具有脈沖接種和垂直傳染的時滯SEIVR乙肝模型

宋運娜，何蘭，滕輝

（齊齊哈爾醫(yī)學(xué)院高數(shù)教研室，黑龍江 齊齊哈爾 161006）

0 引言

乙型肝炎病毒（HBV）一直在全球范圍內(nèi)廣泛流行，我國是乙型肝炎高發(fā)國家之一，全國有1.2億人長期攜帶乙肝病毒，1988年世界衛(wèi)生組織將全球新生兒乙肝免疫作為控制乙肝疾病的重要措施.我國在1992年將乙肝疫苗納入計劃免疫.2006年國家衛(wèi)生部公布乙肝病毒表面抗原攜帶從1992年的9.75%降至7.18%.乙肝疫苗接種在預(yù)防乙肝病毒感染中發(fā)揮重要作用.

中外學(xué)者從多角度做了大量的研究，楊金根［1-2］在脈沖接種乙肝模型中，將易感者根據(jù)有無不良行為分為兩類并研究了具有垂直傳染、脈沖接種的乙肝模型；羅麗麗［3］討論了微觀狀態(tài)下，乙肝疫苗接種后體液的免疫應(yīng)答模型；LuJiu［4］研究了季節(jié)變化對肺結(jié)核病的影響；Store L等［5］從理論上分析了常數(shù)接種和脈沖接種對傳染病研究的影響；Alberto d’Onofrio［6］給出了帶有脈沖接種在SEIR模型的穩(wěn)定結(jié)果；Zhou Y等［7］研究了接種后的免疫人群存在的模型.

本文中討論了一類SEIVR乙肝傳染病模型，人群中分出接種者V，接種者不能馬上具有免疫力，因接種而具有的免疫力也可能喪失；疾病潛伏者分為兩類，一類染病初期處于潛伏期的E1；另一類染病后期繼而出現(xiàn)的一種轉(zhuǎn)移狀態(tài)R1＞1,R2＞1，轉(zhuǎn)移狀態(tài)類是介于染病者和恢復(fù)者之間的狀態(tài)，攜帶病毒但已經(jīng)不具有傳染性.R3＞1為易感者，I為染病者，R為恢復(fù)者，假設(shè)易感者的染病率為β，接種者沒有獲得完全免疫力時的染病率為β1，自然死亡率為μ，因病死亡率是μ1，接種者獲得完全免疫力的比率θ，疾病恢復(fù)率k1，染病者進(jìn)入轉(zhuǎn)移狀態(tài)的比率k2，由轉(zhuǎn)移狀態(tài)轉(zhuǎn)變成為恢復(fù)者的比率為k3，垂直傳染率為q，脈沖接種周期為T，最大潛伏期為τ，健康人的接種率為p，人口出生率為b，上述所有系數(shù)均為正數(shù).

1 無病周期解的存在性

研究該模型的無病周期解，設(shè)E1=0,E2=0,I=0，于是可以得到相應(yīng)的系統(tǒng).

通過上面的脈沖微分方程得到系統(tǒng)（1）的無病周期解(S～,0,0,0,V～,R～).

2 無病周期解的全局吸引性

定理1 當(dāng)R1＞1，R2＞1時，系統(tǒng)（1）全局吸引，其中

定理1的證明 在系統(tǒng)（1）中，可以得到脈沖不等式

考慮脈沖比較方程

存在一個整數(shù)k1＞0，使得當(dāng)k1T＜t＜(k1+1)T時，有

根據(jù)系統(tǒng)（3）和系統(tǒng)（1）中第4個方程，可得：

由已知R1＞1，則

現(xiàn)實中，健康者初次感染病菌后，有90%的潛伏者不能夠轉(zhuǎn)移成為乙肝病人，所以E1＞E2，同時令I(lǐng)=0，由系統(tǒng)（1）中第2個方程可得，又由R2＞1，可得；同理，由系統(tǒng)（1）中第3個方程得，有

因此，當(dāng)t→∞時，I→0,E1→0,E2→0.不妨設(shè)I＜ε1,E1＜ε2,E2＜ε3，其中εi,i=1,2,3都是任意小的正數(shù)，由系統(tǒng)（1）第1、第5個方程得

分析脈沖比較方程

根據(jù)脈沖比較定理，存在一個整數(shù)k2＞0，使得當(dāng)k2T＜t＜(k2+1)T時（k2＞k1），有

3 疾病的持久性

定理2 當(dāng)R3＞1時，系統(tǒng)（1）是持久的，其中

定理2的證明 首先證明對于任意的t0＞0，不可能對所有的t＞t0，存在I*＞0，都有I(t)≤I*.假設(shè)令t=t1時，I(t1)=I*.?ε＞0，當(dāng)t1＜t＜t1+ε時I(t)＜I*，此時I′(t)＜0.

根據(jù)系統(tǒng)（1）中第1個方程和第5個方程有：

分析脈沖比較方程

與前同理，脈沖比較方程可得：

根據(jù)脈沖比較定理，存在一個整數(shù)k3＞0，使得當(dāng)k3T＜t＜(k3+1)T時，有

由系統(tǒng)（4）和系統(tǒng)（1）的第4個方程可得：

由R3＞1知，I′(t)≥0，可知矛盾，所以，存在t＞t0，有I(t)＞I*成立.

因此我們可以考慮兩種情況［8-9］：

1）當(dāng)t充分大時，I(t)≥I*；

2）當(dāng)t充分大時，I(t)圍繞I*振動.

設(shè)t=t1時，令與I(t)有下界性證明同理，可得由系統(tǒng)（4）可知S(t)≥m1,V(t)≥m2.由上所述，系統(tǒng)（1）是持久的.

4 結(jié)論

在具有脈動接種和垂直傳染的SEIVR乙肝模型研究中，當(dāng)R1＞1，R2＞1時，無病周期解全局吸引.在R1，R2表達(dá)式可以看出，隨著感染率β,β1,垂直傳染率q的減小，恢復(fù)率k1,k2的增大，乙肝疾病將可能被消亡，這是個理想狀態(tài).在系統(tǒng)（4）中，，可以得到，即通過提高疫苗接種率p的數(shù)值，可得R3＞1，使得疾病持久.因此控制疾病的大規(guī)模爆發(fā)，乙肝疫苗的大規(guī)模接種和疾病傳染率、垂直傳染率的數(shù)值減少是控制乙肝病毒感染有效手段.

［1］楊金根，李學(xué)志.帶有脈沖接種和時滯的乙肝模型的穩(wěn)定性分析［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2013，43（12）:141-149.

［2］楊金根，李學(xué)志，張喜來.帶脈沖接種和垂直傳染的時滯的乙肝模型［J］.應(yīng)用泛函分析學(xué)報，2013，15（1）:66-71.

［3］羅麗麗，孟改利，翼貞浩，等.乙肝疫苗接種后體液的免疫應(yīng)答模型［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2011，15:1-11.

［4］LuJiu，Zhang Xiaoqiang，Zhou Yicang.Tuberculosis model with seasonality［J］.B Math Biol，2010，72:931-952.

［5］Stone L，Shulgin B，Agur Z.Theoretical examination of the pulse vaccination policy in the SIR epidemic model［J］.Math Comput Modeling，2003，31（4）:207-215.

［6］Onofrio A.Stability properties of pulse vaccination strategy in SEIR epidemic model［J］.Math Biosci，2002，179:57-72.

［7］Zhou Y，Liu H.Stability of periodic solutions for an SIS model with pulse vaccination［J］.Mathematical and Compute Modeling，2003，318:299-308.

［8］黃燦云，安小峰.一類具有多時滯和非線性發(fā)生率的脈沖接種SEIRS傳染病模型［J］.蘭州理工大學(xué)學(xué)報，2011，37（1）：121-125.

［9］杜艷可，徐瑞.一類具有時滯和脈沖接種的SEIRS傳染病模型［J］.北華大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2011，12（3）：258-264.