非完整單足跳躍機(jī)器人姿態(tài)運(yùn)動控制的樣條逼近方法

楊莉莉

YANG Li-li

(淄博職業(yè)學(xué)院，淄博 255314)

0 引言

隨著機(jī)器人應(yīng)用領(lǐng)域的不斷拓展，作為仿生機(jī)器人領(lǐng)域的跳躍機(jī)器人，因自身的結(jié)構(gòu)特點從而具有較強(qiáng)的環(huán)境適應(yīng)能力，在實際應(yīng)用時，能夠模擬袋鼠、青蛙等動物的跳躍方式，輕松躍過數(shù)倍于自身高度的障礙物或低洼場地、溝渠、坑道，可替代人類用于危急情況下復(fù)雜地段的作業(yè)，因而在考古、軍事、勘探、救援等領(lǐng)域中有廣泛應(yīng)用，此外，對跳躍機(jī)器人的研究有助于提高人類對動物奔跑、跳躍運(yùn)動機(jī)理的認(rèn)識和掌握，對指導(dǎo)跳高跳遠(yuǎn)等跳躍類運(yùn)動具有很好的啟發(fā)意義。同時，跳躍機(jī)器人的研究涉及多體系統(tǒng)動力學(xué)、非線性動力學(xué)、穩(wěn)定性控制及優(yōu)化算法等多種學(xué)科基礎(chǔ)理論和關(guān)鍵技術(shù)，近年來一直是機(jī)器人研究領(lǐng)域的熱點和難點問題。

自1980年美國學(xué)者Raibert研制出世界上最早的單足彈跳機(jī)器人[1]以來，國內(nèi)外學(xué)者以此機(jī)器人模型為基礎(chǔ)開展了大量的研究[2]，如對機(jī)器人模型的穩(wěn)定性研究[3]、跳躍運(yùn)動步態(tài)的研究[4]、動力學(xué)特性分析[5]以及相關(guān)的控制理論研究[6]等。作者[7]考慮機(jī)器人系統(tǒng)的非完整約束特性，通過引入遺傳算法，研究了單足跳躍機(jī)器人非完整運(yùn)動規(guī)劃的最優(yōu)控制問題，得到控制系統(tǒng)運(yùn)動的最優(yōu)控制規(guī)律，但從仿真實驗結(jié)果看，利用此方法得到的最優(yōu)控制輸入在系統(tǒng)運(yùn)動的初始和終止時刻均不為零，不便于利用電機(jī)實現(xiàn)對機(jī)器人系統(tǒng)運(yùn)動的控制。

為解決這一問題，本文利用樣條逼近方法替代文獻(xiàn)[7]中的傅里葉基逼近方法，在實際仿真實驗時選用三次樣條逼近方法進(jìn)行擬合，通過粒子群優(yōu)化算法求得初值和終值均為零的最優(yōu)控制輸入，并在設(shè)定的運(yùn)動周期內(nèi)控制機(jī)器人從初始位姿運(yùn)動到期望的末端位姿。首先建立系統(tǒng)的動力學(xué)模型，在系統(tǒng)角動量守恒的情況下，將帶有非完整約束的系統(tǒng)運(yùn)動規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化成最優(yōu)控制問題，引入樣條逼近方法和粒子群優(yōu)化算法，得到系統(tǒng)姿態(tài)運(yùn)動的優(yōu)化運(yùn)動軌跡和在運(yùn)動初始及終止時刻系統(tǒng)控制輸入均為零的最優(yōu)控制規(guī)律。文末結(jié)合算例進(jìn)行了數(shù)值仿真，結(jié)果表明所提出的方法對非完整單足跳躍機(jī)器人姿態(tài)運(yùn)動控制是有效的。

1 單足跳躍機(jī)器人模型

設(shè)單足跳躍機(jī)器人系統(tǒng)由本體和一條可轉(zhuǎn)動并能伸縮的可驅(qū)動腿構(gòu)成，如圖1所示，系統(tǒng)具有二個自由度，可做平面運(yùn)動。根據(jù)多體系統(tǒng)動力學(xué)理論，在無外力矩作用時，系統(tǒng)的“約束”為角動量守恒，則有單足跳躍機(jī)器人系統(tǒng)的角動量[1]：

式中，I為機(jī)器人本體的慣性矩陣，m為腿的質(zhì)量，并假定集中在腳上，d 為上腿長度。q=為機(jī)器人系統(tǒng)位形參數(shù)，其中，為驅(qū)動腿相對于本體的轉(zhuǎn)角，l 為腿的伸縮量，為本體的轉(zhuǎn)角。

圖1 單足跳躍機(jī)器人模型

當(dāng)機(jī)器人處于騰空狀態(tài)時，設(shè)系統(tǒng)初始角動量為零，則由式（1）可得：

由系統(tǒng)角動量守恒得到的式（3）為不可積的形式，即單足跳躍機(jī)器人系統(tǒng)具有不可積的角速度約束，也稱為非完整約束[8]。

2 系統(tǒng)姿態(tài)運(yùn)動的優(yōu)化控制問題

由式（3）可知，q是u和t的函數(shù)。式（3）可視為單足跳躍機(jī)器人姿態(tài)運(yùn)動（3個狀態(tài)變量）受控于2個控制輸入的控制系統(tǒng)。當(dāng)給定系統(tǒng)運(yùn)動的初始位形和末端位形后，通過優(yōu)化給定的目標(biāo)函數(shù)可以求得一組最優(yōu)控制輸入控制系統(tǒng)在運(yùn)動周期T內(nèi)從q0運(yùn)動到qf。

當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動時，其姿態(tài)會發(fā)生相應(yīng)的變化，當(dāng)姿態(tài)快速變化時，會消耗較多的能量[9]，因此，可將能耗作為系統(tǒng)運(yùn)動的優(yōu)化目標(biāo)。根據(jù)最小能量原理，選擇機(jī)器人姿態(tài)運(yùn)動時消耗的能量作為最優(yōu)控制目標(biāo)，其目標(biāo)函數(shù)可表示為：

將式（5）代入式（4）中，即可求得系統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)值，將控制輸入向量λ視為新的控制變量，考慮系統(tǒng)運(yùn)動到末端位置的精度約束，引入罰函數(shù)法，則式（4）可表示為：

3 系統(tǒng)運(yùn)動規(guī)劃的粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法[10]（簡稱PSO），是基于鳥類集群覓食行為而提出的一種模擬群體進(jìn)化的智能優(yōu)化算法。在利用該算法時，每個備選解都被視為一只鳥，稱為“粒子”。多個“粒子”構(gòu)成鳥群，在搜索空間內(nèi)尋優(yōu)。每個粒子都有一個目標(biāo)函數(shù)值，在搜索時不斷優(yōu)化該值來跟蹤當(dāng)前群體的最優(yōu)位置，此外，粒子還有一個速度決定它們飛翔的方向和距離。實際計算應(yīng)用時，每個粒子的初始位置和速度隨機(jī)產(chǎn)生，通過迭代進(jìn)化在解空間內(nèi)搜尋最優(yōu)解。設(shè)每個粒子的維數(shù)為D維，第i個粒子的位置矢量為速度矢量

其中w為慣性因子； 1 2,c c 為加速因子，其取值為正常數(shù)；之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)；粒子的第維的位置和速度變化均有固定取值范圍，在迭代時，若粒子的位置和速度超過邊界范圍則取邊界值。

應(yīng)用于非完整單足跳躍機(jī)器人系統(tǒng)姿態(tài)運(yùn)動規(guī)劃的粒子群優(yōu)化算法，其計算步驟如下：

2）更新粒子速度和位置。根據(jù)式（7）和式（8）更新粒子的速度和位置。

3）判斷是否需更新目標(biāo)函數(shù)值。根據(jù)式（6）計算每個粒子的目標(biāo)函數(shù)值。如果當(dāng)前的目標(biāo)函數(shù)值優(yōu)于更新前的目標(biāo)函數(shù)值，則更新目標(biāo)函數(shù)值。若所得的Pi和Pg值優(yōu)于更新前的Pi和Pg值，則更新Pi和Pg值。

4） 檢驗終止條件。若程序達(dá)到預(yù)先設(shè)定的最大迭代次數(shù)，則終止程序并輸出最優(yōu)解，否則轉(zhuǎn)到步驟2）繼續(xù)迭代直到到達(dá)最大迭代次數(shù)。

4 基于樣條逼近的算例仿真

以單足跳躍機(jī)器人模型為算例，如圖1所示。設(shè)定系統(tǒng)的質(zhì)量幾何參數(shù)為：

仿真實驗時，取T=5s，將[0,T]進(jìn)行5等份，令控制輸入的初值和終值均為零，則每個控制輸入對應(yīng)的參數(shù)個數(shù)為4，兩個控制輸入對應(yīng)的λ的維數(shù)為8。取粒子群優(yōu)化算法的控制參數(shù)[11]分別為：粒子個數(shù)n=1 5，粒子維數(shù)D=8，加速因子

設(shè)以角度的逆時針旋轉(zhuǎn)為正，給定系統(tǒng)運(yùn)動的初始和末端位形分別為：算法經(jīng)過500次迭代求得最優(yōu)解，仿真結(jié)果如圖2 和圖3 所示。其中，圖2（a）、（b）、（c）分別為系統(tǒng)3個位形參數(shù)的變化規(guī)律，圖3（a）、（b）分別為最優(yōu)控制輸入規(guī)律。從圖中可以看出，機(jī)器人在設(shè)定的運(yùn)動周期5s內(nèi)，系統(tǒng)可以從初始位形運(yùn)動到預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)位形，且在初始和終止時刻最優(yōu)控制輸入值均為零，便于利用電機(jī)實現(xiàn)對機(jī)器人運(yùn)動的控制。求得目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為J=696.1112。

圖2 單足跳躍機(jī)器人位形參數(shù)變化軌跡

圖3 單足跳躍機(jī)器人運(yùn)動最優(yōu)控制輸入規(guī)律

5 結(jié)論

本文針對帶有非完整約束的單足跳躍機(jī)器人系統(tǒng)模型，將樣條逼近技術(shù)和粒子群優(yōu)化算法引入到其姿態(tài)運(yùn)動規(guī)劃的最優(yōu)控制問題中，求得了機(jī)器人從初始姿態(tài)運(yùn)動到末端姿態(tài)的優(yōu)化運(yùn)動軌跡，且得到的最優(yōu)控制輸入的初值和終值均為零，在實際應(yīng)用中，如用電機(jī)控制系統(tǒng)運(yùn)動，則電機(jī)的初始和終止速度均為零，可方便的通過電機(jī)實現(xiàn)機(jī)器人姿態(tài)的運(yùn)動控制。這一方法解決了利用傅里葉展開技術(shù)得到的控制輸入的初始和終止速度均不為零的問題。數(shù)值仿真實驗結(jié)果表明了該方法的有效性。

此外，粒子群優(yōu)化算法還具有結(jié)構(gòu)簡單、參數(shù)較少，易于編程，收斂速度快等優(yōu)點，也更適用于工程應(yīng)用。同時，在運(yùn)動規(guī)劃中應(yīng)用樣條逼近控制輸入是一種新的有益嘗試，這一方法也為解決其他非完整系統(tǒng)的運(yùn)動控制問題提供了一個有效的新途徑。

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