對(duì)一道矩形中“小路”問(wèn)題的探究

張青云　王廣鋒

在一次教研活動(dòng)中，老師們對(duì)下面一道學(xué)生練習(xí)題的結(jié)論產(chǎn)生了不同的意見(jiàn)：

問(wèn)題如圖1，在長(zhǎng)為50米，寬為32米的矩形花園中，修建兩條交叉的小路（相交所成是銳角），且小路的水平方向或豎直方向的長(zhǎng)均為2米，則花園剩余部分的面積為多少平方米？

有人認(rèn)為：這個(gè)問(wèn)題可以運(yùn)用平移方法，把圖1轉(zhuǎn)化為圖2模樣，則剩余部分面積為：（32-2）×（50-2）=30×48=1440m2.

但有人提出異議，認(rèn)為這個(gè)結(jié)果值得懷疑，主要是兩條小路重疊部分的面積，似乎捉摸不透，不甚明朗.

那么，結(jié)果究竟應(yīng)當(dāng)是怎樣的呢？帶著這個(gè)問(wèn)題，筆者展開(kāi)了相關(guān)研究.

1平移溯源

平移變換是一種基本的圖形變換，根據(jù)平移變換的性質(zhì)，圖形平移不改變圖形的大小與形狀，即平移后圖形與平移前的圖形全等.矩形中的“小路”問(wèn)題，大多可以應(yīng)用平移變換法來(lái)研究，但按平移對(duì)象的不同，通常有兩種不同的平移理解.以圖3為例，一種是平移小路，將圖3中的兩條小路分別向原矩形的邊緣平移，如圖4，其結(jié)果是原先分離的部分組成為一個(gè)新的小矩形；另一種是平移圖3中分離的四個(gè)小矩形，使它們直接拼接為一個(gè)整體，成為一個(gè)新的較大矩形，如圖5.

不難看出，這兩種方式的平移，其最后效果都是一樣的.即圖3中剩余部分面積為：（50-2）（32-2）=48×30=1440m2.

而在某些特殊情況下，比如小路是“傾斜”或彎曲時(shí)，如圖6，那么就可以采用第二種方式理解，所謂“山不過(guò)來(lái)，我就過(guò)去”，通過(guò)平移左右兩個(gè)分離的圖形，使之組合為一個(gè)完整的矩形，如圖7.

2剪切、畫(huà)板平移操作

我們可以對(duì)圖1進(jìn)行實(shí)際剪切、平移操作.將剪切下來(lái)的四個(gè)四邊形分別標(biāo)記為甲、乙、丙、丁，之后平移拼接在一起，如圖8.觀察前后兩圖形可以發(fā)現(xiàn)，平移之后的新矩形，的確是以48、30為兩鄰邊的矩形，只是在甲、乙、丙、丁的中間結(jié)合部位，出現(xiàn)了一個(gè)較小的平行四邊形空缺.這是必然還是因?yàn)榧羟写植谠斐傻默F(xiàn)象？用幾何畫(huà)板軟件操作一下，可以更清楚地發(fā)現(xiàn)都會(huì)是這種結(jié)果.

3分析求解

3.1定性分析

仔細(xì)觀察圖8，發(fā)現(xiàn)修建的兩條小路，可以看作是四個(gè)梯形、與中間重疊的平行四邊形所共同組成，當(dāng)把甲、乙、丙、丁拼接在一起時(shí)，實(shí)質(zhì)上就是將梯形兩底拼接，但由于兩底不等，如AE≠BC、GH≠CI，在外邊沿對(duì)齊的情況下，就形成了如圖所示的中間部分不能鑲嵌的結(jié)果.這說(shuō)明了圖1并不能轉(zhuǎn)化成圖2，而且原問(wèn)題中剩余部分的面積一定小于48×30=1440m2.

3.2定量分析

在圖1中，可知：剩余部分的面積S剩余部分=S矩形-S小路1-S小路2+S小路重疊部份.不難得出，兩條小路的面積分別為：2×32=64m2、2×50=100m2，那么重疊區(qū)域的圖形面積又是多少呢？

可以確定，這個(gè)重疊區(qū)域一定是一個(gè)平行四邊形，但不能確定為菱形，因?yàn)閳D中的小路，僅是“水平方向或者豎直方向的長(zhǎng)為2米”，這不等同于“小路的寬為2米”，也不等同于“這個(gè)重疊區(qū)域的各邊為2米”.小路的寬應(yīng)該是指兩條（斜著的）平行線間的距離，由圖9可知，小路寬度不大于2米，且隨著小路的“傾斜角”的變化而變化.

為了研究方便，我們標(biāo)記圖1中兩條小路與矩形邊線所夾銳角分別為α、β，重疊部分的平行四邊形EFGC及相關(guān)圖形標(biāo)記如圖10.

4回顧反思

4.1問(wèn)題的特例

在這個(gè)問(wèn)題中，如果α=90°或β=90°時(shí)，因?yàn)閏os90°=0，sin90°=1，所以SEFGC=4.這說(shuō)明如果兩條小路中，有一條是水平或豎直，另一條斜著交叉，如圖11，那么剩余部分的面積為32×50-2×32-2×50+2×2=1440m2，此時(shí)，剪切平移后的圖形如圖12所示，可以完美地拼接為一個(gè)完整的30×48大小的矩形.

4.2問(wèn)題的變式

當(dāng)我們把原問(wèn)題中“小路水平方向或者豎直方向的長(zhǎng)為2米”，改為“小路的寬為2米”時(shí)，這個(gè)重疊部分的平行四邊形EFGC的面積又當(dāng)如何呢？我們?cè)俅螒?yīng)用幾何畫(huà)板幫助我們演示.

兩條等寬的小路相交，交叉重疊部分為一個(gè)菱形，其形狀會(huì)發(fā)生改變，面積也并非定值.不停變動(dòng)位置，研究發(fā)現(xiàn)，S菱形EFGC≥4，花園剩余部分的面積也仍是一個(gè)變量.

作者簡(jiǎn)介張青云 男，1968年8月出生，湖北荊州人，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作，在各級(jí)各類教育刊物上發(fā)表文章70余篇.王廣鋒，男，1982年2月出生，山東濟(jì)南人，碩士，中學(xué)一級(jí)教師.從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.