對一道家庭作業(yè)題的解法探究

沈岳夫

1試題呈現(xiàn)

在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，EC與AD交于點(diǎn)G，點(diǎn)F在BC上.

（1）如圖1，AC∶AB=1∶2，EF⊥CB，求證：EF=CD.

（2）如圖2，AC∶AB=1∶3，EF⊥CE，求EF∶EG的值.

本題源于2013年紹興市中考數(shù)學(xué)試題中的第23題，此題是以直角三角形為依托，全面考查了全等三角形與相似三角形等知識點(diǎn)，綜合性較強(qiáng).在期末復(fù)習(xí)時(shí)，筆者選擇了此題作為一道家庭作業(yè)，結(jié)果在批閱時(shí)大大出乎我的意料，發(fā)現(xiàn)第（2）問“卡殼”現(xiàn)象較嚴(yán)重，不少學(xué)生無從下手.那么該題如何解？有何規(guī)律？筆者愿以此文與各位同仁探討.

2第（2）問解法探析

波利亞在《怎樣解題》中指出“當(dāng)我們的問題比較困難時(shí)，我們可能很有必要進(jìn)一步把問題再分解成幾部分，并研究其更細(xì)微的末節(jié).”所以，研究幾何圖形，一個(gè)基本的方法就是要認(rèn)真分析條件，尋找與之相關(guān)的基本圖形，并利用這個(gè)基本圖形的暗示作用來獲得或推理相關(guān)的結(jié)論.

就第（2）小題而言，通過閱讀題中條件，容易想到“子母型”相似三角形，并且由此可以得到一系列的等角及一些與邊有關(guān)的比例式等；再根據(jù)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，通過添輔助線，可構(gòu)造出“A字型”、“8字型”或“共點(diǎn)雙垂直型”等基本圖形，將不熟悉的圖形轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形，將無序的復(fù)雜的圖形變?yōu)橛行虻南嗷リP(guān)聯(lián)的有機(jī)整體，從中發(fā)現(xiàn)解題思路，找到解題的突破口.

2.1構(gòu)造基本圖形，思路自然的常規(guī)解法

為減少贅述，我們先做一些準(zhǔn)備，以方便后面直接引用.因?yàn)椤螩AB=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，易證Rt△CDA∽Rt△CAB∽Rt△ADB，所以AC2AB2=CD·CBBD·BC=CDBD，所以CDBD=132=13.

再根據(jù)題意，易證△ACG∽△BEF，所以CGEF=ACBE=2AC2BE=2ACAB=23，所以CG=23EF.

解法1（添一條輔助線，構(gòu)造A字型）過點(diǎn)E作EH∥AD，交BC于點(diǎn)H（如圖3），因?yàn)辄c(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)H為BD的中點(diǎn).因?yàn)镃DBD=13，所以CDDH=23.因?yàn)镈G∥EH，所以CGGE=CDDH=23，且CG=23EF，進(jìn)而可求得EFEG=33.

解法2（添一條輔助線，構(gòu)造8字型）過點(diǎn)E作EH∥BC，交AD于點(diǎn)H（如圖4），因?yàn)辄c(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)H為AD的中點(diǎn).因?yàn)镃DBD=13，所以CDEH=23.因?yàn)镃D∥EH，所以CGGE=CDEH=23，且CG=23EF，進(jìn)而可求得EFEG=33.

解法3（添兩條輔助線，構(gòu)造共點(diǎn)雙垂直）過點(diǎn)E作EH⊥AD于點(diǎn)H，EI⊥BC于點(diǎn)I（如圖5）.則可證△EHG∽△EIF，所以EFEG=EIEH.因?yàn)镋H、EI為△ABD的中位線，所以2EI2HE=ADBD.因?yàn)椤螩AB=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，所以ADBD=ACAB，所以EFEG=33.

解法4如圖5，先證△EHG∽△EIF，所以EFEG=EIEH，再證Rt△AEH≌Rt△BEI（AAS），所以EH=BI.因?yàn)樵赗t△BEI中，EIBI=tanB=ACAB=13，所以EFEG=33.

說明上述4種解法，都是根據(jù)條件中有些特殊的點(diǎn)（如中點(diǎn)）、有些特殊的位置（如垂直）等進(jìn)行添輔助線.解法1側(cè)重于構(gòu)造“A字型”的方法，如△CDG∽△CHE；解法2側(cè)重于構(gòu)造“8字型”的方法，如△CDG∽△EHG；解法3側(cè)重于構(gòu)造“共點(diǎn)雙垂直型”的方法，如△EGH∽△EFI，然后通過線段間的數(shù)量關(guān)系求得答案.綜觀這幾種方法，其本質(zhì)都是通過“中點(diǎn)”構(gòu)造出一個(gè)新三角形，將分散的條件通過全等（解法4）或相似（前3種解法）得到等量關(guān)系，進(jìn)而問題得以解決.

2.2構(gòu)造四點(diǎn)共圓，凸顯本質(zhì)的優(yōu)化解法

由上述常規(guī)解法可知，本題欲求EF∶EG的值，的確不是一件容易的事.于是思考能否將EF和EG直接放到同一個(gè)三角形中，利用相似直接求解呢？

解法5（添兩條輔助線，對角互補(bǔ)型）連接DE、GF（如圖6）.因?yàn)椤螰EG=∠FDG=90°，所以E、F、D、G四點(diǎn)共圓，所以∠EGF=∠EDF.

因?yàn)锳D⊥BD，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，所以DE=BE，所以∠EDB=∠B，所以∠EGF=∠B.又因?yàn)椤螧AC=∠GEF=90°，所以△EGF∽△ABC，所以EFEG=ACAB=13=33.

說明本解法的思路來源于解法3，若EFEG=ACAB，則△EGF∽△ABC，進(jìn)而想到連接GF，直接證明△EGF∽△ABC，這是自然合理的最直接、最本質(zhì)的方法，但要證角相等有一定的難度.若注意到∠FEG+∠FDG=180°，則容易發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E、F、D、G四點(diǎn)共圓，利用圓周角定理可將∠EGF轉(zhuǎn)化為∠EDF，于是問題迎刃而解.

3問題一般化探究

波利亞曾說過：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個(gè)以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找找，很可能附近就有好幾個(gè).”因此在解決問題之后，還要通過變化對象的非本質(zhì)屬性，來提高對數(shù)學(xué)知識的典型運(yùn)用和遷移運(yùn)用能力，豐富數(shù)學(xué)基本思想方法的體會(huì)，提高問題結(jié)構(gòu)信息的識別能力和數(shù)學(xué)知識的合理選擇能力，提高分析問題和解決問題的能力.

通過對上述解法再思考，對其弱化條件，進(jìn)行猜想，可得到：

如圖7，O是△ABC邊AC的一個(gè)分點(diǎn)，∠B與∠QOH互補(bǔ)，若OAOC=m，ABAC=n，則有OQOH=mn.

證明過O點(diǎn)分別做OE⊥AB，OF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，則可證△OEQ∽△OFH，所以O(shè)QOH=OEOF.在Rt△AEO和Rt△CFO中，OE=OAsinA，OF=OCsinC，所以O(shè)QOH=OEOF=OA·sinAOC·sinC=OAOC·sinAsinC=OAOC·BCAB=mn.

運(yùn)用此結(jié)論，很容易驗(yàn)證原題的結(jié)論.在圖2中，m=1，n=3，所以EFEG=33.

說明此變式是對原題進(jìn)行了一般性的探究，揭示了命題中條件與隱含條件、結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，將點(diǎn)的位置作了擴(kuò)展，從中點(diǎn)到任意點(diǎn)，遵循著從特殊到一般的原則.可見，在平時(shí)教學(xué)中，我們應(yīng)該多對一些已有的習(xí)題進(jìn)行有效的變式，形成一個(gè)有層次、有梯度的題組或題鏈，引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從而達(dá)到“以不變應(yīng)萬變”的目的.

4教學(xué)啟示

4.1關(guān)注解題通法，增強(qiáng)學(xué)生的解題能力

一題多解能從多角度研究試題，能較好地展示解題人的基本功，也能有效促進(jìn)學(xué)生對試題的理解，但過猶不及.一題多解不是教師表現(xiàn)自我的途徑，更不能為了多解而多解.本題中的解法1到解法4都是圍繞試題的通性，關(guān)注解題的通法，在多種解法中尋找學(xué)生易于理解、容易掌握的方法.由此可見，通過一題多解，可以加深和鞏固學(xué)生所學(xué)知識，充分運(yùn)用學(xué)過的知識，從不同的角度思考問題，采用多種方法解決問題，這有利于學(xué)生加深理解各部分知識橫向和縱向的內(nèi)在聯(lián)系，掌握各部分知識的轉(zhuǎn)化關(guān)系，從而達(dá)到培養(yǎng)思維廣闊性的目的.

4.2關(guān)注模型思想，強(qiáng)化學(xué)生的識模能力

拿到一道試題，在理解題意后，立即思考問題屬于哪一主題、哪一章節(jié)？與這一章節(jié)的哪個(gè)類型的問題比較接近？解決這個(gè)類型的問題有哪些方法？哪個(gè)方法可以首先拿來試用？這一想，下手的地方就有了，前進(jìn)的方向也大體確定了，這就是解題中的模式識別.運(yùn)用模式識別可以簡潔回答解題中的兩個(gè)基本問題，從何處下手？向何方前進(jìn)？我們說就從辨認(rèn)題型模式入手，向著提取相應(yīng)方法、使用相應(yīng)方法解題的方向前進(jìn).正如本文中所提到的構(gòu)造“A字型”、“8字型”或“共點(diǎn)雙垂直型”等基本模型，因此在平時(shí)的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從習(xí)題中提煉出常用的基本模型，再推廣模型，并通過典型問題幫助學(xué)生認(rèn)識、運(yùn)用模型，從而強(qiáng)化學(xué)生對基本模型的理解.