劃分遞減變換半群的Green*關(guān)系

王珍珍,楊秀良

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310036)

劃分遞減變換半群的Green*關(guān)系

王珍珍,楊秀良

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310036)

摘要：設(shè)Tspan是Xspan={1,2,…,n}上的全變換半群.設(shè)ρ是Xspan上的一個等價關(guān)系,≤是Xspan/ρ上的一個全序.對Xspan上Tspan的劃分遞減子幺半群

T(ρ,≤)={α∈Tn:(xα)ρ≤xρ,?x∈Xn},

在此刻劃出它的Green*關(guān)系以及當(dāng)n≥3時它既不是逆半群也不是完全正則半群.

關(guān)鍵詞：Green*關(guān)系;劃分遞減;等價關(guān)系;逆半群;完全正則半群

1引言和準(zhǔn)備知識

設(shè)Xn={1,2,…,n},Tn表示Xn上的全變換半群,K是Tn的一個子幺半群.如果對任意的φ∈K,存在x,y∈Xn使得(x)φ≠y,那么稱K是反傳遞的.如果K是反傳遞的且關(guān)于每一有序?qū)?x,y)∈Xn×Xn都有φ∈K使得xφ=y或yφ=x,那么稱K是半傳遞的.在文獻(xiàn)[1]中研究出全變換半群Tn的所有極大半傳遞子幺半群且證明出對Tn的每一個半傳遞子幺半群K,都存在Xn上的一個非泛關(guān)系ρ和Xn/ρ上的一個全序≤使得K在Tn的一個半傳遞子幺半群T(ρ,≤)里,其中

T(ρ,≤)={α∈Tn:(xα)ρ≤xρ,?x∈Xn},

稱其為劃分遞減變換幺半群.

并在文獻(xiàn)[3]中又刻劃出T(ρ,≤)的自同構(gòu)群,此時ρ是Xn上的任意一個等價關(guān)系.在此進(jìn)一步研究當(dāng)ρ是Xn上的任意一個等價關(guān)系時T(ρ,≤)的Green*關(guān)系以及它在n≥3時是否為逆半群和完全正則半群.

2Green*關(guān)系

為刻劃T(ρ,≤)上的Green*關(guān)系,接下來首先回憶下文獻(xiàn)[4]中給出的Green*關(guān)系定義.

定義1設(shè)S是一個半群,那么

S上的*,*,*,*,*關(guān)系統(tǒng)稱為S上的Green*關(guān)系.

定理1令α,β∈T(ρ,≤),那么

(2)α*β當(dāng)且僅當(dāng)imα=imβ;

證明(1)和(2)在[3]中已證明,(3)由(1)和(2)知顯然成立.

證明假設(shè)

且minAi+1>minAi(i=1,…,t-1).那么min{yρ|y∈Ai+1}≥min{zρ:z∈Ai}(y,z∈Xn,i=1,…,t-1),于是min{zρ:z∈Ai}≥iρ(i=1,…,t).所以可定義β如下:

Aiβ=i(i=1,…,t).

引理2令α∈T(ρ,≤),imα={r1,…,rt}且1=r1

證明由題意可作β∈T(ρ,≤)如下:

(n-i)β=rt-i(i=0,1,…,t-2);jβ=r1=1(j≤n-t+1).

則顯然有Xn/(kerβ)={{1,…,n-t+1},{n-t+2},…,{n}}且由定理1知(α,β)∈*.

|imα|=|imδ1|,imδ1=imδ2,|imδ2|=|imβ|.

于是|imα|=|imβ|.故

從文獻(xiàn)[4]有下面這個引理

|imαi|=|im(μiαi-1νi)|≤|imαi-1|(i=1,2,…,n).

所以|imβ|≤|imα|.

|imα|≤|imβ|,|imβ|≤|imα|.

3逆T(ρ,≤)和完全正則T(ρ,≤)

設(shè)S是一個半群.a,b∈S,如果b=bab,a=aba,那么稱a為b的一個逆元.如果S的每一個元恰好只有一個逆元,那么稱S是一個逆半群.除此之外逆半群還有一個易判斷的定義即S是一個逆半群當(dāng)且僅當(dāng)S是一個正則半群且S的所有冪等元可交換[5].如果S的每一個元都在S的某個子群里,那么稱S是一個完全正則半群.顯然逆半群和完全正則半群都是正則半群.

定理4當(dāng)n≥3時,T(ρ,≤)不是逆半群.

證明取

那么α,β∈T(ρ,≤)且為T(ρ,≤)的冪等元.但

即αβ≠βα.故T(ρ,≤)(n≥3)不是逆半群(因?yàn)樵谀姘肴褐兴袃绲仍山粨Q).

當(dāng)n=1時,T(ρ,≤)顯然是逆半群.當(dāng)n=2時,若Xn/ρ={{1}<{2}},T(ρ,≤)是逆半群;若Xn/ρ={{1,2}},T(ρ,≤)=T2不是逆半群.

定理5當(dāng)n≥3時,T(ρ,≤)不是完全正則半群.

證明取

那么α∈T(ρ,≤),并且

當(dāng)n=1,2時,T(ρ,≤)是完全正則半群.

于是由定理4立刻有

推論不是逆半群.

由定理5立刻有

推論(n≥3)不是完全正則半群.

參考文獻(xiàn):

[1] Yang Xiuliang, Yang Haobo. Maximal half-transitive submonoids of full transformation semigroups[J]. Adv Math，2011,40(5):580-586.

[2] Umar A. On the semigroups of order-decreasing finite full transformations[J]. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh,1992,120A：129-142.

[3] Yang Haobo, Yang Xiuliang. Automorphisms of partition order-preserving transformation monoids[J]. Semigroup Form,2012,85(3):513-524.

[4] Fountain J B. Abundant semigroups[J]. Proc London Math Soc,1982,44(3):103-129.

[5] Howie J M. Fundamentals of semigroups theory[M]. Oxford: Oxford University Press,1995.

Green’s*Relations of Partition Order-decreasing Transformation Monoids

WANG Zhenzhen, YANG Xiuliang

(School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

Abstract:Let Tspanbe the full transformation semigroup on a finite set Xspan= {1,2,…,n}. Let ρ be an equivalence relation on Xspan, and let≤ be a total order on the set Xspan/ρ. Then, the partition decreasing submonoid of Tspanon Xspanis:

T(ρ,≤) = {α ∈ Tn:(xα)ρ≤ xρ, ?x ∈ Xn}.

The Green’s* relations ofT(ρ,≤) is described, andT(ρ,≤) is never an inverse semigroup or a completely regular semigroup ifn≥3.

Key words:Green’s*relations; partition decreasing; equivalence relation; inverse semigroup; completely regular semigroup

通信作者：楊秀良(1963—),男，教授，主要從事半群代數(shù)研究.E-mail:yxl@hznu.edu.cn

收稿日期：2014-05-30

文章編號:1674-232X(2015)02-0166-04

中圖分類號:O152.7MSC2010: 43A22

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2015.02.010