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    對(duì)一道“世界思維名題”題解的探索

    2015-05-06 16:22:26殷永梅侯承慧
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2015年2期
    關(guān)鍵詞:名題所求直角三角形

    殷永梅 侯承慧

    在華文出版社出版的《思維風(fēng)暴》第282頁上有一道名為“勘測(cè)員”的世界思維名題.題目大意是:有一塊如圖1所示的土地,要用一條直線把它分割成面積相等的兩部分,應(yīng)如何確定出直線的位置?為解題方便,不妨設(shè)圖中小正方形邊長(zhǎng)為a.書上給出了一個(gè)簡(jiǎn)捷明了的答案,答案的正確性無可厚非.

    仔細(xì)分析看到這一題目,我們認(rèn)為答案并非唯一,應(yīng)該還有其他答案.圍繞“分割成面積相等的兩部分”這一基本要求,對(duì)此題有多少題解進(jìn)行了探索,按照由特殊到一般的思路,發(fā)現(xiàn)此題的答案有無限多個(gè).

    下面簡(jiǎn)述我們的解法和得到的結(jié)論:

    1.頂點(diǎn)法

    先確定圖形上某一個(gè)角的頂點(diǎn)為所求直線上的一點(diǎn),再在這個(gè)角所對(duì)的邊上求出所求直線上的另一個(gè)點(diǎn),過兩點(diǎn)作直線即為所求.

    例如:先確定點(diǎn)A,再確定點(diǎn)G(見圖2),設(shè)AG分圖1為兩部分相等的直線,只要求出CG即可.

    在梯形ABCG中,已知BC=AB=2a,由(AB+CG)BC2=52a2得(2a+CG)·2a2=52a2解之得CG=12a,這樣就確定出了點(diǎn)G的位置,直線AG即為所求.

    又如:先確定點(diǎn)B,再求出點(diǎn)H.在直角三角形BCH中,由BC·CH2=52a2得出2a(3a-DH)2=52a2,解之得DH=12a,點(diǎn)H隨之定出,直線BH即為所求(圖2).

    同理,可以求得符合題意的直線CK、FR(圖3)、DM、EN(圖4).

    2.任點(diǎn)法

    先在圖形的周邊上任選一點(diǎn)為所求直線上的點(diǎn),然后再在圖形某邊上求出另一個(gè)點(diǎn)的位置,就可得到所求直線.

    例如:如圖5,在BC邊上任取一點(diǎn)P(暫時(shí)使BP=29a)為所求直線上的一點(diǎn),再在圖形的其他邊上求出所求直線的另一點(diǎn)L,直線PL即可求出.

    在直角三角形CPL中,由CP·CL2=52a2得1692a(3a-DL)=52a2,解之得DL=316a,點(diǎn)L的位置得以確定,便可求出直線PL的位置.

    又如,如圖5,在EF上取一點(diǎn)V為直線上的一點(diǎn)使EV=14a,再在其他邊上求得直線上另外一點(diǎn)Q,直線得以求出.(設(shè)點(diǎn)L為過點(diǎn)V與ED平行的直線與CD的交點(diǎn).)

    由DE·EV+(VL+CQ)·CL2=52a2,得出14a·a+(a+CQ)·114a2=52a2,可求得CQ=711a,點(diǎn)Q的位置得以確定,直線VQ的位置得以求出.

    3.中點(diǎn)法

    把圖形看作左右兩個(gè)正方形,過它們的中心O7、O8的連線SW即為所求;也可把圖形看作上下兩個(gè)長(zhǎng)方形,它們的中心連線O9O10也為所求(見圖6,因矩形的重心在對(duì)角線的交點(diǎn)處,所以此法也可稱之為重心法).

    4.割補(bǔ)法

    在CD上取DH=12a,連接BH即為所求(如圖7).此種解法簡(jiǎn)捷明了.

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