對(duì)職前數(shù)學(xué)教師關(guān)于集合概念理解的調(diào)查研究

毛耀忠 張銳 李曼生

摘 要：集合理論是整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)，論文通過(guò)問(wèn)卷測(cè)試發(fā)現(xiàn)職前數(shù)學(xué)教師對(duì)于集合概念的理解并不理想：僅有65.9%的職前數(shù)學(xué)教師能夠回答正確集合的定義；缺少描述法表征集合是不少職前數(shù)學(xué)教師的通??；89.2%的職前數(shù)學(xué)教師把集合的等價(jià)與集合的相等混為一談；62.5%的職前數(shù)學(xué)教師對(duì)于有限集合的定義理解不深；69.9%的職前數(shù)學(xué)教師并沒(méi)有理解全集的實(shí)質(zhì)；僅有14.8%的職前數(shù)學(xué)教師理解了補(bǔ)集的概念；84.1%的職前數(shù)學(xué)教師不知道區(qū)間是集合的事實(shí)。職前數(shù)學(xué)教師教育課程體系應(yīng)該進(jìn)行調(diào)整，開(kāi)設(shè)一些可以宏觀理解整個(gè)數(shù)學(xué)體系的課程；職前數(shù)學(xué)教師教育者應(yīng)該重視日常教學(xué)，使教學(xué)過(guò)程更具有效性；職前數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)掌握基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育中的核心概念，理解不同數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)聯(lián)。

關(guān)鍵詞：職前數(shù)學(xué)教師 集合 概念理解 調(diào)查

中圖分類(lèi)號(hào)：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2015）08（c）-0158-03

Investigation and Analysis about Comprehension Levels of Pre-service Mathematics Teachers on the Concept of Set

Mao Yaozhong Zhang Rui Li Mansheng

（School of mathematics，Lanzhou City College，Lanzhou Gansu，730070，China）

Abstract：Set theory is the foundation of the whole mathematics building.Investigation shows that Pre-service Mathematics Teachers do not have adequate level on the concept of set. The paper puts forward some suggestions to improve education quality of pre-service mathematics teachers.

Key words：Pre-service mathematics teachers；Set；Comprehension on concept；Investigation

職前數(shù)學(xué)教師的概念學(xué)習(xí)對(duì)于其專(zhuān)業(yè)發(fā)展至關(guān)重要。因此，評(píng)價(jià)職前數(shù)學(xué)教師的學(xué)習(xí)成就不僅要關(guān)注程序性的知識(shí)更要強(qiáng)調(diào)概念性的知識(shí)。值得注意的是，職前數(shù)學(xué)教師擁有的諸多概念知識(shí)當(dāng)中，有很多并沒(méi)有反應(yīng)出概念的本真意義，甚至是完全錯(cuò)誤的。簡(jiǎn)言之，職前數(shù)學(xué)教師的概念體系當(dāng)中具有較多的迷思概念。迷思概念對(duì)于職前數(shù)學(xué)教師認(rèn)知活動(dòng)產(chǎn)生的危害難以估量，其會(huì)讓職前數(shù)學(xué)教師的認(rèn)知活動(dòng)呈現(xiàn)出“劣幣驅(qū)除良幣”的狀態(tài)，使認(rèn)知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生嚴(yán)重偏差。集合理論是整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)，通過(guò)問(wèn)卷測(cè)試職前數(shù)學(xué)教師對(duì)于集合概念的理解情況，以管窺豹，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出改進(jìn)職前數(shù)學(xué)教師教育的建議具有重要的理論及現(xiàn)實(shí)意義。

1 研究設(shè)計(jì)

1.1 研究問(wèn)題

論文主要圍繞職前數(shù)學(xué)教師關(guān)于集合概念的理解水平是怎樣的這樣一個(gè)核心問(wèn)題展開(kāi)。

1.2 調(diào)查對(duì)象

調(diào)查選取了甘肅省三所師范類(lèi)高校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的176名大三學(xué)生，其中男生62名，女生114名。

1.3 測(cè)試題

論文選取了7道有關(guān)集合概念的開(kāi)放式問(wèn)題作為測(cè)試題，依次如下：

（1）什么是集合？

（2）可以用哪些方式表征集合？

（3）整數(shù)集合與偶數(shù)集合等價(jià)嗎？

（4）空集是有限集合嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。

（5）全集是永恒唯一的嗎？

（6）一個(gè)集合的補(bǔ)集可以不同嗎？

（7）區(qū)間是集合嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。

1.4 數(shù)據(jù)分析工具

Excel2003軟件被用來(lái)處理調(diào)查得來(lái)的數(shù)據(jù)。

2 調(diào)查結(jié)果及分析

2.1 對(duì)于“什么是集合？”的調(diào)查結(jié)果及分析

對(duì)于問(wèn)題“什么是集合？”的回答，65.9%的職前數(shù)學(xué)教師回答正確，1.1%的職前數(shù)學(xué)教師回答部分正確，33.0%的職前數(shù)學(xué)教師回答錯(cuò)誤。集合是一些明確規(guī)定且彼此不重復(fù)的對(duì)象的全體。那些回答部分正確的同學(xué)僅僅認(rèn)為，“集合就是明確規(guī)定的對(duì)象的整體”，缺少了“對(duì)象不能重復(fù)”這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。

學(xué)生對(duì)于集合定義的錯(cuò)誤理解其實(shí)與平時(shí)的集合定義教學(xué)存在很大的關(guān)聯(lián)。在教學(xué)過(guò)程中，很多教師往往會(huì)直接教授集合的定義、規(guī)則及運(yùn)算，缺少正反例證，沒(méi)有細(xì)致分析哪些對(duì)象的全體能夠或者不能夠形成集合。比如，互相之間不存在共同特征的對(duì)象以及彼此不能夠共存的對(duì)象的全體就無(wú)法構(gòu)成集合。

2.2 對(duì)于“可以用哪些方式表征集合？”的調(diào)查結(jié)果及分析

集合有三種表征方式，分別是列舉法、描述法和韋恩圖法，缺少描述法是大多數(shù)部分回答正確學(xué)生的通病?？偟膩?lái)看，女同學(xué)的正確率（74.6%）明顯高出男同學(xué)的正確率（56.5%）。

集合的不同表征往往能促使學(xué)生更加深刻、全面地認(rèn)識(shí)集合。然而從調(diào)查結(jié)果看，不少學(xué)生對(duì)描述法表征集合的認(rèn)識(shí)比較欠缺，這其實(shí)與描述法相對(duì)更加抽象有關(guān)。因此，在日常教學(xué)中教師應(yīng)該加強(qiáng)集合表征方式的教學(xué)，不僅要讓學(xué)生熟悉各種表征方式，而且要重點(diǎn)訓(xùn)練讓學(xué)生學(xué)會(huì)在各種表征方式之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

2.3 對(duì)于“整數(shù)集合與偶數(shù)集合等價(jià)嗎？”的調(diào)查結(jié)果及分析

對(duì)于問(wèn)題“整數(shù)集合與偶數(shù)集合等價(jià)嗎？”的回答，絕大多數(shù)學(xué)生（89.2%）的回答都是錯(cuò)誤的，認(rèn)為整數(shù)集合包含奇數(shù)集合與偶數(shù)集合，偶數(shù)集合是整數(shù)集合的真子集，所以整數(shù)集合與偶數(shù)集合不等價(jià)。他們的疑惑體現(xiàn)在：與原集合不相等的真子集怎么能和原集合等價(jià)呢？部分怎么能等價(jià)于整體呢？事實(shí)上，根據(jù)一一對(duì)應(yīng)的原理偶數(shù)集合與整數(shù)集合是等價(jià)的。相對(duì)來(lái)講，男學(xué)生（17.7%回答正確）的結(jié)果好于女學(xué)生（7.0%回答正確）。此外，很多學(xué)生的答案答非所問(wèn)，沒(méi)有按照題目的要求作答。

集合中的元素如果能被數(shù)完就是有限集合，如果數(shù)不完就是無(wú)限集合。有限集合不能等價(jià)于除本身之外的任一子集，而無(wú)限集合可以等價(jià)于它的某個(gè)真子集（如通過(guò)一一對(duì)應(yīng)就可以使整數(shù)集與偶數(shù)集等價(jià)）。將近九成的學(xué)生（89.2%）都對(duì)此做出了錯(cuò)誤的回答，錯(cuò)誤的原因主要是學(xué)生缺少集合等價(jià)的知識(shí)，不知何為集合的等價(jià)，把集合的等價(jià)與集合的相等混為一談。在集合的教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)該補(bǔ)充集合等價(jià)的理論，并讓學(xué)生明確區(qū)分集合的相等與等價(jià)。

2.4 對(duì)于“空集是有限集合嗎？”的調(diào)查結(jié)果及分析

空集是一個(gè)有限集合，但是很多學(xué)生基于“空集中沒(méi)有元素”這個(gè)事實(shí)，認(rèn)為：“空集很含糊，不能討論其有限性”；“空集中沒(méi)有元素，不好做任何解釋”；“空集既不是有限集合，也不是無(wú)限集合”。

學(xué)生對(duì)這個(gè)問(wèn)題的回答不太理想（62.5%的學(xué)生回答錯(cuò)誤）主要是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)于什么是有限集合的定義理解不深。大多數(shù)學(xué)生只是感官上覺(jué)得集合中的元素如果能被數(shù)完就是有限集合，而空集中沒(méi)有元素他們就主觀地認(rèn)為不能數(shù)數(shù)了，自然也就不屬于有限集合。在今后的教學(xué)活動(dòng)中，必須強(qiáng)化有限與無(wú)限集合定義的本質(zhì)特征，以是否可以與其真子集等價(jià)作為判斷有限集合與無(wú)限集合的標(biāo)準(zhǔn)。

2.5 對(duì)于“全集是永恒唯一的嗎？”的調(diào)查結(jié)果及分析

全集并不是永恒不變或者唯一存在的，它隨著處理問(wèn)題的差別可以取許多不同的形式，甚至對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題由于所用數(shù)學(xué)方法或者看問(wèn)題的角度不同都可以取不同的全集。但是，很多學(xué)生（69.9%）并沒(méi)有理解全集的實(shí)質(zhì)，做出了錯(cuò)誤的回答。

對(duì)于全集的認(rèn)識(shí)不能“望文生義”，很多學(xué)生的回答只是漢語(yǔ)意思的臆測(cè)，比如“全集是指包含所有個(gè)體及運(yùn)算的集合”，“最大的集合”等。這主要是學(xué)生不理解全集的本原意義，不知道根本就不存在最大的集合這個(gè)事實(shí)。因?yàn)槿绻嬖谧畲蟮募?，那么將其作為新的元素，又可以生出更大的集合。事?shí)上，全集是應(yīng)用一定方法討論問(wèn)題時(shí)關(guān)于對(duì)象范圍的限定，問(wèn)題不一樣，方法不一樣所選取的全集就可能不一樣。

2.6 對(duì)于“一個(gè)集合的補(bǔ)集可以不同嗎？”的調(diào)查結(jié)果及分析

對(duì)于問(wèn)題“一個(gè)集合的補(bǔ)集可以不同嗎？”的回答，雖然男同學(xué)的回答正確率（24.2%）高于女同學(xué)的正確率（9.6%），但是總體來(lái)看，回答正確率顯著偏低（總體回答正確率為14.8%）。

補(bǔ)集確定的基礎(chǔ)是全集，學(xué)生對(duì)于全集理解的偏差會(huì)導(dǎo)致對(duì)于補(bǔ)集的錯(cuò)誤理解。數(shù)學(xué)是一門(mén)前后內(nèi)容密切關(guān)聯(lián)的學(xué)科，對(duì)于一些關(guān)鍵的核心概念一定要形成正確、牢固的認(rèn)識(shí)，為后續(xù)概念的掌握提供支持，避免“錯(cuò)一處而亂全局”的困境出現(xiàn)。

2.7 對(duì)于“區(qū)間是集合嗎？”的調(diào)查結(jié)果及分析

區(qū)間是一種特殊的集合，然而調(diào)查結(jié)果顯示大多數(shù)學(xué)生（84.1%）并不知道這個(gè)事實(shí)或者曲解了這個(gè)事實(shí)。

區(qū)間是一類(lèi)特殊的集合，它的元素均是實(shí)數(shù)，之所以很多學(xué)生否定這個(gè)事實(shí)，主要在于區(qū)間的寫(xiě)法與集合的描述法、列舉法的寫(xiě)法存在形式上的不同。學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)集合這個(gè)概念之初就熟悉用花括號(hào)的記法，而區(qū)間用的是圓括號(hào)和方括號(hào)，這個(gè)明顯的差異導(dǎo)致許多學(xué)生認(rèn)為區(qū)間不是集合。因此，對(duì)于集合概念的教學(xué)應(yīng)該突出概念的本質(zhì)，不要拘泥于概念的形式，也就是要“注重實(shí)質(zhì)，淡化形式”。

3 建議

從前述的調(diào)查結(jié)果可以看出，職前數(shù)學(xué)教師對(duì)于集合概念的理解并不理想，與調(diào)查之初的預(yù)想存在較大的反差。職前數(shù)學(xué)教師所掌握的集合知識(shí)缺少完整度，知識(shí)與知識(shí)的聯(lián)系比較松散；對(duì)于概念的理解主觀膩斷，往往會(huì)“望文生義”出現(xiàn)似是而非的錯(cuò)誤理解；缺少數(shù)學(xué)探究的理性精神，學(xué)習(xí)中很少“打破砂鍋問(wèn)到底”；對(duì)于許多有關(guān)集合概念的知識(shí)存在學(xué)習(xí)盲區(qū)，欠缺部分必要的學(xué)科知識(shí)。基于存在的這些問(wèn)題，筆者提出以下一些建議。

3.1 對(duì)高師課程改革的建議

基礎(chǔ)教育課程改革如火如荼，但與之緊密聯(lián)系的高師課程改革則嚴(yán)重滯后?；A(chǔ)教育課程改革的核心之一就是提升教師的知識(shí)與能力，需要高師院校培養(yǎng)適應(yīng)新課程的新教師，高師課程改革迫在眉睫。2012年，教育部組織出版了各科的《中小學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展標(biāo)準(zhǔn)及指導(dǎo)》，[1]為高師課程改革提供了依據(jù)，廣大高師院校應(yīng)該認(rèn)真落實(shí)，對(duì)自身的課程體系進(jìn)行調(diào)整以適應(yīng)新形勢(shì)的需要。在具體操作中，職前數(shù)學(xué)教師教育課程應(yīng)該消除高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的界限，并針對(duì)當(dāng)前絕大多數(shù)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化知識(shí)整體欠缺的現(xiàn)狀，[2]開(kāi)設(shè)一些諸如《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》《數(shù)學(xué)史》《數(shù)學(xué)文化》等宏觀理解整個(gè)數(shù)學(xué)體系的課程；同時(shí)，應(yīng)該增加數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)類(lèi)課程的比重，使學(xué)生能夠把中小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，從而體現(xiàn)出數(shù)學(xué)教師工作的專(zhuān)業(yè)性；最后，職前數(shù)學(xué)教師教育課程應(yīng)設(shè)置實(shí)踐性及研究性的課程，增強(qiáng)職前數(shù)學(xué)教師的學(xué)習(xí)主動(dòng)性和探究性，達(dá)到對(duì)于特定專(zhuān)題的深刻理解與掌握。

3.2 對(duì)職前數(shù)學(xué)教師教育者的建議

作為職前數(shù)學(xué)教師教育者，首先應(yīng)該在思想上重視日常的教學(xué)，不能把教學(xué)工作簡(jiǎn)單地理解為照本宣科，而應(yīng)當(dāng)想辦法做實(shí)事，使整個(gè)教學(xué)過(guò)程更具有效性；其次，職前數(shù)學(xué)教師教育者在教學(xué)中應(yīng)該告訴學(xué)生知識(shí)的來(lái)龍去脈，避免“燒中段”式的灌輸教學(xué)；再次，職前數(shù)學(xué)教師教育者應(yīng)該研究教學(xué)過(guò)程的規(guī)律，把教學(xué)與教學(xué)研究結(jié)合起來(lái)，促進(jìn)自身教學(xué)水平的提高；最后，應(yīng)該改變當(dāng)前職前數(shù)學(xué)教師教育者過(guò)于偏重科研的現(xiàn)狀，把教學(xué)績(jī)效與科研績(jī)效放在同等重要的位置，使其愿意投身教學(xué)及教學(xué)研究。

3.3 對(duì)職前數(shù)學(xué)教師的建議

作為一名職前數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)熟練掌握基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育中的核心數(shù)學(xué)概念，對(duì)不同數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)聯(lián)應(yīng)該深入理解，比如要知道基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育中有哪些關(guān)鍵的數(shù)學(xué)概念，哪個(gè)概念是某一概念的上位或并列概念，采用怎樣的形式設(shè)計(jì)某個(gè)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過(guò)程等。職前數(shù)學(xué)教師如果能弄清楚這些問(wèn)題，就能夠在將來(lái)的教學(xué)過(guò)程中游刃有余，進(jìn)而避免復(fù)制粘貼式地教“教材”，做到因時(shí)、因地、因人地用“教材”教。[3]

4 結(jié)語(yǔ)

有好的教師，才有好的教育。未來(lái)教育對(duì)教師的素質(zhì)提出了更高更新的要求，也對(duì)未來(lái)的教師——職前數(shù)學(xué)教師提出了更高更新的要求。[4]職前數(shù)學(xué)教師教育者應(yīng)該幫助職前數(shù)學(xué)教師正確理解初等數(shù)學(xué)中的核心概念，打好整個(gè)概念體系的基樁，貫通概念之間千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，以減少迷思概念產(chǎn)生的機(jī)率。職前數(shù)學(xué)教師教育課程體系應(yīng)該進(jìn)行調(diào)整，開(kāi)設(shè)一些諸如《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》《數(shù)學(xué)史》等可以宏觀理解整個(gè)數(shù)學(xué)體系的課程；職前數(shù)學(xué)教師教育者應(yīng)該重視日常教學(xué)活動(dòng)，使教學(xué)過(guò)程更具有效性；職前數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)掌握基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育中的核心概念，理解不同數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)聯(lián)。

參考文獻(xiàn)

[1] 中小學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展標(biāo)準(zhǔn)及指導(dǎo)課題組. 中小學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展標(biāo)準(zhǔn)及指導(dǎo)（數(shù)學(xué)）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2] 李保臻， 孫名符. 新課改背景下高中數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化知識(shí)的現(xiàn)狀調(diào)查[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)， 2013（2）：49-53.

[3] 毛耀忠， 張銳， 劉永平.小學(xué)數(shù)學(xué)教師的課程取向的調(diào)查與分析[J].寧波大學(xué)學(xué)報(bào)：教育科學(xué)版，2012（5）：121-125.

[4] 苗深花.論師范生“為教而學(xué)”學(xué)習(xí)觀的構(gòu)建[J].教育研究， 2012（5）： 90-94.