以舊“喚”新，精彩紛呈

鄭燕平　張曜光

近日筆者有幸參加了本市教研室組織的第二屆說(shuō)題比賽，比賽分為三個(gè)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)參賽教師自擬一個(gè)試題，并就該題的原創(chuàng)度、解法、背景、教學(xué)價(jià)值、引申與拓展等形成word電子文本；第二環(huán)節(jié)：提交“說(shuō)題”書(shū)面稿一式10份（允許在一輪基礎(chǔ)上有所修改，但不得換題，有修改的電子稿賽前重郵），就參賽教師自擬的試題，向評(píng)委解讀并簡(jiǎn)要回答評(píng)委問(wèn)題，時(shí)間每人15分鐘；第三環(huán)節(jié)：先從現(xiàn)場(chǎng)抽取題目，封閉準(zhǔn)備40分鐘后，向評(píng)委解讀并簡(jiǎn)要回答評(píng)委問(wèn)題.通過(guò)比賽讓人受益匪淺，說(shuō)課作為一種時(shí)髦的校本教研活動(dòng)，對(duì)于教育觀(guān)念，教學(xué)方式的變革，對(duì)于教育理論的理解和掌握，對(duì)于教學(xué)的研究和反思無(wú)疑都是一種可取的有效途徑.

說(shuō)題的理解

“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，這是美國(guó)當(dāng)代數(shù)學(xué)家哈爾斯的話(huà).沒(méi)有好的問(wèn)題就沒(méi)有異彩紛呈的數(shù)學(xué)，沒(méi)有好老師用好問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生去學(xué)，就沒(méi)有數(shù)學(xué)課堂的精彩.教師教的“有效”要通過(guò)“好題”的深入淺出，落實(shí)于學(xué)生學(xué)的“有效”上.

教師說(shuō)題不能停留在“從解題角度看說(shuō)題”這種淺表的意義上.從建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)理論上對(duì)說(shuō)題給三條淺說(shuō)陋見(jiàn)：一是從建構(gòu)主義知識(shí)觀(guān)的角度上看“說(shuō)題”，你對(duì)題目所給出的答案不是該問(wèn)題的最終答案，它必將隨著學(xué)生認(rèn)識(shí)程度的深入而不斷變革、升華或改寫(xiě)，進(jìn)而在學(xué)生的頭腦中產(chǎn)生新的解釋和假說(shuō)；二是從建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀(guān)角度上看“說(shuō)題”，學(xué)習(xí)不是教師把知識(shí)簡(jiǎn)單傳遞給學(xué)生的過(guò)程，而是學(xué)生自己建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程，這里有“被動(dòng)”和“主動(dòng)”的重大差異.即便是你用所謂的“好題”做傳輸帶，但你僅僅關(guān)注了自己的經(jīng)驗(yàn)，而忽略了學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生從你的傳輸帶上也沒(méi)啥東西可拿.因此，我們呈現(xiàn)的題目不應(yīng)該是接力中的棒子，你的題目給的是“力”，學(xué)生接的是“力”，而非“接力棒”本身！三是從建構(gòu)主義的教學(xué)觀(guān)上看“說(shuō)題”，我們選擇的“好題”必須切中學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，刺激學(xué)生把原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，進(jìn)而形成新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn).說(shuō)題說(shuō)到點(diǎn)兒上，這個(gè)點(diǎn)兒是度，即貼近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”.“說(shuō)題”的內(nèi)核不是“拿嘴拿題來(lái)說(shuō)”，而是“用心用題去教”.

命題的背景分析

近三年（2012-2014）浙江省高考理科數(shù)學(xué)的壓軸題都是考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合題，有非常明顯的特征：函數(shù)表達(dá)式都是純粹的三次函數(shù)，含參數(shù)含絕對(duì)值，重點(diǎn)考查分類(lèi)討論與轉(zhuǎn)化化歸的思想.從2015年高考開(kāi)始導(dǎo)數(shù)放入IB模塊內(nèi)容，壓軸題怎么考？版本很多，以下的三種猜測(cè)可能性比較大：一、將圓錐曲線(xiàn)提到壓軸題上；二、走2004—2008年的老路，數(shù)列與不等式的綜合題“重出江湖”作為壓軸題；三、撇開(kāi)導(dǎo)數(shù)依舊走函數(shù)路線(xiàn).

以上三種猜測(cè)，本人還是比較傾向于第三種，因?yàn)楹瘮?shù)是高中數(shù)學(xué)的主線(xiàn)，二次函數(shù)又是主線(xiàn)的核心，從近三年的壓軸題來(lái)看，很多時(shí)候?qū)?shù)也只是“跑龍?zhí)住钡?，只出現(xiàn)在三次函數(shù)的求導(dǎo)中之后就是二次函數(shù)的問(wèn)題了，命題者完全可以不用三次函數(shù)直接用二次函數(shù)，或者也可以繼續(xù)用三次函數(shù)但不用導(dǎo)數(shù)，可以利用代數(shù)基本定理等工具將其轉(zhuǎn)化.二次函數(shù)問(wèn)題是初中內(nèi)容在高中的延伸，也是高中函數(shù)最重要的內(nèi)容，試題變化多樣，如即使考導(dǎo)數(shù)，也很多化為二次，還有解析中也有化為二次的.下面是我編擬的題目：

題目已知a>0，b∈R，函數(shù)f（x）=4ax2-2bx-a+b.

（1）證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，（ⅰ）函數(shù)f（x）的最大值為|2a-b|+a；

（ⅱ）f（x）+|2a-b|+a≥0；

（2）若-1≤f（x）≤1對(duì)任意x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范圍.

說(shuō)題目立意

該題題干是含兩個(gè)參數(shù)的二次函數(shù)形式，第一問(wèn)有兩小問(wèn)，第一小問(wèn)求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值，第二小問(wèn)證明函數(shù)不等式.第二問(wèn)是恒成立問(wèn)題求參數(shù)的取值范圍，主要考查分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法；重在考查二次函數(shù)的最值討論，按定義分類(lèi)去絕對(duì)值，構(gòu)造函數(shù)證明不等式，線(xiàn)性規(guī)劃等高中數(shù)學(xué)核心知識(shí)要點(diǎn).

說(shuō)試題解法

（1）第一小題第一小問(wèn)

（?。┙夥?因?yàn)閍>0，b∈R，所以二次函數(shù)f（x）=4ax2-2bx-a+b開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x=b4a，當(dāng)b4a≤12即b≤2a時(shí)，f（x）max=f（1）=3a-b；

當(dāng)b4a>12即b>2a時(shí)，f（x）max=f（0）=-a+b；

所以f（x）max=3a-b，b≤2a

-a+b，b>2a=|2a-b|+a.

解法2因?yàn)閍>0，b∈R，所以二次函數(shù)f（x）=4ax2-2bx-a+b開(kāi)口向上，f（x）max=max{f（0），f（1）}=max{-a+b，3a-b}=3a-b，b≤2a

-a+b，b>2a=|2a-b|+a.

歸納小結(jié)本題中二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題，二次函數(shù)的開(kāi)口定，對(duì)稱(chēng)軸不定，解法1按對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的中點(diǎn)分類(lèi)討論，解法2按最大值肯定在區(qū)間端點(diǎn)取到的情形進(jìn)行分類(lèi)，此問(wèn)只要審題清楚，條件a>0不疏忽，應(yīng)該不難解決.

第一小題第二小問(wèn)

（ⅱ）解法1按定義去絕對(duì)值：當(dāng)b≤2a時(shí)，

令g（x）=f（x）+|2a-b|+a=4ax2-2bx+2a，

（Ⅰ）當(dāng)b≤0時(shí)，此時(shí)對(duì)稱(chēng)軸x=b4a≤0，，g（x）min=g（0）=2a>0；

（Ⅱ）當(dāng)00.

當(dāng)b>2a時(shí)，

令F（x）=f（x）+|2a-b|+a=4ax2-2bx+2b-2a.

（Ⅰ）當(dāng)2a

F（x）min=g（b4a）=2b-2a-b24a=-14a[（b-4a）2-8a2]，因?yàn)?a0.

（Ⅱ）當(dāng)b>4a時(shí)，此時(shí)對(duì)稱(chēng)軸b4a>1，F(xiàn)（x）min=F（1）=2a>0.

綜上：f（x）+|2a-b|+a≥0.

解法2（ⅱ）當(dāng)b≤2a時(shí)，

f（x）+|2a-b|+a=4ax2-2bx+2a≥4ax2-4ax+2a=2a（2x2-2x+1）；

當(dāng)b>2a時(shí)，

f（x）+|2a-b|+a=4ax2+2b（1-x）-2a≥4ax2+4a（1-x）-2a=2a（2x2-2x+1），令g（x）=2x2-2x+1=2（x-12）2+12>0，故f（x）+|2a-b|+a≥2a·g（x）≥0.

歸納小結(jié)解法1是按對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間關(guān)系分類(lèi)討論求二次函數(shù)的最小值，思路比較簡(jiǎn)單，但分類(lèi)比較麻煩，解法2是先通過(guò)放縮，轉(zhuǎn)化為同一個(gè)函數(shù)的判斷正負(fù)問(wèn)題，過(guò)程比較簡(jiǎn)單但放縮技巧有一定難度.無(wú)論是解法1還是解法2，解題中都體現(xiàn)了將不等式證明問(wèn)題化歸為函數(shù)最值的化歸思想.由f（x）+|2a-b|+a≥0是否意味著f（x）的最小值是-|2a-b|-a，從證明過(guò)程看，-|2a-b|-a一定取不到.

第二小題：

（2）解法1由（?。┲?dāng)0≤x≤1，f（x）max=|2a-b|+a，所以|2a-b|+a≤1.

若|2a-b|+a≤1，則由（ⅱ）知f（x）≥-（|2a-b|+a）≥-1.

所以-1≤f（x）≤1對(duì)任意0≤x≤1恒成立的充要條件是|2a-b|+a≤1，

a>0，即2a-b≥0，

3a-b≤1，

a>0，或2a-b<0，

b-a≤1，

a>0.（*）

在直角坐標(biāo)系aOb中，（*）所表示的平面區(qū)域?yàn)槿缬覉D所示的陰影部分三角形ABC內(nèi)部，其中不包括線(xiàn)段BC，作一組平行直線(xiàn)a+b=t（t∈R），得-1

解法2由（1）知，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，|f（x）|≤|2a-b|+a，

所以|f（x）|≤1對(duì)任意0≤x≤1恒成立的充要條件是|2a-b|+a≤1

a>0，后續(xù)同上

歸納小結(jié)本小問(wèn)的解決主要是建立在第（1）問(wèn)的基礎(chǔ)之上，分析問(wèn)題中注意線(xiàn)性規(guī)劃的數(shù)形結(jié)合思想，解題時(shí)要有“回頭看”的意識(shí)，對(duì)學(xué)生綜合能力的考查要求較高.

說(shuō)數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想：分類(lèi)討論（分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)的選擇）、轉(zhuǎn)化與化歸（注意反思第一問(wèn)對(duì)第二問(wèn)的作用）、數(shù)形結(jié)合（注意挖掘線(xiàn)性規(guī)劃求范圍的數(shù)形結(jié)合思想）；

數(shù)學(xué)方法：二次函數(shù)最值的求解；構(gòu)造函數(shù)證明不等式；恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化；線(xiàn)性規(guī)劃求雙變量問(wèn)題的范圍.

說(shuō)試題背景來(lái)源

該試題的背景來(lái)源于2012年浙江省高考數(shù)學(xué)理科第22題：已知a>0，b∈R，函數(shù)f（x）=4ax3-2bx-a+b.

（1）證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，（?。┖瘮?shù)f（x）的最大值為|2a-b|+a；（ⅱ）f（x）+|2a-b|+a≥0；

（2）若-1≤f（x）≤1對(duì)任意x∈[-1，1]恒成立，求a+b的取值范圍.

雖然本人只是將題干中的函數(shù)最高次的“3”改成了“2”，瞬間將三次函數(shù)問(wèn)題變成了二次函數(shù)問(wèn)題，不需要用到導(dǎo)數(shù)知識(shí)，此類(lèi)二次函數(shù)問(wèn)題實(shí)屬原創(chuàng)，網(wǎng)上找不到同類(lèi)的問(wèn)題，不僅直接就改變了試題所考查的內(nèi)容，更重要的是提供了高三復(fù)習(xí)的壓軸題的一個(gè)方向，我們只要將某些三次函數(shù)試題進(jìn)行適當(dāng)改編就可以形成全新的函數(shù)試題，讓人耳目一新，在高三高考復(fù)習(xí)教學(xué)中有一定的指導(dǎo)意義.

說(shuō)問(wèn)題變式與拓展

對(duì)于一個(gè)試題的變式無(wú)外乎從這兩個(gè)方面入手，一是對(duì)題目的條件加以變式、二是對(duì)題目的結(jié)論加以變式.基于以上想法，我主要從以下幾個(gè)方面對(duì)試題加以變式.

問(wèn)題變式1已知a>0，b∈R，函數(shù)f（x）=2ax2-2bx-a+2b，證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為|a-b|+b.

變式意圖改變函數(shù)的表達(dá)式，說(shuō)明此類(lèi)問(wèn)題有研究?jī)r(jià)值，有“生長(zhǎng)點(diǎn)”.

問(wèn)題變式2已知a>0，b∈R，函數(shù)f（x）=4ax2-2bx-a+b≥0對(duì)任意x∈[-1，1]恒成立，求a，b滿(mǎn)足的關(guān)系.

變式意圖其實(shí)函數(shù)f（x）=4ax2-2bx-a+b=4a（x-12）（x+12-b2a）恒過(guò)定點(diǎn)（12，0），所以2a=b.挖掘不變量是解題的重要突破口，也是解題的出發(fā)點(diǎn).

問(wèn)題變式3已知a>0，b∈R，函數(shù)f（x）=4ax2-2bx-a+b，若|f（x）|≤1對(duì)任意x∈[0，1]恒成立，求a2+b2的最大值.

變式意圖改變題目的待求結(jié)論并且少了第一問(wèn)的鋪墊，試題難度立馬增加，說(shuō)明難易度可“伸縮”，容易控制難易度.

問(wèn)題變式4設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+（2b+1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一個(gè)零點(diǎn)，求a2+b2的最小值.

問(wèn)題變式5若函數(shù)f（x）=x2+2ax+b在（1，2）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a+b的取值范圍.

變式意圖“恒成立”問(wèn)題改為“存在性”問(wèn)題.

問(wèn)題拓展1（2014年浙江理6）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，且0

A.c≤3B.3

C.69

問(wèn)題拓展2已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，的一個(gè)零點(diǎn)為x=1，另外兩個(gè)零點(diǎn)可分別作為一個(gè)橢圓和一個(gè)雙曲線(xiàn)的離心率，則a2+b2的取值范圍是.

問(wèn)題拓展3函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，滿(mǎn)足f（-1）=-1，f（3）=3，則f（1）+f（1+22）=.

問(wèn)題拓展4若有且只有一個(gè)正方形，其四個(gè)頂點(diǎn)都在曲線(xiàn)y=x3+ax上，求實(shí)數(shù)a的值及正方形的面積.

拓展意圖雖然表達(dá)式是三次函數(shù)但可以根據(jù)代數(shù)基本定理轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或一次函數(shù)的問(wèn)題，當(dāng)然也可以直接利用消元的思想來(lái)解決.

從“說(shuō)課”到“說(shuō)題”，不但不是退步，反而是最大的進(jìn)步！一腳邁進(jìn)課的最深處，入微了，沒(méi)有了“探”的束手束腳，直接進(jìn)入了“究”的境界，因而，“說(shuō)題”應(yīng)該成為教師常態(tài)的“探究”活動(dòng).

“說(shuō)題”之“說(shuō)”，不是教師的“單口”，而是課堂上的“對(duì)口”甚至“群口”.我們引領(lǐng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行評(píng)價(jià)，這樣，我們教師就給學(xué)生引薦了更貼身的老師——問(wèn)題，這就是“以題為師”的理念.

“教”的歸宿是“學(xué)”！課靠“教師教”來(lái)支撐，但課的生命是“學(xué)生學(xué)”的律動(dòng)！“學(xué)會(huì)”是天、“會(huì)學(xué)”是地，對(duì)于教師而言，“教”的意義就是讓學(xué)生感悟——“立地”方可“頂天”！“有效教學(xué)”中的“有效”一定要通過(guò)學(xué)生學(xué)的“有效”來(lái)實(shí)現(xiàn)，也許，“好的問(wèn)題”是兩個(gè)“有效”之間的最短距離.“說(shuō)題”中的“題”要精選，這個(gè)“題”，應(yīng)該是“一只產(chǎn)金蛋的母雞”，不要扼殺它！

作者簡(jiǎn)介鄭燕平，1983年生，浙江省金華市婺城區(qū)白龍橋鎮(zhèn)人，中共黨員，中學(xué)一級(jí)教師.先后被評(píng)為校優(yōu)秀班主任，優(yōu)秀共產(chǎn)黨員，市、校先進(jìn)工作者，曾在地、市級(jí)開(kāi)設(shè)公開(kāi)課、觀(guān)摩課.曾榮獲金華市首屆教師基本功比賽一等獎(jiǎng)，金華市第二屆說(shuō)題比賽一等獎(jiǎng)，有多篇論文發(fā)表.