利用圓的一個結(jié)論求一類線段最值

鄧文忠

圓中有一個結(jié)論，利用該結(jié)論可以求一類線段的最值.

結(jié)論圓外或圓內(nèi)一點到圓上各點間的線段中，當(dāng)線段所在直線過圓心時取得最值.

如圖1、圖2，若點P不在⊙O上，射線OP交⊙O于B，射線OP的反向延長線交⊙O于A，則點P到⊙O上各點之間的線段中，PB最短，PA最長.

簡證設(shè)點Q為⊙O上異于A、B的任一點.如圖1，當(dāng)點P在⊙O內(nèi)時，PB=OB-OP=OQ-OPPQ，即PA最長.當(dāng)點P在⊙O外時，證明留給讀者.

例1如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=12，點D在邊AC上（不與A、C重合）且AD=4，連接BD，將線段AD繞點A旋轉(zhuǎn)，點F始終為BD中點，則線段CF長度的最大值為，最小值為.

解析在Rt△ACB中，AB=62+122=65.在Rt△DCB中，由斜邊中線的性質(zhì)得CF=12BD.要求線段CF長度的最值，只需求線段BD長度的最值.由題意，點D在以A為圓心、4為半徑的圓上，如圖3.設(shè)⊙A交AB于點M，交BA的延長線于N.

線段BD長度的最小值為BM=AB-AM=65-4；最大值為BN=AB+AN=65+4.所以線段CF長度的最大值為35+2；最小值為35-2.

點評依據(jù)旋轉(zhuǎn)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變想到了構(gòu)造圓，轉(zhuǎn)化為點與圓的最值問題.

例2（2012義烏）在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1BC1.

（1）如圖4，當(dāng)點C1在線段CA的延長線上時，求∠CC1A1的度數(shù)；

（2）如圖5，連接AA1、CC1.若△ABA1的面積為4，求△CBC1的面積；

（3）如圖6，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點P的對應(yīng)點是點P1，求線段EP1長度的最大值與最小值.

解析（1）∠CC1A1=90°；（2）254；

（3）如圖7，由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)知動點P1在以點B為圓心、BP為半徑的圓上，而點E是個定點，故當(dāng)直線EP1過圓心B時取得最值.

如圖8，過點B作BD⊥AC，D為垂足.因為△ABC為銳角三角形，所以點D在線段AC上.在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=522.

①當(dāng)P在AC上運動至垂足點D，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P1在線段AB上時，EP1最小，最小值為EP1=BP1-BE=BD-BE=522-2；

②如圖9，當(dāng)P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，最大值為EP1=BP1+BE=5+2=7.

點評依據(jù)旋轉(zhuǎn)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變想到了構(gòu)造圓，轉(zhuǎn)化為點與圓的最值問題.圖中圓可以不畫，但畫出來更讓人容易理解本質(zhì).

例3（2013武漢）如圖10，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點，滿足AE=DF.連接CF交BD于G，連接BE交AG于點H.若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是.

解析易證△ADG≌△CDG和△ABE≌△DCF得∠DAG=∠DCF=∠ABE.易得∠AHB=90°，所以動點H在以AB為直徑的圓弧上.如圖10，設(shè)AB的中點為O，以AB為直徑畫圓弧.此時問題轉(zhuǎn)化為定點D到圓上一動點H間的最值，當(dāng)直線DH過圓心O時有最值.

連接OD交圓弧于H′.線段DH長度的最小值=DH′=OD-OH′=22+12-1=5-1.

點評由90°想到了“直徑所對的圓周角等于90°”，因而構(gòu)造輔助圓，轉(zhuǎn)化為點與圓的最值問題.本題得出∠AHB=90°很關(guān)鍵，否則難以聯(lián)想到圓.這也告訴我們，解題時應(yīng)充分挖掘題目中所隱含的信息，進行合理的聯(lián)想，從而尋找到解題的切入點.

例4（2014海淀二模）在△ABC中，∠ABC=90°，D為平面內(nèi)一動點，AD=a，AC=b，其中a，b為常數(shù)，且a

（1）如圖11，若D在△ABC內(nèi)部，請在圖中畫出△FCE；

（2）在（1）的條件下，若AD⊥BE，求BE的長（用含a，b的式子表示）；

（3）若∠BAC=α，當(dāng)線段BE的長度最大時，則∠BAD的大小為；當(dāng)線段BE的長度最小時，則∠BAD的大小為（用含α的式子表示）.

解析（1）略；（2）BE=b2-a2；

（3）由平移性質(zhì)得EF=AD=a，故點E在以F為圓心、a為半徑的圓上.如圖12，設(shè)⊙F交BF于點E1，交BF的延長線于E2.由結(jié)論知線段BE的長度最小時為BE1的長；最大時為BE2的長.將⊙F及直徑E1E2平移至點A處，使點F、E1、E2分別對應(yīng)A、D1、D2.所以當(dāng)線段BE的長度最小時，∠BAD即∠BAD1=∠CFB=∠BAC=α；當(dāng)線段BE的長度最大時，∠BAD即∠BAD2=180°-∠BAD1=180°-α.

點評由圓的定義構(gòu)造圓，再應(yīng)用結(jié)論，結(jié)合平移使問題圓滿解決.

例5（2014成都）如圖13，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長度的最小值是.

解析由折疊知A′M=AM，又M是AD的中點，可得A′M=AM=DM，故點A′在以AD為直徑的圓上.如圖14，以點M為圓心、AM為半徑畫⊙M；過點M作MH⊥CD于H.由結(jié)論知，當(dāng)點A′在CM上時，A′C長度取得最小值.在Rt△MHD中，DH=DM·cos∠HDM=12；MH=DM·sin∠HDM=32.在Rt△MHC中，CM=MH2+CH2=322+522=7.所以A′C=7-1.

點評在折疊過程中，始終保持動線段A′M=AM=DM，由圓的定義自然聯(lián)想到構(gòu)造圓，再應(yīng)用結(jié)論化難為易，使問題輕松獲解.不難想象，若如沒想到圓，則難度較大.