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      挖掘函數(shù)中的隱含條件,揭示函數(shù)中的深邃美

      2015-04-07 12:59:14吳成強(qiáng)李學(xué)武
      關(guān)鍵詞:偶函數(shù)奇函數(shù)奇偶性

      吳成強(qiáng) 李學(xué)武

      函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主線,貫穿整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)之中.函數(shù)的三要素是定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系,函數(shù)的性質(zhì)有單調(diào)性、奇偶性、周期性等,而這些要素和性質(zhì)有時(shí)比較隱含,如果僅從表面形式上看,則比較復(fù)雜,一時(shí)難以弄清思路,甚至感到問題難以解決.但如果我們能抽絲剝繭,挖掘其隱含條件,透過(guò)表象而抓住問題的本質(zhì),則往往會(huì)使問題解決感到很簡(jiǎn)便,讓人眼睛一亮,茅塞頓開,有一種“不識(shí)廬山真面目,只緣深在此山中”的感覺.

      1定義域的隱含

      有些函數(shù),表面上看較為復(fù)雜,但如果我們求出其定義域或抓住其定義域中的某些隱含屬性,就能將函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)或求出某些量,使問題簡(jiǎn)化,解決起來(lái)很簡(jiǎn)單.

      例1判斷函數(shù)f(x)=4-x2|x+2|-2的奇偶性.

      解函數(shù)的定義域?yàn)?2≤x≤2且x≠0,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,因?yàn)閤+2≥0,所以|x+2|=x+2,所以f(x)=4-x2x+2-2=4-x2x,易知f(x)是奇函數(shù).

      點(diǎn)撥不少學(xué)生由于僅僅從表象上看,得出函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù)這一錯(cuò)誤結(jié)論.這一道題的關(guān)鍵點(diǎn)是挖掘函數(shù)定義域這一隱含條件,然后把絕對(duì)值去掉,將函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn).

      例2已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函數(shù),它的定義域是[a-1,2a],求f(x)的值域.

      解因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又定義域?yàn)閇a-1,2a],所以a-1=-2a,所以a=13.由f(x)是偶函數(shù)得b=0,所以f(x)=13x2+1,定義域?yàn)閇-23,23],易得值域?yàn)閇1,3127].

      點(diǎn)撥本題隱含條件是“奇偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”,利用這一屬性可求出a的值.不少學(xué)生因忽視了奇、偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱這一屬性,沒有想到可以求出a的值,而是對(duì)a分情況討論,出現(xiàn)了錯(cuò)誤的解法.

      2值域的隱含

      有些函數(shù)或方程,其值域比較隱含,如果抓住了這一本質(zhì),就找到了問題解決的突破口,給人一種茅塞頓開的感覺,讓人感到心曠神怡,美不勝收.

      例3已知P是函數(shù)f(x)=-2cosx(x∈[0,π])圖象上的一點(diǎn),Q是函數(shù)g(x)=12x2+lnx圖象上的一點(diǎn),在P點(diǎn)處的切線與在Q點(diǎn)處的切線平行,求直線PQ的斜率.

      解f′(x)=2sinx(x∈[0,π]),g′(x)=x+1x(x>0),假設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則依題意f′(x1)=g′(x2),但f′(x1)=2sinx1≤2,g′(x2)=x2+1x2≥2,所以f′(x1)=g′(x2)=2,等號(hào)成立條件是x1=π2,x2=1.所以y1=0,y2=12,即P(π2,0),Q(1,12),所以kPQ=121-π2=12-π.

      點(diǎn)撥本題的關(guān)鍵點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)等式兩邊的值域分別為f′(x1)≤2,g′(x2)≥2,所以f′(x1)=g′(x2)=2,這是問題解決的突破口,而這也恰恰成為相當(dāng)一部分學(xué)生盲點(diǎn)或者說(shuō)是不易發(fā)覺的點(diǎn).

      例4已知函數(shù)f(x)滿足如下三個(gè)條件:①對(duì)任意x1,x2∈[0,1],x1

      解由②知f(0)=12f(0),所以f(0)=0,由③知f(0)+f(1)=1,所以f(1)=1,由②知f(15)=12f(1)=12,由③得f(12)+f(12)=1,所以f(12)=12.

      所以f(15)=f(12)=12,由①知當(dāng)15≤x≤12時(shí),f(x)=12,所以f(13)=12.

      所以由②知f(115)=12f(13)=12×12=14,所以f(12)+f(15)+f(115)=12+12+14=54.

      點(diǎn)撥本題的關(guān)鍵點(diǎn)是“兩邊夾”法則,由f(15)=f(12)=12及函數(shù)的單調(diào)性得15≤x≤12時(shí)f(x)=12,而這一點(diǎn)也是不少學(xué)生不容易想到的.

      3函數(shù)性質(zhì)的隱含

      有些函數(shù),其單調(diào)性與奇偶性這些性質(zhì)往往比較隱含,如果不把這些隱含的性質(zhì)挖掘出來(lái),僅僅根據(jù)解析式的表象,則問題解決比較困難,甚至于無(wú)法求解.而如果利用這些隱含的性質(zhì),則使問題解決變得十分輕松,給人一種哥倫布發(fā)現(xiàn)新大陸的感覺,美妙無(wú)比,思維受到很大的啟發(fā).

      例5已知f(x)=ln(x+1+x2),f(a)+f(b-1)=0,求a+b的值.

      解易知f(-x)+f(x)=0,所以f(x)為奇函數(shù).又根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)易知f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),而奇函數(shù)不改變函數(shù)的單調(diào)性,所以f(x)在(-∞,0)上也為增函數(shù),又f(x)是連續(xù)函數(shù),所以f(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù).由f(a)+f(b-1)=0得f(a)=-f(b-1)=f(1-b),所以a=1-b,所以a+b=1.

      點(diǎn)撥本題的關(guān)鍵是挖掘函數(shù)的隱含性質(zhì):?jiǎn)握{(diào)性和奇偶性,利用性質(zhì)輕松解題,讓人眼睛一亮,給人以簡(jiǎn)潔美的享受.題目中沒有明確給出函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性,而要靠自己去發(fā)掘,去發(fā)現(xiàn),這也是不斷提升思維品質(zhì)的關(guān)鍵所在.

      例6已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),滿足f(-32+x)=f(32+x),當(dāng)x∈(0,32)時(shí),f(x)=ln(x2-x+1),則函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,6]上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

      A.3B.5C.7D.9

      解易知f(x+3)=f(x),所以周期T=3,根據(jù)題設(shè),易畫出y=f(x)在[0,6]上的草圖如下:

      在f(-32+x)=f(32+x)中,令x=0得f(-32)=f(32),又f(-32)=-f(32),所以-f(32)=f(32),所以f(32)=0,所以f(92)=f(3+32)=f(32)=0.

      所以函數(shù)f(x)在[0,6]上零點(diǎn)個(gè)數(shù)為9,選D.

      點(diǎn)撥本題中隱含著奇函數(shù)的性質(zhì),學(xué)生不容易發(fā)現(xiàn)f(32)=0,從而f(92)=0,從而導(dǎo)致得出零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7的錯(cuò)誤答案.

      4數(shù)列中的隱含

      數(shù)列也是函數(shù),而對(duì)于數(shù)列中的某些隱含條件,如果加以挖掘,則會(huì)使問題巧妙解決.

      例7已知兩個(gè)等比數(shù)列{an},{bn},滿足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,

      b3-a3=3,若數(shù)列{an}唯一,求a的值.

      解設(shè){an}的公比為q,則由已知b1=1+a,b2=2+aq,b3=3+aq2,又{bn}為等比數(shù)列,所以b22=b1b3,即(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),整理得aq2-4aq+3a-1=0.(*)

      由于Δ=16a2-4a(3a-1)=4a2+4a>0(因?yàn)閍>0),所以方程(*)有兩個(gè)不等的根,而等比數(shù)列{an}唯一,所以方程(*)必有一根q=0,將q=0代入方程(*)得3a-1=0,所以a=13.

      點(diǎn)撥本題的隱含條件是等比數(shù)列的公比q≠0,而方程(*)有兩個(gè)不等的根,所以必有一根為q=0,這是解決問題的突破口.

      本文僅僅研究了函數(shù)方面的隱含條件,其實(shí)數(shù)學(xué)中的隱含條件有很多,既有代數(shù)方面的,也有幾何方面的,如果解題中不能挖掘這些隱含條件,透過(guò)現(xiàn)象抓本質(zhì),而僅僅停留在問題的表面上,則往往使問題解決變得非常復(fù)雜,甚至于出現(xiàn)錯(cuò)誤結(jié)果.在平時(shí)的解題中,就是要養(yǎng)成多思考、多總結(jié)、多歸納的良好習(xí)慣,要訓(xùn)練思維的深刻性,增強(qiáng)思維的評(píng)判性,要善于抓住問題背后隱含的條件或者本質(zhì),克服思考問題的簡(jiǎn)單性和片面性.要通過(guò)解決一個(gè)問題,發(fā)現(xiàn)和聯(lián)想一片問題,達(dá)到“見樹木更見森林”的境界.

      作者簡(jiǎn)介吳成強(qiáng),男,1963年生,中學(xué)高級(jí)教師,安徽省特級(jí)教師,池州市首屆拔尖人才,池州市首批名師工作室主持人,池州市學(xué)科帶頭人,池州市優(yōu)秀教師,十佳教師,安徽省教壇新星,安徽省先進(jìn)工作者(省勞模),全國(guó)五一勞動(dòng)獎(jiǎng)?wù)芦@得者,蘇步青數(shù)學(xué)教育獎(jiǎng)獲得者.在省級(jí)以上刊物發(fā)表學(xué)術(shù)論文50多篇,有兩篇論文被中國(guó)人民大學(xué)書報(bào)資料中心《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載.

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