推廣的F/G-展開法及其應(yīng)用

胡武強(qiáng)，張金良

(河南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 洛陽 471023)

?

推廣的F/G-展開法及其應(yīng)用

胡武強(qiáng)，張金良

(河南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 洛陽 471023)

首先推廣了F/G-展開法，使之能應(yīng)用于變系數(shù)微分方程的求解中。作為推廣的F/G-展開法應(yīng)用實(shí)例，本文在非對稱勢阱下，求解了(3+1)-維三次-五次 Gross-Pitaevskii 方程。導(dǎo)出了方程含有較多任意參數(shù)的雙曲函數(shù)形式精確解、三角函數(shù)形式周期波解，得到了孤波的傳播速度及啁啾隨時(shí)間的變化規(guī)律。

(3+1)-維三次-五次Gross-Pitaevskii方程；F/G-展開法；精確解；傳播速度；啁啾

0 引言

考慮如下形式的變系數(shù)Gross-Pitaevskii方程[1-5]：

(1)

本文首先介紹推廣的F/G-展開法；然后，利用推廣的F/G-展開法求解方程(1)；最后，得出結(jié)論。

1 F/G-展開法的推廣

1.1 推廣的F/G-展開法

推廣的F/G-展開法描述如下。

假定一個(gè)變系數(shù)非線性方程為：

Ψ(u,ut,ux,utt,uxt,uxx,…)=0，

(2)

其中:u=u(x,t)是一個(gè)未知函數(shù)；Ψ是u(x,t)及其各階偏導(dǎo)數(shù)的一個(gè)多項(xiàng)式且含有最高階的偏導(dǎo)項(xiàng)、非線性項(xiàng)。

假設(shè)方程(2)的解可以用一個(gè)含(F/G)的多項(xiàng)式表示為：

(3)

其中:F=F(ξ)、G=G(ξ)滿足線性常系數(shù)微分方程組

F′=λG，G′=μF，

(4)

其中：αm,αm-1,…,α0；p和q是只含t的函數(shù)；λ和μ是常數(shù)；ξ0是一個(gè)任意的常數(shù)；m由方程(2)中出現(xiàn)的最高階偏導(dǎo)項(xiàng)、非線性項(xiàng)之間的齊次平衡確定[16-19]。

將式(3)代入到方程(2)，并利用微分方程組(4)，合并(F/G)同次冪，方程(2)的左邊化成一個(gè)(F/G)的多項(xiàng)式，令該多項(xiàng)式的系數(shù)為零，得到一組關(guān)于αm、αm-1、…、α0、p、q以及常數(shù)λ和μ的非線性方程組。解該方程組并將所得結(jié)果代入式(3)中，利用式(4)的解，可得非線性方程(2)的精確解。

1.2 方程組(4)的精確解

情形1 若λ>0,μ>0,

情形2 若λ<0,μ<0,

情形3 若λ>0,μ<0,

情形4 若λ<0,μ>0,

2 求解變系數(shù)Gross-Pitaevskii方程

令

u(x,y,z,t)=A(x,y,z,t)exp[iB(x,y,z,t)]，

(5)

將式(5)代入式(1)，實(shí)虛分離后，得到A(x,y,z,t)、B(x,y,z,t)滿足：

(6)

(7)

令

(8)

由式(8)，得到ρ、B滿足的方程組：

ρt+β[ρxBx+ρyBy+ρzBz+ρ△B]=2γρ，

(9)

2χ1ρ3+2χ2ρ4+2Vρ2=0。

(10)

由齊次平衡原則[16-18]，假設(shè)方程組(9)～(10)的解如下：

(11)

B=a1(t)x2+a2(t)y2+a3(t)z2+b1(t)x+b2(t)y+b3(t)z+e(t)，

(12)

其中：

ξ=k1(t)x+k2(t)y+k3(t)z+ω(t)，

(13)

且f1(t)、f2(t)、a1(t)、a2(t)、a3(t)、b1(t)、b2(t)、b3(t)、e(t)、k1(t)、k2(t)、k3(t)、ω(t)待定，F(xiàn)(ξ)、G(ξ)滿足方程組(4)。

將式(11)～式(13)代入方程組(9)～(10)中，令方程組(9)～(10)左邊各項(xiàng)的系數(shù)等于0，得：

ω′+β(k1b1+k2b2+k3b3)=0；

2βf1f2[(2a1x+b1)2+(2a2y+b2)2+(2a3z+b3)2]-

求解以上非線性方程組，得：

由式(5)、式(8)、式(11)～式(13)及以上結(jié)果，得方程(1)的精確解為：

(14)

B=a1(t)x2+a2(t)y2+a3(t)z2+b1(t)x+b2(t)y+b3(t)z+e(t)，

(15)

其中：

ξ=k1(t)x+k2(t)y+k3(t)z+ω(t)。

(16)

啁啾系數(shù)隨時(shí)間的變化為：

令

ξ=Cξ，

即

k1(t)x+k2(t)y+k3(t)z+ω(t)=Cξ，

其中：Cξ為常數(shù)。

于是，沿x軸方向孤波的傳播速度為：

沿y軸方向孤波的傳播速度為：

沿z軸方向孤波的傳播速度為：

注1:為了減少篇幅，文中省去了將輔助方程組(4)的解代入式(14)中，得到(3+1)-維三次-五次Gross-Pitaevskii方程(1)含有較多任意參數(shù)的雙曲函數(shù)形式精確解、三角函數(shù)形式周期波解。

注2：為了減少篇幅，文中也不再討論當(dāng)Gross-Pitaevskii方程(1)的解中參數(shù)取定值時(shí)，得到Gross-Pitaevskii方程的一些特殊形式解，如亮孤子解、暗孤子解等。

3 結(jié)論

本文推廣了F/G-展開法，使之可用來求解變系數(shù)微分方程的精確解。利用推廣的F/G-展開法，導(dǎo)出了(3+1)-維三次-五次 Gross-Pitaevskii 方程含有較多任意參數(shù)的雙曲函數(shù)形式精確解、三角函數(shù)形式周期波解，并得到了啁啾系數(shù)隨時(shí)間的變化以及孤波的傳播速度。本文提出的推廣的F/G-展開法，可以應(yīng)用于其他變系數(shù)微分方程的求解中。

[1] Dalfovo F，Giorgini S，Pitaevskii L P，et al．Theory of Bose-Einstein Condensation in Trapped Gases[J].Reviews of Modern Physics,1999,71:463-512.

[2]Kobayashi M,Tsubota M.Kolmogorov Spectrum of Superfluid Turbulence:Numerical Analysis of the Gross-Pitaevskii Equation with a Small-scale Dissipation[J].Physical Review Letters,2005,94:5302-5306.

[3] Zhong W P，Belicé M R，Lu Y Q，et al.Traveling and Solitary Wave Solutions to the One-Dimensional Gross-Pitaevskii Equation[J].Physical Review E,2010,81:6605-6609.

[4] Duan Y S,Hang P M.Vortex in Generalized Gross-Pitaevskii Theory[J].Nuclear Physics Review,2001,18(4):225-231.

[5] Zhao L,Yang J,Xie Q Y,et al.Topological Aspect of Vortex Lines in Two-dimensional Gross Pitaevskii Theory[J].Chinese Physics B,2012,21:090304.

[6] Dai C Q,Chen R P,Wang Y Y.Spatiotemporal Self-Similar Solutions for the Nonautonomous (3+1)-Dimensional Cubic Quintic Gross Pitaevskii Equation[J].Chinese Physics B,2012,21:030508.

[7] 石玉仁,許新建,吳枝喜,等.含時(shí)線性勢Gross-Piteavskii方程的孤立波解[J].蘭州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,43(4):131-135.

[8] Shi Y R,Wang X L,Wang G H,et al.Analytical Solutions for the Two-Dimensional Gross-Pitaevskii Equation with a Harmonic Trap[J].Commun Theor Phys,2013,59:273-278.

[9] Shi Y R,Liu C B,Wang G H,et al.Application of the Homotopy Analysis Method for the Gross-Pitaevskii Equation with a Harmonic Trap[J].Chinese Physics B,2012,12:120307.

[10] Hu X,Li B.Exact Analytical Solutions of Three-dimensional Gross-Pitaevskii Equation with Time Space Modulation[J].Chinese Physics B,2011,20:050315.

[11] Fei J X,Zheng C L.Exact Solutions and Localized Excitations of a (3+1)-Dimensional Gross Pitaevskii System[J].Chinese Physics B,2012,21:070304.

[12] Mei J Q,Zhang H Q.New Families of Soliton and Periodic Solutions of Bose-Einstein Condensation in Linear Magnetic Field and Time-Dependent Laser Field[J].Commun Theor Phys,2005,44:209-212.

[13] Gao Y,Lou S Y.Analytical Solitary Wave Solutions to a (3+1)-Dimensional Gross-Pitaevskii Equation with Variable Coefficients[J].Commun Theor Phys,2009,52:1031-1035.

[14] 紀(jì)慶群,陳浩.(3+1) 維3次-5次 Gross-Pitaevskii 方程在非對稱勢阱下的精確解[J].華南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,46(2):46-49.

[15]Lee Y,An J H.New Exact Solutions of Some Nonlinear Evolution Equations by Sub-ODE Method[J].Honam Mathematical Journal,2013,35:683-699.

[16] Wang M L.Solitary Wave Solutions for Variant Boussinesq Equations[J].Physics Letters A,1995,199:169-172.

[17] Zhang J L,Wang Y M,Wang M L,et al.New Application of the Homogeneous Balance Principle[J].Chinese Physics,2003,12:245-250.

[18] 黃彥輝,張金良,魏鵬波.兩個(gè)變系數(shù)非線性Schr?dinger的精確解[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013，34(3):83-86.

[19] 李偉,張金良.Klein-Gordon-Schr?dinger方程組的精確解[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,35(6):84-87.

河南省基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究基金項(xiàng)目(092300410179);河南科技大學(xué)科研創(chuàng)新能力培育基金項(xiàng)目(2011CX011)

胡武強(qiáng)(1976-),男,河南宜陽人,碩士生;張金良(1966-),男,河南唐河人,教授,博士,碩士生導(dǎo)師,研究方向?yàn)榉蔷€性數(shù)學(xué)物理問題.

2015-04-30

1672-6871(2015)06-0091-05

O175.7

A