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    解題研究三例研出三個(gè)性質(zhì)

    2015-04-07 08:06:47武增明
    關(guān)鍵詞:實(shí)根實(shí)數(shù)圖象

    解題研究是提高數(shù)學(xué)教師解題能力、解題教學(xué)水平、專業(yè)素質(zhì)的一種好方法,是數(shù)學(xué)教師專業(yè)成長的階梯,是提高數(shù)學(xué)教師專業(yè)素養(yǎng)的必經(jīng)歷程.優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師的成長過程離不開不斷的解題研究.最近,筆者在研究以下典型試題時(shí),發(fā)現(xiàn)以下試題可以引申、推廣得到方程f(f(x))=x的實(shí)根情況的性質(zhì).

    題1(2013年高考四川卷·文10)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+x-a(a∈R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,則a的取值范圍是().

    A.[1,e]B.[1,1+e]

    C.[e,1+e]D.[0,1]

    解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ex+x-a在其定義域上是增函數(shù),且f(x)≥0,所以當(dāng)x∈[0,1]時(shí),只能有f(x)=x(若不然,(1)f(x)>x,則f(f(x))>f(x)>x,與條件f(f(x))=x矛盾;(2)若f(x)

    解答完此題后,筆者試想,有一般性結(jié)論嗎?經(jīng)過探究,有如下性質(zhì)1.

    圖1性質(zhì)1若由連續(xù)函數(shù)y=f(x)構(gòu)造的方程f(f(x))=x有實(shí)根,則方程f(x)=x有實(shí)根.

    證明因?yàn)榉匠?/p>

    f(f(x))=x有實(shí)根,所以設(shè)x0為其實(shí)根,即f(f(x0))=x0.

    令t0=f(x0),于是f(t0)=x0.從而,函數(shù)y=f(x)的圖象過點(diǎn)P(x0,t0)與Q(t0,x0).又因?yàn)辄c(diǎn)P和Q關(guān)于直線y=x對(duì)稱,如圖1,且函數(shù)y=f(x)連續(xù),所以函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=x有交點(diǎn),故方程f(x)=x有實(shí)根.

    題2(2008年上海交通大學(xué)自主招生考試題)已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(x)=x沒有實(shí)數(shù)根.問:f(f(x))=x是否有實(shí)數(shù)根?并證明你的結(jié)論.

    解析此問題的解法較多,我們提供以下三種解法.

    解法1先介紹一個(gè)引理.

    引理若M={x|f(x)=x},N={x|f(f(x))=x},則MN.

    引理的證明x0∈M,有f(x0)=x0,故f(f(x0))=f(x0)=x0x0∈N,由x0的任意性知MN.

    回到原題.f(f(x))=x即af2(x)+bf(x)+c=x,這是一個(gè)4次方程,由上述引理知,f(f(x))-x一定可以分解出f(x)-x這樣一個(gè)因式.

    af2(x)+bf(x)+c-x=0af2(x)+bf(x)+(ax2+bx+c)-ax2-bx-x=0,

    即a(f2(x)-x2)+b(f(x)-x)+f(x)-x=0

    a(f(x)+x)(f(x)-x)+b(f(x)-x)+f(x)-x=0(f(x)-x)[a(f(x)+x)+b+1]=0.

    由于f(x)-x=0無實(shí)根,下面只要求出方程a(f(x)+x)+b+1=0是否有實(shí)根即可.

    a(f(x)+x)+b+1=a2x2+(ab+a)x+ac+b+1,其判別式Δ=(ab+a)2-4a2(ac+b+1)=a2(b2-2b+1-4ac-4)=a2[(b-1)2-4ac-4].

    又f(x)-x=0無實(shí)根,故判別式Δ′=(b-1)2-4ac<0.由此可知Δ<0.所以方程a(f(x)+x)+b+1=0亦無實(shí)根.

    綜上,f(f(x))=x也無實(shí)根.

    解法2數(shù)形結(jié)合法.

    若a>0,由于f(x)=x無實(shí)根,則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,f(x)>x,從而f(f(x))>f(x)>x,故f(f(x))=x無實(shí)根,如圖2.

    圖2圖3同理,若a<0,則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,f(x)

    解法3反證法.

    若存在f(f(x0))=x0,令f(x0)=t,則f(t)=x0,即(t,x0)是y=f(x)圖象上的點(diǎn);又f(x0)=t,即(x0,t)也是y=f(x)圖象上的點(diǎn).顯然這兩點(diǎn)不重合,且這兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱.而y=f(x)=ax2+bx+c是連續(xù)函數(shù),故y=f(x)=ax2+bx+c與y=x必有交點(diǎn),從而f(x)=x有實(shí)數(shù)解,矛盾!

    從解法3可以看出,此題的結(jié)論不只針對(duì)二次函數(shù)f(x)是對(duì)的,對(duì)一般的連續(xù)函數(shù)都有一樣的結(jié)論.那么一般性結(jié)論是什么呢?經(jīng)過反復(fù)思考,發(fā)現(xiàn)根據(jù)原命題與逆否命題同真假這一性質(zhì),由上述性質(zhì)1有如下性質(zhì)2.

    性質(zhì)2若方程f(x)=x沒有實(shí)根,則方程f(f(x))=x沒有實(shí)根.

    題3(2010年浙江大學(xué)自主招生考試題)設(shè)集合M={x|f(x)=x},N={x|f(f(x))=x}.

    (1)求證:MN;

    (2)若f(x)是一個(gè)在R上單調(diào)遞增的函數(shù),是否有M=N?若是,請(qǐng)證明.

    解析(1)若M=,顯然MN成立;若M≠,任取x0∈M,即有f(x0)=x0,則f(f(x0))=f(x0)=x0,即x0∈N,故MN.

    (2)結(jié)論是M=N.下證NM.

    若N=,顯然結(jié)論成立;若N≠,任取x0∈N,即有f(f(x0))=x0,下證f(x0)=x0.若f(x0)≠x0,不妨先設(shè)f(x0)>x0,由于f(x)是一個(gè)在R上單調(diào)遞增的函數(shù),故f(f(x0))>f(x0)>x0,與f(f(x0))=x0矛盾!同理,f(x0)

    結(jié)合(1),證得N=M.

    本題的第(2)問中用的是反證法,值得細(xì)細(xì)體會(huì).

    由此題的解答過程可以看出有如下性質(zhì)3.

    性質(zhì)3如果連續(xù)函數(shù)f(x)是其定義域上的單調(diào)函數(shù),那么

    (1)方程f(f(x))=x沒有實(shí)根方程f(x)=x沒有實(shí)根.

    (2)方程f(f(x))=x有實(shí)根方程f(x)=x有實(shí)根.

    作者簡介武增明,男,1965年年生,云南省玉溪市易門縣人,中學(xué)高級(jí)教師,玉溪市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人,玉溪市勞模.在省級(jí)及以上數(shù)學(xué)專業(yè)刊物上發(fā)表教育教學(xué)論文130余篇.主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)及其研究.

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