圓錐體積V錐=43πr2h等于13圓柱體積的幾何論證

現(xiàn)在的中學(xué)生只知道圓錐體積等于同底同高的圓柱體積的13，除了用容積法和微積分法來測量證明以外，不知道用幾何法可以證明，這是除了網(wǎng)上的用水容積法和微積分法外的第三種證明方法.這種方法更直白易懂.這個題目是個初等數(shù)學(xué)問題，中學(xué)課程中學(xué)了幾何，所以也應(yīng)該知道它也是幾何學(xué)中的知識問題.可以用幾何關(guān)系證明.可是，網(wǎng)上也只有容積法和微積分法，并無幾何法.本文用幾何法推導(dǎo)圓錐體積V錐=43πr2h等于13圓柱體積的幾何論證.

1圓錐體積公式的幾何推導(dǎo)

圖1圖1是圓錐體縱向剖面圖，是一個等腰三角形ABO，與圓柱體是同底同高.△ABO被圓柱體的中心軸線 OO1分割成對稱相等的兩部分△AOO1和△BOO1.當(dāng)△AOO1繞OO1旋轉(zhuǎn)一周就形成圓錐體ABO.依據(jù)理論力學(xué)的一個定理，以本例來說，一個封閉的幾何圖形如△AOO1繞著不與此圖相交的軸OO1旋轉(zhuǎn)360度后就形成了一個圓錐體ABO.其體積等于△AOO1的面積乘上△AOO1之重心F至OO1軸的垂直距離FG為半徑所走過的圓周之長度.

（1）求△AOO1之重心（形心）F：

取AO1邊長之中點E，連接OE，同理連接O1D及AC線，三根中線的交點F即為△AOO1之重心.

由于中線交點F將每一中線分成2∶1之比例.又△OFG∽△OEO1，故有FGOF=O1EOE，所以FG=O1E·OFOE，由于FG=rx，O1E=r，即得交點F到OO1軸的垂直距離rx=2r3.

（2） 求△AOO1面積S1：

S1=R2·h=2r2·h=r·h.

（3）重心F繞OO1旋轉(zhuǎn)一周所走過的圓周長度為L，則L=2rx·π.

（4） 求ABO圓錐的體積V錐（按理論力學(xué)之定理）：

V錐=S1·2rx·π，因為rx=23r，所以V錐=r·h·π·2·23r=4πh3·r2.（1）

2證明圓錐體ABO與同底同高的圓柱體ABNJ之體積比值為1∶3

圖2圓柱體的縱向剖面（1）求環(huán)形錐體AOBNJ的體積V環(huán)錐（圓柱體去除ABO圓錐體后的剩余部分）.

取OO1軸左邊直角三角形△AOJ，做各邊中點連線，得K點為重心（形心，幾何中心），設(shè)△AOJ面積為S2：

S2=2r·h2=r·h，

則環(huán)形錐體體積V環(huán)錐等于：

V環(huán)錐=S2·2PK·π=S2·2ry·π=r·h·2ry·π=2ry·π·h·r，

由于△AJI∽△AMK（因為AK=2，AI=3為中線比），所以MKIJ=AKAI=23（由于IJ=OI=r），故MK=2IJ3=2·r3.

因為ry=2r-MK=2r-2r3=4r3，故可求得

V環(huán)錐=2r·h2×2×43r×π=8πh3r2.（2）

（2）環(huán)形錐體與正圓錐體之體積比：

V錐V環(huán)錐=4πh3r28hπ3r2=12.（3）

（3）圓柱體積V柱

V柱=V錐+V環(huán)錐（4）

=1+2=3

（4）圓錐體為圓柱體積的三分之一即得到證明：V錐V柱=13.（5）

3用公式（1）驗證圓錐體體積為同底同高圓柱體體積的三分之一

由于R=2r，將其代入式（1）中也可得到圓錐體積另一表達(dá)式（用R取代r的表達(dá)式）

V錐=4πh3×r2=4πh3×（R2）2

=πR2h3.（6）

因為圓柱體體積V柱=πR2·h，

所以V錐=43πr2h=13πR2h.（7）

因此V錐=13V柱也得到證明.

4按照本文的論證可以得出如下的推論

任何兩個封閉的幾何平面圖形的形狀不同而面積相等，繞著不與該兩個圖形相交叉的共同旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周后所形成的兩個體積之比值等于兩個平面圖形之各自的重心到共同旋轉(zhuǎn)軸的垂直距離之比.

作者簡介邵百成，男，1935年生，教授級高工。全國機械協(xié)會旋壓學(xué)會委員.1993年獲國家政府津貼，獲國家發(fā)明四等獎，多項專利、省部級科技進步獎.