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    簡單的線性規(guī)劃問題解法探索

    2015-04-07 08:07:34李曉斌雒莎莉
    關(guān)鍵詞:交點指向線性

    李曉斌 雒莎莉

    簡單的線性規(guī)劃問題的常見解法是直線平移法和交點代入法,兩種方法首先都是在直角坐標(biāo)系中畫出約束條件對應(yīng)的可行域,再進行問題解答.畫出可行域,分析目標(biāo)函數(shù)是解答這類問題的常規(guī)思路,但上面的思路能否進行優(yōu)化,很是困惑,一直思考著.困惑的原因是,直線方程的一般式Ax+By+C=0與對應(yīng)的不等式Ax+By+C>0(<0)的關(guān)系僅符號不同,表達式是相同的,能否僅從表達式的系數(shù)入手,通過系數(shù)間的關(guān)系確定由不等式(組)自身判斷所表示的平面區(qū)域?解答線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題是否可以優(yōu)化直線平移法和交點代入法,不用求解所有交點坐標(biāo),而能夠快速判定最優(yōu)解對應(yīng)的交點,進而求解呢?經(jīng)過筆者研究,運用直線的法向量可以使困惑釋解,剖析如下:

    1不等式Ax+By+C>0(<0)表示的平面區(qū)域的確定方法

    命題1已知直線l:Ax+By+C=0的法向量為n=(A,B),則向量n的方向是不等式Ax+By+C>0表示的平面區(qū)域在直線l:Ax+By+C=0的一側(cè)的方向;向量-n的方向是不等式Ax+By+C<0表示的平面區(qū)域在直線Ax+By+C=0的一側(cè)的方向.

    證明設(shè)點M(x0,y0)是直線l:Ax+By+C=0上任一點,N(x1,y1)是直線外一點,且MN⊥l,直線l的法向量n=(A,B),設(shè)n=kMN.

    則(A,B)=k(x1-x0,y1-y0)

    即x1=x0+Ak,

    y1=y0+Bk,

    又M在直線l上,所以Ax0+By0+C=0,即C=-(Ax0+By0),所以Ax1+By1+C=A(x0+Ak)+B(y0+Bk)y1+C=1k(A2+B2),所以Ax1+By1+C與k同號.

    由于向量MN表示不等式表示的平面區(qū)域在對應(yīng)直線一側(cè)的方向,故k>0時向量n的方向是不等式Ax+By+C>0表示的平面區(qū)域在直線Ax+By+C=0的一側(cè)的方向;k<0時向量n的相反方向是不等式Ax+By+C<0表示的平面區(qū)域在直線Ax+By+C=0的一側(cè)的方向.

    例1不等式3x-2y+6>0表示平面區(qū)域在直線3x-2y+6=0的().

    A.左下方B.左上方C.右下方D.右上方

    解析直線3x-2y+6=0的法向量n=(3,-2)在直角坐標(biāo)系里指向右下方,又不等號是“>”,由命題1可知不等式3x-2y+6>0表示平面區(qū)域在直線3x-2y+6=0的右下方,選C.

    2可行域開閉的判定方法和線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題求解方法

    圖1因為不等式Ax+By+C<0(≤0)總可以化為Ax+By+C>0(≥0)的形式,所以下面為了研究問題的方便,規(guī)定:①可行域不為空集;②約束條件里不等式先轉(zhuǎn)換為Ax+By+C>0(≥0)的形式.給出下面幾個定義,再做研究.

    定義1將法向量n=(A,B)稱為不等式Ax+By+C>0所表示的平面區(qū)域的指向向量.

    定義2如圖1,按逆時針旋轉(zhuǎn)的共起點的三個向量a,b,c,稱向量b在向量a,c之間.

    定義3若向量a按逆時針旋轉(zhuǎn)θ后與向量b同向(θ∈[0,2π]),稱θ為從向量a到向量b的旋轉(zhuǎn)角.

    關(guān)于線性目標(biāo)函數(shù)最值問題有如下命題:

    命題2約束條件中的不等式組的指向向量在直角坐標(biāo)系中以原點為起點,按逆時針標(biāo)出依次記為n1,n2,…,nk,指向向量n1,n2,…,nk所對應(yīng)的直線分別為l1,l2,…,lk,直線lm的方程為amx+bmy+cm=0(m=1,2,…,k),nm=(am,bm),線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by+c的目標(biāo)向量為n=(a,b).則有

    (1)若存在向量nm,nm+1的旋轉(zhuǎn)角θ滿足θ>π,則可行域是無窮開區(qū)域,且此時直線lm和lm+1的交點不是可行域的頂點;若對任意向量nm,nm+1(m∈[1,k],規(guī)定m=k時,nm+1=n1,后同)的旋轉(zhuǎn)角θ滿足θ∈(0,π),則可行域是閉區(qū)域且直線lm和lm+1的交點是可行域的頂點.

    (2)若目標(biāo)向量n在向量nm,nm+1之間,且向量nm,nm+1的旋轉(zhuǎn)角θ滿足θ∈(0,π),則目標(biāo)函數(shù)z=ax+by+c在點A處取得最小值;若向量-n在向量nm,nm+1之間,則線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by+c在點A處取得最大值(如圖2).

    推論若向量n與向量nm(m=1,2,…,k)共線時,則目標(biāo)函數(shù)z=ax+by+c取最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個,且所有最優(yōu)解在直線lm上;若向量-n與向量nm(m=1,2,…,k)共線時,則目標(biāo)函數(shù)z=ax+by+c取最大值的最優(yōu)解有無數(shù)個,且所有最優(yōu)解在直線lm上.

    由于任意兩個相交直線的法向量所成角θ∈(0,π),易證命題2(1)成立,下面給出命題2(2)的證明.

    圖2證明因為目標(biāo)向量n在向量nm,nm+1之間,且nm到nm+1的旋轉(zhuǎn)角小于π,如圖2,由平面向量基本定理知,存在唯一實數(shù)對s、t,使得n=s·nm+t·nm+1且s>0,t>0.

    即(a,b)=s·(am,bm)+t·(am+1,bm+1)=(s·am+t·am+1,s·bm+t·bm+1).

    所以a=s·am+t·am+1,

    b=s·bm+t·bm+1.

    因為amx+bmy+cm≥0所以amx+bmy≥-cm,同理am+1x+bm+1y≥-cm+1,

    于是z=ax+by+c=(s·am+t·am+1)x+(s·bm+t·bm+1)y+c=s·(amx+bmy)+t·(am+1x+bm+1y)+c

    ≥-(s·cm+t·cm+1)+c=定值.其中等號當(dāng)且僅當(dāng)amx+bmy+cm=0,

    am+1x+bm+1y+cm+1=0時成立.

    即目標(biāo)函數(shù)z=ax+by+c在直線lm和lm+1的交點A處取得最小值.同理可以證明目標(biāo)向量的相反向量-n在向量nm,nm+1之間時,線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by+c在點A處取得最大值.

    以上結(jié)論的逆命題也成立,其他結(jié)論的證明留給有興趣的讀者思考完成.

    3應(yīng)用舉例

    例2若x、y滿足條件2x+y-12≤0,

    3x-2y+10≥0,

    x-4y+10≤0,求z=x+2y的最小值,并求出相應(yīng)的x、y的值.

    解析根據(jù)條件作出可行域,及對應(yīng)的指向向量如圖3所示.

    顯然目標(biāo)向量n在向量(3,-2)和(-1,4)之間,有命題2(2)知,目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最小值在直線3x-2y+10=0和x-4y+10=0的交點(2,-2)處取得,此時zmin=-2.圖3例3已知變量x,y滿足x-4y≤-3,

    3x+5y≤25,

    x≥1.設(shè)z=ax+y(a>0),若z取最大值時對應(yīng)的點有無數(shù)個,求a的值.

    解析目標(biāo)向量n=(a,1),指向向量如圖4所示,若z取最大值時對應(yīng)的點有無數(shù)個,由命題2(2)的推論可知向量(-a,-1)與(-3,-5)同向,即-5a+3=0,a=35.

    圖4圖5例5已知變量x,y滿足約束條件x+y≤2,

    x-y≤0,

    x≥0.目標(biāo)函數(shù)z=ax+y只在點(1,1)處取最小值,則有().

    A.a>1B.a>-1C.a<1D.a<-1

    解析顯然點(1,1)是直線x+y=2和x-y=0的交點,要使目標(biāo)函數(shù)z=ax+y只在點(1,1)處取最小值,可知向量(a,1)在向量(-1,-1)和(-1,1)之間,如圖5所示,易知a<-1.選D.

    通過直線的法向量可以直接判斷對應(yīng)的不等式表示的平面區(qū)域,而線性目標(biāo)函數(shù)的最值相關(guān)問題可以先畫出指向向量圖,再作出目標(biāo)向量,根據(jù)目標(biāo)向量n及目標(biāo)向量的相反向量-n在指向向量圖中的位置關(guān)系進行判斷,直接求出線性目標(biāo)函數(shù)的最值.

    后語:在教學(xué)過程中,經(jīng)常會有一些感悟,稍縱即逝,一段時間后再次思考卻很難抓住.只有帶著思考去學(xué),去教,去研究,緊緊抓住靈光一閃的那刻,可以讓我們發(fā)現(xiàn)更廣闊的天地,同時文中欠慮之處,希望各位同仁不吝指正.

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