執(zhí)行器飽和TS模糊時滯系統(tǒng)記憶耗散控制

馬躍超，陳夢華

(燕山大學 理學院，河北 秦皇島 066004)

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執(zhí)行器飽和TS模糊時滯系統(tǒng)記憶耗散控制

馬躍超，陳夢華

(燕山大學 理學院，河北 秦皇島 066004)

針對基于執(zhí)行器飽和的不確定TS模糊時滯系統(tǒng)，設計了記憶耗散控制器。使用Wirtinger不等式，得到了使閉環(huán)系統(tǒng)既漸近穩(wěn)定又滿足耗散指標的時滯依賴條件。通過求解線性矩陣不等式，得到了控制器增益矩陣。最后，閉環(huán)系統(tǒng)最大吸引域的求解轉化為一個最優(yōu)化問題。數值仿真驗證了所提出方法的可行性和優(yōu)越性。

記憶控制；耗散性；TS模糊系統(tǒng)；時滯；執(zhí)行器飽和

0 引言

TS(Takagi-Sugeno)模糊系統(tǒng)不僅是近似非線性系統(tǒng)的強大工具，也是充分利用線性系統(tǒng)理論和優(yōu)勢的靈活框架。因此，TS模糊模型已經延伸到對非線性時滯系統(tǒng)的分析和綜合問題上[1-3]。近幾年,耗散理論的研究成為熱點[4]。對于非線性系統(tǒng)，采用TS模糊模型,耗散控制器設計是行之有效的。文獻[5]利用TS模糊模型討論了非線性系統(tǒng)的耗散控制問題。但是，文獻[1-5]都沒有考慮執(zhí)行器飽和的影響。由于設備固有的物理限制，執(zhí)行器飽和在實際控制系統(tǒng)中普遍存在。忽略飽和可能導致系統(tǒng)性能下降甚至不穩(wěn)定。在非線性系統(tǒng)中，由于飽和所造成的復雜程度,控制器的設計變得更加復雜，利用TS模糊模型可以克服這些障礙[6-7]。另外，帶有輸入約束的記憶狀態(tài)反饋控制器，可以使得到的線性矩陣不等式具有較小的保守性及數值優(yōu)化具有更大的可行域[8]。

基于以上討論，本文針對基于執(zhí)行器飽和的不確定TS模糊時滯系統(tǒng),研究了記憶耗散控制問題。首次提出對基于飽和執(zhí)行器的TS模糊時滯系統(tǒng)記憶耗散控制問題的研究。研究結果表明：Wirtinger不等式[9]的應用降低了保守性，最大吸引域和記憶耗散控制器可以通過解線性矩陣不等式得到。

1 問題的提出

考慮如下含時滯的不確定TS模糊模型。規(guī)則i：若ε1(t)是Wi1,ε2(t)是Wi2，…，εp(t)是Wip，那么

(1)

其中：i∈:={1,2,…,r},r是模糊規(guī)則數；Wik(i∈,k=1,2…,p)是模糊集；x(t)∈Rn是狀態(tài)向量；ω(t)∈Rq是擾動，并且ω(t)∈L2[0,∞)；z(t)∈Rp是控制輸出；φ(t)是初始條件；τ(t)是時變時滯,滿足0≤τ(t)≤τ，(t)≤μ；u(t)∈Rl是控制輸入，sat:Rl→Rl是標準的飽和函數，定義sat(u(t))=[sat(u1(t)),…,sat(ul(t))]T，不失一般性，sat(ui(t))=sign(ui(t))min{1,；A1i,A2i,Bi,Bωi,C1i,C2i,Dωi是已知適當維數的實值矩陣；△A1i,△A2i,△C1i,△C2i是未知矩陣，且△A1i=M1i△1N1i,△A2i=M2i△2N2i,△C1i=M3i△3N3i,△C2i=M4i△4N4i，其中，M1i,M2i,M3i,M4i,N1i,N2i，N3i,N4i是已知的適維矩陣△i(i=1,2,3,4)為元素，是Lebesgue可測的不確定矩陣，滿足△t≤I。假定前件變量ε(t)=[ε1(t)ε2(t)…εp(t)]T與輸入向量u(t)無關，令△A1i,△A2i,△C1i,△C2i,得到如下全局模糊系統(tǒng)模型：

(2)

考慮下面的模糊全局控制器：

(3)

定義1[5]對于給定的參數α>0，實對稱矩陣Q,R和矩陣S。當系統(tǒng)(1)中u(t)=0時，對于任意t>0，是嚴格(Q,S,R)-α-耗散的，在零初始狀態(tài)下有：

Γ(t)?〈z,Qz〉t+2〈z,Sω〉t+〈ω,Rω〉t-α〈ω,ω〉t≥0，

(4)

引理1[10]對于給定矩陣Z>0和連續(xù)的可微函數，下面的不等式成立:

(5)

由式(2)、式(3)和式(5),可以得到下面的閉環(huán)系統(tǒng)：

(6)

2 主要結論

定理1 對于給定的實數α>0，對稱矩陣Q<0,R和S，閉環(huán)系統(tǒng)(6)是漸進穩(wěn)定且耗散的，如果存在對稱正定矩陣P∈R2n×2n,Q1∈Rn×n,Q2∈Rn×n,W∈Rn×n,使得下面的條件對于i,j∈和ε(P11,ρ)?L(Hi,Hτi)成立:

(7)

其中：

證明 構造Lyapunov函數如下：

(8)

對式(8)沿著系統(tǒng)(6)求導，可得：

由式(7)和上式以及Schur引理[11]易知：

(9)

另一方面，當ω(t)≠0，對不等式(9)從0到t積分，并考慮零初始狀態(tài)，有：

因為V(xt)>0，那么不等式(4)成立，即系統(tǒng)(6)是(Q,S,R)-α-耗散的。證畢。

在定理1中，對于解決TS模糊時滯系統(tǒng)耗散性問題,首次使用Wirtinger不等式。相較于Jensen不等式，Wirtinger不等式不僅依賴于狀態(tài)x(t)，而且依賴于狀態(tài)在時滯之上的積分。定理1構造的Lyapunov函數也是時滯依賴的。

(10)

(11)

其中：

記憶耗散控制器增益矩陣為:Kj=YjX-1,Kτj=YτjX-1。

證明 由定理1和文獻[11]中的引理,可以得到條件(10)。利用Schur引理[11]和式(11)可得ε(P11,ρ)?L(Hi,Hτi)。證畢。

(12)

運用Schur引理，令β=ρ/α2，式(12)中條件(i)等價于

(13)

通過上面的討論,式(13)可以轉化成下面的線性矩陣不等式問題:

(14)

3 仿真例子

例1 考慮如下兩規(guī)則的TS模糊時滯系統(tǒng)(2)有如下參數(i,j=1,2;k=1,2,3,4)：

Cij=diag{1,0.1},Dwi=diag{0.1,0.3},Bwi=I,Q=-0.1I,S=0.1I,R=diag{2,4}。

令α=1,μ=0,δ=0.1,τ=0.203 2,用Matlab工具箱解決不等式(10)和(11),可以得到：

K12=[-1.704 6 -8.296 9],K21=[-0.012 5 0.035 2],

K22=[ 0.418 7 -0.881 9]。

給定x0=[0.1-0.2]T，解出不等式(13)，可以得到βmin=0.017。不確定參數△ι=sint，擾動ω(t)=-1/(2+t)。令模糊隸屬函數為a1(x1)=1/[1+exp(0.5(x1+1))],a2(x1)=1-a1(x1)。圖1是最大吸引域的估計，圖2是閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)圖，圖3是Γ(t)的軌跡圖。從圖3可以看出：Γ(t)≥0,即閉環(huán)系統(tǒng)是耗散的。

圖1 最大吸引域 圖2 閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)圖 圖3 Γ(t)的軌跡圖

表1 在不同μ下得到的最大時滯上界τ

4 結束語

本文研究了基于執(zhí)行器飽和的TS模糊時滯系統(tǒng)，利用Wirtinger不等式，得到了耗散性時滯依賴條件和不變集條件。通過解線性矩陣不等式，求得了記憶狀態(tài)反饋控制器以及系統(tǒng)的最大吸引域。本文研究的耗散性能是在假設系統(tǒng)狀態(tài)可知的情況下完成的。但是，在許多實際問題中,系統(tǒng)狀態(tài)并不是完全可得的。在以后的研究中，可以在本文的基礎上，設計記憶狀態(tài)反饋觀測器來觀測未知的狀態(tài)或時滯。

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國家自然科學基金項目(61273004)；河北省自然科學基金項目(F2014203085)

馬躍超(1963-),男,遼寧鳳城人,教授,博士,博士生導師,主要從事分散控制、非線性系統(tǒng)等方面的研究和教學工作.

2015-03-31

1672-6871(2015)06-0082-05

O231.2;N941.91

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