坐標式三角形面積公式及其應用

甘志國

高考題1（2010年高考遼寧卷理科第8題）平面上O，A，B三點不共線，設(shè)OA=a，OB=b，則△OAB的面積等于（ ）

A.a2b2-（a·b）2

B.a2b2+（a·b）2

C.12a2b2-（a·b）2

D.12a2b2+（a·b）2

答案：C.

這道高考題的結(jié)論就是向量形式的三角形面積公式：

定理1若三點O，A，B不共線，則S△OAB=12OA2OB2-（OA·OB）2.

證明S△OAB=12OAOB1-cos2∠AOB=12OA2OB2-（OA·OB）2.

由此結(jié)論，還可證得

定理2若三點O，A，B不共線，且點O是坐標原點，點A，B的坐標分別是（x1，y1），（x2，y2），則S△OAB=12x1y2-x2y1.

證法1由定理1，得

S△OAB=12（x21+y21）（x22+y22）-（x1x2+y1y2）2

=12x1y2-x2y1.

證法2可得直線AB的方程是

（y1-y2）x-（x1-x2）y+（x1y2-x2y1）=0，所以坐標原點O到直線AB的距離是x1y2-x2y1AB，進而可得△AOB的面積是S△OAB=12AB·x1y2-x2y1AB=12x1y2-x2y1.

下面用定理2來簡解幾道高考題.

高考題2（2014年高考四川卷理科第10題）已知F為拋物線y2=x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，OA·OB=2（其中O為坐標原點），則△ABO與△AFO面積之和的最小值是（ ）.

A.2B.3C.1728D.10

解B.得F14，0，可不妨設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）（y1>0>y2）.

由OA·OB=x1x2+y1y2=y21y22+y1y2=2，可得y1y2=-2，所以由定理2，得

S△ABO=12x1y2-x2y1=12y21y2-y22y1=12y1y2·y1-y2=y1-y2=y1-y2.

所以S△ABO+S△AFO=y1-y2+12·14y1=98y1-y2≥2-98y1y2=3（可得當且僅當y1=43，y2=

-98時取等號）.

所以選B.

高考題3（2011年高考四川卷文科第12題）在集合{1，2，3，4，5}中任取一個偶數(shù)a和一個奇數(shù)b構(gòu)成以原點為起點的向量α=（a，b）.從所有得到的以原點為起點的向量中任取兩個向量為鄰邊作平行四邊形，記所有平行四邊形的個數(shù)為n，其中面積等于2的平行四邊形的個數(shù)為m，則mn=（ ）.

A.215 B.15C.415 D.13

解B.所有滿足題意的向量有6個α1=（2，1），α2=（2，3），α3=（2，5），α4=（4，1），α5=（4，3），α6=（4，5），以其中的兩個向量為鄰邊的平行四邊形有n=C26=15個.

設(shè)αi=（x1，y1），αj=（x2，y2），得x1，x2∈{2，4}；y1，y2∈{1，3，5}，由定理2得，以αi，αj為鄰邊的平行四邊形的面積是S=12x1y2-x2y1=2，可得這樣的向量αi，αj有3對：（2，3），（4，5）；（2，1），（4，3）；（2，1），（4，1）.所以mn=315=15.

注用高考題3的解法還可求解2011年高考四川卷理科第12題.

高考題4（2009年高考陜西卷文科、理科第21題）已知雙曲線C的方程為y2a2-x2b2=1（a>0，b>0），離心率e=52，頂點到漸近線的距離為255.

（1）求雙曲線C的方程；

圖1（2）如圖1所示，P是雙曲線C上一點， A，B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限.若AP=λPB，λ∈13，2，求△AOB面積的取值范圍.

解（1）（過程略）y24-x2=1.

（2）可設(shè)A（t，2t），B（-s，2s），s>0，t>0，由定理2及題設(shè)可得S△AOB=2st.

由AP=λPB，可得Pt-2λs1+λ，2t+2λs1+λ，把它代入雙曲線C的方程，化簡得（1+λ）2=4λst，所以

S△AOB=12λ+1λ+113≤λ≤2，

可得△AOB面積的取值范圍是2，83.

圖2高考題5（2010年高考重慶卷理科第20題）已知以原點O為中心，F(xiàn)（5，0）為右焦點的雙曲線C的離心率e=52.

（1）求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程；

（2）如圖2所示，已知過點M（x1，y1）的直線l1：x1x+4y1y=4與過點N（x2，y2）（其中x2≠x1）的直線l2：x2x+4y2y=4的交點E在雙曲線C上，直線MN與兩條漸近線分別交于G、H兩點，求△OGH的面積.

解（1）（過程略）雙曲線C的標準方程為x24-y2=1，其漸近線方程為x±2y=0.

（2）由“兩點確定一直線”可得直線MN的方程為：xEx+4yEy=4.

分別解方程組xEx+4yEy=4，

x-2y=0，xEx+4yEy=4，

x+2y=0，，得G4xE+2yE，2xE+2yE，H-4xE+2yE，2xE+2yE.

因為點E在雙曲線C上，所以x2E-4y2E=4.

由定理2，得S△OGH=128x2E-4y2E--8x2E-4y2E=8x2E-4y2E=84=2.

注下面將指出圖2的錯誤：

因為點E關(guān)于x軸的對稱點E′（xE，-yE）也在雙曲線C上，而雙曲線C在點E′處的切線方程為xEx4-（-yE）y=1即xEx+4yEy=4也即直線MN，所以直線MN與雙曲線C應當相切，而不是相離.

高考題6（2008年高考海南、寧夏卷理科第21題）設(shè)函數(shù)f（x）=ax+1x+b（a，b∈Z），曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=3.

（1）求的解析式.

（2）證明：函數(shù)的圖象是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；

（3）證明：曲線y=f（x）上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值.

答案：（1）y=x+1x-1.（2）略.（3）2.

高考題7（2008年高考海南、寧夏卷文科第21題）設(shè)函數(shù)f（x）=ax-bx，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0.

（1）求f（x）的解析式；

（2）證明：曲線y=f（x）上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值.

答案：（1）y=x-3x.（2）6.

下面給出這兩道高考題結(jié)論的推廣.

定理3（1）雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上任一點的切線與兩條漸近線y=bax，y=-bax圍成三角形的面積是S=ab；

（2）曲線y=ax+bx（b≠0）上任一點的切線與兩條漸近線x=0，y=ax圍成三角形的面積是S=b；

（3）曲線y=ax+c+bx+d（b≠0）上任一點的切線與兩條漸近線x+d=0，y=ax+c圍成三角形的面積是S=b.

圖3證明（1）如圖3所示，可求得過雙曲線b2x2-a2y2=a2b2上任一點P（x0，y0）的切線方程是b2x0x-a2y0y=a2b2，還可求得它與兩條漸近線y=bax，y=-bax的交點分別為Ma2bbx0-ay0，ab2bx0-ay0，Na2bbx0+ay0，-ab2bx0+ay0，再由定理2可立得欲證成立.

（2）由y=ax+bx（b≠0），得y′=a-bx2.所以過該曲線上任一點Px0，ax0+bx0的切線方程是

y-ax0-bx0=a-bx20（x-x0）.

從而可求得它與兩條漸近線x=0，y=ax的交點分別為M0，2bx0，N（2x0，2ax0），再由定理2可立得欲證成立.

（3）因為y=ax+c+bx+d=a（x+d）+bx+d+c-ad，所以曲線y=ax+c+bx+d（b≠0）是由曲線y=ax+bx（b≠0）沿向量（-d，c-ad）平移后得到的，所以由結(jié)論（2）立得結(jié)論（3）成立.