成勇于探索、善于猜想的品質(zhì).同時(shí)教師要多鼓勵(lì)少批評，鼓勵(lì)學(xué)生大膽提出見解和作出猜想，激發(fā)學(xué)生的熱情，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力.

3.2 ? 多方聯(lián)想，一題多證，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力

發(fā)散性思維，是創(chuàng)造性思維的核心，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力有著直接的作用.因此我們必須重視培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，在定理教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生從多角度、多方面去認(rèn)識問題、分析問題、解決問題，以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力.

案例4：在教學(xué)“勾股定理”時(shí)，要求每個(gè)學(xué)習(xí)小組（4-6人）課前準(zhǔn)備4個(gè)全等的直角三角形（兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c）.通過動手操作、小組合作、共同探索勾股定理的證明方法.學(xué)生動手拼圖、思考，教師適時(shí)引導(dǎo)、點(diǎn)撥，讓學(xué)生逐漸明白數(shù)學(xué)圖形的割補(bǔ)方法和代數(shù)恒等關(guān)系在幾何中的運(yùn)用，并得出多種的證明方法.下面列舉其中三種證明方法：

方法1 ? 學(xué)生用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖3所示的正方形，利用面積相等進(jìn)行證明.S大正方形=S小正方形+4S直角三角形 .

即（a+b）2=c2+4×ab，

a2+2ab+b2=c2+2ab，

故a2+b2=c2.

方法2 ? 學(xué)生用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖4所示的正方形，利用面積相等進(jìn)行證明.

S小正方形+4S直角三角形

=S大正方形，

即（b-a）2+4×ab=c2，

b2-2ab+a2+2ab=c2，

故a2+b2=c2.

方法3 ? 只用兩個(gè)直角三角形拼成的圖形如圖5，不過證時(shí)要添加一條輔助線BC.由題意易得：

Rt△BAE≌Rt△EDC.

∴S梯形ABCD=（a+b）2=（a2+2ab+b2）.

∴ S梯形ABCD=S△ABE+S△BCE+S△CDE

=ab+c2+ab=（c2+2ab）.

∴a2+2ab+b2=c2+2ab.

故a2+b2=c2.

此外，教師告訴學(xué)生，勾股定理的證明方法還有很多，鼓勵(lì)學(xué)生利用課余時(shí)間查閱相關(guān)資料，積極探索.

在勾股定理教學(xué)中，重視一題多證的教法，使學(xué)生在思考問題上具有靈活性、多變性，并且引導(dǎo)學(xué)生評價(jià)各種不同解法的特點(diǎn)及其優(yōu)劣，這樣不但能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且對于優(yōu)化解題思路、增強(qiáng)發(fā)散思維能力有著十分積極的作用.

3.3 ? 正難則反，正反互化，發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力

所謂逆向思維，是指和正向思維方向相反而又相互聯(lián)系的思維過程.逆向思維是思維靈活性的一種表現(xiàn)，是一種重要的創(chuàng)造性思維，在數(shù)學(xué)定理教學(xué)中，加強(qiáng)對學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)，不僅可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的解題方向，找到解題捷徑，還有助于加深對定理的理解，掌握定理，使思維的靈活性和創(chuàng)造性得到有益的發(fā)展.

案例5 ? 在教學(xué)“平行線的判定定理”時(shí)，教師先讓學(xué)生回憶“平行線的性質(zhì)”，后提出問題，反過來，得到什么？學(xué)生很容易得出對應(yīng)的三個(gè)命題，經(jīng)推理論證后得到平行線的判定定理.為了訓(xùn)練學(xué)生的思維，隨即考學(xué)生一道題，如圖6，∠1+∠2=180°，∠3=110°求∠4的度數(shù).學(xué)生作答后，再引導(dǎo)學(xué)生分析，在圖中∠1和∠2的對頂角是一對同旁內(nèi)角，且和為180°，從而得出a∥b;再由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得到∠3的對頂角與∠4互補(bǔ)，從而得出∠4=70°.

當(dāng)然，逆向思維能力的培養(yǎng)不是一朝一夕的事，需要我們教師在平時(shí)的教學(xué)中多注意積累，有意識地利用各種教學(xué)的手段和方法對學(xué)生進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練.

3.4 ? 觀察比較，類比聯(lián)想，發(fā)展學(xué)生的求同思維能力

類比思維是從兩個(gè)對象之間在某些方面的相似關(guān)系中受到啟發(fā)，從而使問題得到解決的一種創(chuàng)造性思維. [3 ]由于類比思維具有從一個(gè)特殊領(lǐng)域的知識過渡到另一個(gè)特殊領(lǐng)域的知識的優(yōu)越性，所以將類比用于定理的教學(xué)，不但可以加深學(xué)生對定理的理解和記憶，也可以使學(xué)生對所學(xué)知識有個(gè)系統(tǒng)化的了解，發(fā)展學(xué)生的求同思維能力.

案例6 ? 在 教學(xué)“角平分線的性質(zhì)和判定定理”時(shí)，由于它與“線段垂直平分線的性質(zhì)和判定定理”有很多類似的地方，因此引導(dǎo)學(xué)生使用類比法.具體如下：①由“線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等” 類比得到“角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”;②由“與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上”類比得到“角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”.

通過類比，以舊引新，使學(xué)生對新的定理的理解更深入、記憶更牢固，運(yùn)用更靈活.在學(xué)生觀察比較過程中，教師啟發(fā)、引導(dǎo)、點(diǎn)撥，使學(xué)生變學(xué)為思，促進(jìn)學(xué)生的求同思維能力的發(fā)展.

4 ? 結(jié)束語

數(shù)學(xué)定理教學(xué)的根本任務(wù)不僅在于向?qū)W生傳授知識，更重要的是開發(fā)學(xué)生的思維.學(xué)生思維能力的培養(yǎng)是多方位的，在定理教學(xué)的每個(gè)環(huán)節(jié)中，需要教師積極創(chuàng)設(shè)途徑，通過引導(dǎo)和啟迪，使學(xué)生參與到分析知識的形成過程中去，從而使學(xué)生的思維能力得到有效的開發(fā)和培養(yǎng).只有師生共同配合，才能教學(xué)相長，才能使學(xué)生的思維在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中得到發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]周述乾.在低年級數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)[J].讀與算（教研版），2014（1）.

[3]劉仁蘭.類比思維在化學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用[J]. 中學(xué)時(shí)代：理論版，2013（9）.