從一道中考題說起
——談初中數(shù)學數(shù)形結(jié)合思想展現(xiàn)的魅力

江蘇省南京師范大學蘇州實驗中學 張 璇

在當前的初中數(shù)學教學中，學生不僅證明和求解的過程書寫混亂，如由“因為”根本推導不出“所以”后面的結(jié)論等，而且平面圖形的性質(zhì)無法利用“數(shù)”與“形”相結(jié)合的思想與方法分析，如二次函數(shù)圖像的性質(zhì)等.這就導致大部分初中生將解題思路禁錮于某一個方面，或“代數(shù)”方面，或“幾何”方面，而不能將二者有效結(jié)合起來，從而久久不能將問題有效或高效地解決.數(shù)形結(jié)合思想便是為了解決這一問題而誕生的新思想、新方法，給初中數(shù)學的學習帶來了新的希望.

一、提出問題——一道經(jīng)典的數(shù)學中考題

2019年江西數(shù)學中考第12題：在平面直角坐標系中，A、B、C三點的坐標分別為（4，0）、（4，4）、（0，4），點P在x軸上，點D在直線AB上，DA=1，CP⊥DP于點P，則點P的坐標為_______.

本題是典型的動點問題，作為填空題的壓軸題，文字不多，但對分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的運用都進行了考查，體現(xiàn)了邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng).由“CP⊥DP”這個條件產(chǎn)生的兩種不同情況，預示著后期要采用分類討論思想.在第二種情況中，如果按照傳統(tǒng)做法過程比較復雜，主要會用到“勾股定理”“一元二次方程”等重要知識點.但是，如果能將直角看成兩條互相垂直的直線形成的角，即兩直線互相垂直，就可以將“幾何”問題轉(zhuǎn)化成“代數(shù)”問題，這是非常明顯的“數(shù)形結(jié)合”，不僅能幫助學生較快地解出這道題，而且在獨辟蹊徑之余讓學生感受到了數(shù)形結(jié)合思想的魅力所在.

二、對比分析——感悟數(shù)形結(jié)合思想的魅力

承上所述，下面對第二種情況的分析過程進行對比，通過對比和分析讓學生感悟數(shù)形結(jié)合思想給學生的學習帶來了便利，甚至是“捷徑”.

（一）利用常規(guī)解題思路進行分析

首先，這樣的點D應(yīng)有兩個，一是（4，1），二是（4，-1）.

當點D的坐標是（4，1）時，如圖1所示，此時可以設(shè)點P的坐標為（m，0），那么OP=m，且AP=4-m.易得到△OCP△APD，因此可列比例式，即OC·AD=AP·OP.將OP=m、AP=4-m代入其中，得到4×1=（4-m）·m，解得m1=m2=2，所以點P的坐標為（2，0）.

當點D的坐標是（4，-1）時，如圖2所示，此時可以設(shè)點P的坐標為（m，0），那么很容易得到CD2、PC2、PD2的表達式，即CD2=（0-4）2+［4-（-1）］2=41，PC2=（0-m）2+（4-0）2=m2+16，PD2=（4-m）2+（-1-0）2=m2-8m+17.由勾股定理可知CD2=PC2+PD2，繼而得到m2+16+m2-8m+17=41，解得m1=.所以，點P的坐標為或

圖1

圖2

（二）利用兩直線的位置關(guān)系分析

在幾何領(lǐng)域中，兩條直線的位置關(guān)系有平行和相交兩種，其中平行的特例是互相重合，相交的特例是互相垂直.將這一問題放在代數(shù)領(lǐng)域中，那么兩條直線可以看成兩個不同的一次函數(shù)的圖像.設(shè)這兩條直線的解析式分別為y=k1x+b1和y=k2x+b2，當k1=k2、b1≠b2時，兩條直線互相平行，假如b1=b2，就可以得到兩直線互相重合；當k1·k2=-1時，兩條直線互相垂直.由此可見，討論直角的問題不能局限于幾何角度，也可以將之拓展至代數(shù)角度，即把兩條直線看成兩個一次函數(shù)的圖像，然后根據(jù)k1·k2=-1得到兩條直線互相垂直.所以，對于該題的第（2）問，也可以按照這個思路具體分析，如下所示：

首先，設(shè)點P的坐標為（n，0），線段CP所在直線的解析式為yCP=k1x+b1，線段DP所在直線的解析式為yDP=k2x+b2，然后分別將點C（0，4）、P（n，0）、D（4，-1）代入到這兩條直線的解析式中，得到.由于CP⊥DP于點P，所以k1·k2=-1，即，解得，最后得到點P的另外兩個可能的坐標為

（三）基于兩法對比感悟數(shù)形結(jié)合思想的魅力

通過對比這兩種不同的分析方法，不難發(fā)現(xiàn)它們都利用到了數(shù)形結(jié)合思想.第一種方法是將問題分成了兩類，然后在分類討論思想的基礎(chǔ)上使用數(shù)形結(jié)合思想.這種方法比較常規(guī)，但是分析的思路比較清晰，因為每分析一類情況就相當于做一個題目，兩類情況分析過程彼此獨立.但是，計算量比較大，而且容易忽略其中的一種情況.第二種方法并沒有進行分類，而是將幾何中的直線或線段看成一次函數(shù)的圖像，然后根據(jù)k1·k2=-1得到方程并解出，最后得到點P的另外兩個可能的坐標.這種方法靈活性、綜合性都比第一種方法更高，特別是完全從代數(shù)的角度考慮幾何問題，這和第一種方法由幾何分析列出代數(shù)算式明顯不同，也更考驗解題人的綜合水平.

三、精培巧滲——讓學生利用數(shù)形結(jié)合思想解疑

數(shù)形結(jié)合思想可以讓學生于“窮途末路”處“柳暗花明”，在茅塞頓開之余感受數(shù)學的魅力.甚至在掌握這種思想方法后，會因一次次“豁然開朗”而漸漸喜歡上做數(shù)學題和慢慢對自己學好數(shù)學建立越來越強的自信.所以，作為核心素養(yǎng)理念下的一線初中數(shù)學教師，有必要也有義務(wù)從以下幾個方面培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合思想：

（一）在講好概念上下功夫

掌握概念是學生學習的重要任務(wù)，并且學生需經(jīng)歷形成、理解、應(yīng)用三個過程.所以，教師在教學數(shù)學概念時，要尋找恰當時機向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合思想.

例如，教師在講“勾股定理”內(nèi)容時，就是通過一個直角三角形的三邊作出的正方形的面積關(guān)系，得到這個直角三角形三邊的關(guān)系，而這種關(guān)系就是勾股定理的內(nèi)容.勾股定理可以用一個表達式概括，而其推導過程就是建立在幾何層面上，將“數(shù)”與“形”進行了有效結(jié)合，向?qū)W生滲透了數(shù)形結(jié)合思想.

再如，教師在講到“二次函數(shù)的圖像”時，就是利用數(shù)與圖形相結(jié)合的方式為學生展現(xiàn)了二次函數(shù)的開口及開口方向、對稱軸、頂點，從而讓學生對二次函數(shù)的三要素有更清晰的了解.特別是利用圖形分析二次函數(shù)的增減性時，往往是在一幅二次函數(shù)圖像上分別取幾個不同的點，然后通過比較相對應(yīng)的y值及其在坐標平面上的高低、正負，便得到了二次函數(shù)的增減性.這樣一來，原本非常抽象的內(nèi)容在利用數(shù)形結(jié)合思想之后，問題和分析過程變得更直觀、更簡單.

（二）在問題解決時潛移默化

常見的可用數(shù)形結(jié)合思想解決的數(shù)學問題主要有兩大類，一類是代數(shù)問題用幾何的方法解決，另一類是幾何問題用代數(shù)的方法解決，其中解直角三角形、函數(shù)等問題比較多見.

例如，有這樣一道中考數(shù)學題——一次函數(shù)y=kx+k的圖像過點（1，4），且分別與x軸、y軸交于點A、B.點P（a，0）在x軸的正半軸上運動，點Q（0，b）在y軸的正半軸上運動，且PQ=AB.

（1）求k的值，并在直角坐標系中畫出該一次函數(shù)的圖像；

（2）求a與b滿足的等量關(guān)系式；

（3）若PQ⊥AB，求a、b的值.

本題對學生掌握分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的情況進行了考查，重點在于學生應(yīng)用知識推理出正確的結(jié)果.通過圖像或畫圖解決一些函數(shù)問題，是當前中考中炙手可熱的命題類型.將函數(shù)圖像特征、代數(shù)數(shù)量關(guān)系等結(jié)合起來，能有效幫助學生解決問題、檢驗問題解決的結(jié)果.

四、結(jié)語

總之，面對很多學生無法在“代數(shù)”與“幾何”間靈活轉(zhuǎn)換，從而不能很好地利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的不足，一線初中數(shù)學教師一方面要正視，另一方面要積極在日常教學中滲透數(shù)形結(jié)合思想，讓學生領(lǐng)略它的魅力.