數(shù)學(xué)估計(jì)及中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對其的培養(yǎng)要求

沈 威，曹廣福

（廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510006）

數(shù)學(xué)估計(jì)及中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對其的培養(yǎng)要求

沈 威，曹廣福

（廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510006）

摘要：數(shù)學(xué)估計(jì)包括定量數(shù)學(xué)估計(jì)和定性數(shù)學(xué)估計(jì)兩類.定量數(shù)學(xué)估計(jì)分為3個(gè)方面：估數(shù)，估算和估測.而對定性數(shù)學(xué)估計(jì)的研究尚沒有研究者涉及，經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，定性數(shù)學(xué)估計(jì)既是認(rèn)知對象，也是元認(rèn)知的重要成分.中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)估計(jì)能力的培養(yǎng)要求是從以定量數(shù)學(xué)估計(jì)為主向以定性數(shù)學(xué)估計(jì)為主方向發(fā)展，開發(fā)適合于不同學(xué)段的教學(xué)材料和教學(xué)策略是今后數(shù)學(xué)估計(jì)研究的重要任務(wù)之一.

關(guān)鍵詞：估計(jì)；估數(shù)；估測；估算；定量數(shù)學(xué)估計(jì)；定性數(shù)學(xué)估計(jì)

估計(jì)（Estimation）在美國早已被列入數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[1~6]，1980年美國數(shù)學(xué)教師理事會(huì)（NCTM）在《行動(dòng)的綱領(lǐng)》中建議“教師應(yīng)該經(jīng)常地有規(guī)律地將估計(jì)（Estimation）活動(dòng)結(jié)合到數(shù)學(xué)程序中去，特別地，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生在提出和選擇對象以及研究結(jié)果的合理性時(shí)進(jìn)行估計(jì)練習(xí).”1990年NCTM頒發(fā)了《美國中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，把估計(jì)作為“數(shù)學(xué)的合法部分”，將估計(jì)能力作為一條重要的標(biāo)準(zhǔn).中國在2001年由教育部頒布了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》，將估算（Computational Estimation）納入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，與“口算”、“計(jì)算”地位并重.自從估算被列入2001年《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》便受到中國教育研究者的高度關(guān)注，既有數(shù)學(xué)教育內(nèi)部的研究者[7~13]，也有數(shù)學(xué)教育外部的研究者[14].從已有研究文獻(xiàn)來看，估計(jì)與估算混用常有出現(xiàn)，這樣不但不利于對估算的理論研究和教學(xué)實(shí)踐，而且容易混淆估計(jì)與估算的本質(zhì).研究擬對與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有關(guān)的數(shù)學(xué)估計(jì)研究及中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對其的培養(yǎng)要求作一探討.

1　數(shù)學(xué)估計(jì)

估計(jì)是重要的數(shù)學(xué)活動(dòng)之一，也被認(rèn)為是數(shù)感的重要組成部分[15].Beishuizen[16]認(rèn)為快速而相對準(zhǔn)確的估計(jì)能力有兩個(gè)好處：一是可以讓學(xué)生通過其他方式檢查自己答案的合理性；二是可以幫助學(xué)生發(fā)展較好的位值理解、數(shù)學(xué)操作和一般數(shù)感.

鮑建生[6]對估計(jì)做了深入細(xì)致的研究，他認(rèn)為“對估計(jì)的研究還不夠廣泛和深入，國外（主要是美國）的討論基本集中在估算這一比較狹窄的范圍內(nèi)，而國內(nèi)對此的研究更少.”“估計(jì)常被等同于估算，而估算又常常局限于近似計(jì)算，這是一種片面的看法，實(shí)際上，估計(jì)是人類的一種最頻繁的心理活動(dòng).”鮑建生認(rèn)為估計(jì)至少包括5種類型的估計(jì)：日常生活中的估計(jì)；測量中的估計(jì)；有效的精確度；價(jià)值性估計(jì)；利用計(jì)算機(jī)的估計(jì).他總結(jié)了估計(jì)的3個(gè)特點(diǎn)：一是估計(jì)是一種介于推理和猜想之間的心理活動(dòng)；二是估計(jì)是一種開放性的創(chuàng)造活動(dòng)；三是估計(jì)是一種實(shí)用性的社會(huì)活動(dòng).

據(jù)此可以歸納出估計(jì)的一些本質(zhì)特征：運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)；結(jié)合實(shí)際情境；相對快速；滿足一定條件；是心理活動(dòng)；估計(jì)的結(jié)果是產(chǎn)生一個(gè)判斷.所以，估計(jì)可以界定為：估計(jì)是主體結(jié)合實(shí)際情境運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生一個(gè)相對快速且滿足一定條件的判斷的心理加工過程.把估計(jì)運(yùn)用于不同的領(lǐng)域便表現(xiàn)出相應(yīng)領(lǐng)域的估計(jì)特征，把估計(jì)運(yùn)用于數(shù)學(xué)領(lǐng)域則表現(xiàn)出數(shù)學(xué)的估計(jì)特點(diǎn).因此，數(shù)學(xué)估計(jì)是主體結(jié)合實(shí)際情境運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生一個(gè)相對快速且滿足一定條件的數(shù)學(xué)判斷的心理加工過程.從數(shù)學(xué)估計(jì)產(chǎn)生的結(jié)果來看，有的數(shù)學(xué)估計(jì)是獲得一個(gè)量的判斷，有的數(shù)學(xué)估計(jì)是獲得一個(gè)猜想、思路或方法等非量的判斷，稱前者為定量數(shù)學(xué)估計(jì)，后者為定性數(shù)學(xué)估計(jì).

2　定量數(shù)學(xué)估計(jì)

從現(xiàn)有研究來看，主要涉及3種定量數(shù)學(xué)估計(jì)類型：數(shù)量估計(jì)（numerical estimation簡稱估數(shù)）、測量估計(jì)（measurement estimation簡稱估測）和計(jì)算估計(jì)（computational estimation，簡稱估算）[17].

2.1對估數(shù)的研究

估數(shù)被認(rèn)為是一種有關(guān)數(shù)字判斷的數(shù)學(xué)問題解決形式，是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的一種適應(yīng)性問題解決方式.估數(shù)實(shí)際是在沒有足夠時(shí)間數(shù)出物體的數(shù)量，或要數(shù)的物體數(shù)量過大，或?qū)Ψ庆o止的物體根本無法做出計(jì)數(shù)的情況下做出一種粗略估計(jì)，是一種高層次的認(rèn)知加工過程[18].估數(shù)的研究主要涉及估數(shù)的精確性、表征方式和策略.研究表明，估數(shù)的精確性隨年齡的增長而提高；物體特性、時(shí)間向度和空間向度是影響個(gè)體數(shù)量估計(jì)精確性的主要因素，物體的大小、圖形形狀和規(guī)則性等物體特性均影響數(shù)量估計(jì)的精確性.

司繼偉[19]認(rèn)為不同數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平小學(xué)生數(shù)量估計(jì)準(zhǔn)確性存在顯著差異，優(yōu)生的估計(jì)準(zhǔn)確性顯著高于差生；圖形排列方式不同對兒童數(shù)量估計(jì)的準(zhǔn)確性會(huì)產(chǎn)生顯著影響.均勻排列的圖形會(huì)比不均勻排列的圖形高估；規(guī)則排列的圖形會(huì)比隨機(jī)排列的圖形高估.在表征方式研究上，目前主要認(rèn)為個(gè)體對數(shù)量估計(jì)的表征存在兩種模型：對數(shù)規(guī)則模型和累積模型.對數(shù)規(guī)則模型認(rèn)為人類和其他動(dòng)物一樣依靠單一的對數(shù)規(guī)則進(jìn)行表征；累積模型則認(rèn)為所有的人都把數(shù)量表征為隨數(shù)量的增加呈線性增長.盡管這兩種模型為人類及其他如何進(jìn)行數(shù)量表征提供了有力的解釋，但似乎還沒有一種模型能夠完整描述人們進(jìn)行數(shù)量表征時(shí)所使用的表征方式.在估數(shù)策略上，人們傾向于使用3種策略：相加、相減和估計(jì)[18].

2.2對估測的研究

估測是一種非常實(shí)用的日常數(shù)學(xué)技能，主要包括對長度、面積、重量、溫度和價(jià)格等日常數(shù)學(xué)范疇的估計(jì)[20].Bright將估測界定為“在不使用一般的測量工具的情況下，以某種方法推測出測量結(jié)果的一種心理加工過程”[21].估測研究主要包括估測能力發(fā)展及影響因素和估測的策略.已有研究成果已經(jīng)初步揭示了個(gè)體估測能力發(fā)展的趨勢，發(fā)現(xiàn)個(gè)體在估測能力上，從小學(xué)到中學(xué)，從低年級到高年級，是不斷發(fā)展的，成人的估計(jì)能力比學(xué)生好許多；也有研究顯示估測能力可能與性別有一定關(guān)系，即男性在估計(jì)距離和高度時(shí)要好于女性，但是估計(jì)重量和溫度時(shí)則沒有發(fā)現(xiàn)類似情況[20].莊維展的研究結(jié)果卻顯示男女兒童在面積、長度、容量、重量等4種估測任務(wù)上的表現(xiàn)并無明顯差別[22].關(guān)于估測的策略，一般認(rèn)為，常見有效估測策略大體可分為3類：單位迭代、參照點(diǎn)（又稱基準(zhǔn)點(diǎn)）、在估計(jì)前把估計(jì)物進(jìn)行心理轉(zhuǎn)換.單位迭代是指估計(jì)者在估計(jì)時(shí)，使用某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單位（如厘米），反復(fù)將標(biāo)準(zhǔn)單位與估計(jì)物相對照，記住上次標(biāo)準(zhǔn)單位結(jié)束的位置，開始下一次對照，計(jì)算單位的數(shù)目，從而得出估計(jì)結(jié)果.這種策略要求估計(jì)者在估計(jì)時(shí)若沒有呈現(xiàn)單位，需要回憶這個(gè)單位并對估計(jì)物進(jìn)行分解.在已發(fā)現(xiàn)的估測策略中，單位迭代運(yùn)用得最為普遍[20].

司繼偉對青少年估測能力的發(fā)展?fàn)顩r進(jìn)行了研究[23]，認(rèn)為：（1）青少年的總體估測能力普遍較低；（2）青少年的估測能力在初中階段會(huì)顯著提高，但之后的發(fā)展相對緩慢；（3）青少年的估測成績易受任務(wù)類型和題目形式的影響，對長度任務(wù)的估測成績好于對面積的估測；對圖形題目的估測成績好于對實(shí)際物體的估測；（4）青少年的估測能力不存在明顯性別差異.

2.3對估算的研究

比起估數(shù)和估測，關(guān)于估算的研究成果相對較多.司繼偉對小學(xué)兒童估算能力做了深入的研究，他把估算界定為“個(gè)體未經(jīng)過精確計(jì)算而只借助原有知識對問題提出粗略答案的一種估計(jì)形式，是心算、數(shù)概念和算術(shù)計(jì)算技巧之間相互作用的過程”[24].司繼偉認(rèn)為小學(xué)兒童的估算能力存在非常明顯的題目類型差異，他們給估算值距離精確值的偏離程度隨問題難度上升而逐漸增加；三年級可能是整數(shù)和小數(shù)估算能力發(fā)展的一個(gè)關(guān)鍵期，而五年級則是分?jǐn)?shù)估算能力發(fā)展的較好時(shí)期；在不同問題特點(diǎn)影響下，小學(xué)兒童的估算成績隨問題難度上升而明顯下降，數(shù)字大小、調(diào)整幅度和問題形式等問題特征都對估算速度有明顯影響，實(shí)際背景中多余條件的出現(xiàn)會(huì)明顯延長兒童的估算時(shí)間等.

陳麗蘭研究了9~12歲兒童估算策略選擇的發(fā)展特點(diǎn)[25]，她認(rèn)為兒童在估算時(shí)選擇了多種策略，且策略的使用頻率并不相同，取整使用最頻繁，其次是先補(bǔ)償，轉(zhuǎn)換和分解策略的使用頻次最??；隨著問題特征難度的增加，估算策略選擇的最佳擊中率降低；隨著年齡的增長，估算策略選擇的個(gè)數(shù)增加，估算策略選擇的最佳擊中率上升，其中四、五年級兒童的最佳擊中率上升尤為顯著；估算策略的選擇不存在性別差異.

張?jiān)葡蓪W(xué)業(yè)不良生與學(xué)優(yōu)生的估算能力做了比較研究[26]，她認(rèn)為：（1）數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)不良兒童的整數(shù)和小數(shù)的估算成績沒有達(dá)到顯著差異，但都與分?jǐn)?shù)估算成績達(dá)到顯著差異，分?jǐn)?shù)估算成績最差，等級性估算成績顯著好于參考數(shù)估算和開放式估算成績，但參考數(shù)估算和開放式估算成績差異不顯著；（2）學(xué)優(yōu)兒童的整數(shù)估算成績顯著高于小數(shù)成績，而小數(shù)估算成績又顯著高于分?jǐn)?shù)成績，等級性估算成績顯著高于參考數(shù)估算成績，開放式的估算成績也顯著好于參考數(shù)估算成績；（3）學(xué)業(yè)不良兒童與學(xué)優(yōu)兒童比較，更容易犯盲目猜測錯(cuò)誤、運(yùn)算規(guī)則執(zhí)行錯(cuò)誤、小數(shù)點(diǎn)位置錯(cuò)誤和位值錯(cuò)誤.

雖然估算的研究文獻(xiàn)相對多些，卻對估算沒有形成統(tǒng)一認(rèn)識.例如張奠宙認(rèn)為：小學(xué)估算的基礎(chǔ)是精確計(jì)算，沒有精確度的估算是“胡算”[13]；而司繼偉則認(rèn)為：估算是個(gè)體未經(jīng)過精確計(jì)算而只借助原有知識對問題提出粗略答案的一種估計(jì)形式，是心算、數(shù)概念和算術(shù)計(jì)算技巧之間相互作用的過程[24].事實(shí)上，他們對估算的界定都只抓住了估算的某一個(gè)方面，并沒有從數(shù)學(xué)的全貌來研究估算，從而他們的界定都有失偏頗.針對張奠宙的界定，在小學(xué)階段有“401接近一個(gè)什么樣的數(shù)？”的問題，這不需要精確計(jì)算，只要比較或觀察就可以得到401接近400的結(jié)果，所以這種估算不是在精確計(jì)算的基礎(chǔ)上；針對司繼偉的界定，在解決問題過程中，往往不能直接得到結(jié)果，要在一定嚴(yán)格演繹計(jì)算基礎(chǔ)上可以通過估算把握結(jié)果，這是是建立在嚴(yán)格的邏輯演繹基礎(chǔ)上的估算，例如，函數(shù)極限的e-d中的d確定就是在嚴(yán)格精確計(jì)算基礎(chǔ)上估算的.因此，估算可以進(jìn)一步界定為：估算是主體結(jié)合數(shù)學(xué)情境運(yùn)用已有數(shù)學(xué)計(jì)算經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生一個(gè)相對快速且滿足一定條件的、與計(jì)算有關(guān)的、判斷的心理加工過程.

2.4對定量數(shù)學(xué)估計(jì)能力的研究

劉效貞[27]等以數(shù)學(xué)估計(jì)由估數(shù)、估測和估算3種類型構(gòu)成為依據(jù)，研究了初中生的數(shù)學(xué)估計(jì)能力及其與元認(rèn)知監(jiān)控的關(guān)系.經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)：（1）中國初中生的估計(jì)能力發(fā)展相對不充分，在估數(shù)、估測、估算等任務(wù)上得分均較低.初二學(xué)生在不同估計(jì)任務(wù)中的表現(xiàn)相對較好；在估算任務(wù)中，男生的表現(xiàn)顯著優(yōu)于女生.估計(jì)能力從整體上并無穩(wěn)定的性別差異.（2）元認(rèn)知的4個(gè)維度與估計(jì)表現(xiàn)均存在顯著正相關(guān).自我意識維度可以顯著正向預(yù)測估計(jì)表現(xiàn)，是估計(jì)表現(xiàn)的一項(xiàng)良好的預(yù)測指標(biāo).具體來說，計(jì)劃維度可以正向預(yù)測估數(shù)和估算表現(xiàn)，而自我意識維度可以正向預(yù)測估測和估算表現(xiàn).

2.5對定量數(shù)學(xué)估計(jì)心理模型的研究

Alexander[28]認(rèn)為數(shù)學(xué)估計(jì)由估算與估測構(gòu)成，并根據(jù)實(shí)驗(yàn)研究建構(gòu)了數(shù)學(xué)估計(jì)的心理模型（如圖1），他根據(jù)研究解構(gòu)把數(shù)學(xué)估計(jì)心理模型分為相關(guān)的兩類：參照估計(jì)和解構(gòu)/重構(gòu)估計(jì).參照估計(jì)是個(gè)體知道參照標(biāo)準(zhǔn)于運(yùn)用被估計(jì)項(xiàng)目（To-Be-Estimated item (TBE)）的過程；對于一些估計(jì)問題沒有參照標(biāo)準(zhǔn)可用時(shí)，主體第一步要把TBE解構(gòu)為足夠小的樣本以至于運(yùn)用參照估計(jì)，然后再重構(gòu)這些樣本得到最終的估計(jì).Alexander研究了6種類型的估計(jì)問題：整數(shù)長度參照估計(jì)，分?jǐn)?shù)長度參照估計(jì)，正則長度解構(gòu)/重構(gòu)估計(jì)，正則數(shù)字解構(gòu)/重構(gòu)估計(jì)，非正則長度解構(gòu)/重構(gòu)估計(jì)，非正則數(shù)字解構(gòu)/重構(gòu)估計(jì).根據(jù)研究結(jié)果，他建構(gòu)出如下的數(shù)學(xué)估計(jì)心理模型.

圖1　估計(jì)模型

3　定性數(shù)學(xué)估計(jì)

目前所討論的數(shù)學(xué)估計(jì)都是定量數(shù)學(xué)估計(jì)，與定量數(shù)學(xué)估計(jì)相對應(yīng)的是定性數(shù)學(xué)估計(jì)，對定性數(shù)學(xué)估計(jì)的研究尚沒有研究者涉及，但是定性數(shù)學(xué)估計(jì)在數(shù)學(xué)問題解決或數(shù)學(xué)研究過程中無處不在.定性數(shù)學(xué)估計(jì)不但作為認(rèn)知的直接對象，還是監(jiān)控認(rèn)知過程的元認(rèn)知的重要成分.

作為認(rèn)知對象，定性數(shù)學(xué)估計(jì)在數(shù)學(xué)問題解決或數(shù)學(xué)研究中的表現(xiàn)之一則是猜想.解題者在問題解決過程中，經(jīng)過一定的邏輯演繹的計(jì)算或推理，對邏輯演繹的非數(shù)字結(jié)果做出估計(jì)，估計(jì)演繹結(jié)果的結(jié)構(gòu)與特征，這種估計(jì)的結(jié)果就是猜想.定性數(shù)學(xué)估計(jì)的表現(xiàn)之二則是對解題模式或解題方法的估計(jì).題者在問題解決過程中，經(jīng)過一定的邏輯演繹的計(jì)算或推理，對接下來的計(jì)算或推理做出估計(jì)，估計(jì)下一步或若干步計(jì)算或推理需要的方法，估計(jì)下一步或若干步計(jì)算或推理需要的解題模式.定性數(shù)學(xué)估計(jì)的表現(xiàn)之三則是統(tǒng)計(jì)估計(jì)，即研究者在獲得一定的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，根據(jù)數(shù)據(jù)所反映的某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律或特點(diǎn)對今后一段時(shí)間發(fā)生該情況做出估計(jì)，不同的研究者對同一現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)結(jié)果是不同的，有些研究者的估計(jì)比較準(zhǔn)確，而有些研究者的估計(jì)卻欠準(zhǔn)，這也反映了統(tǒng)計(jì)研究者估計(jì)能力的不同.

作為元認(rèn)知成分，估計(jì)就是預(yù)見的主要成分，在元認(rèn)知監(jiān)控過程中，預(yù)見是非常重要的，通過預(yù)見主體可以把自身置于非常有利的位置上.例如，在數(shù)學(xué)解題的整個(gè)過程，主體隨時(shí)估計(jì)自己的處境，判斷問題的性質(zhì)，展望問題的前景.對數(shù)學(xué)問題的性質(zhì)、特點(diǎn)和難度以及解題的基本策略和基本思維做出大致的估計(jì)、判斷和選擇；猜想問題的可能答案和可能采取的方法，并估計(jì)各方法的前景和成功的可能性等，要設(shè)法使自己置身于一個(gè)最便于行動(dòng)的位置上，處在一個(gè)最易于抓住問題的位置上[29].事實(shí)上，定性估計(jì)離不開定量估計(jì)，定量數(shù)學(xué)估計(jì)也離不開定性數(shù)學(xué)估計(jì)，而定性數(shù)學(xué)估計(jì)是發(fā)明創(chuàng)造的基礎(chǔ)，從某種意義上講，定性數(shù)學(xué)估計(jì)要比定量數(shù)學(xué)估計(jì)更加重要.

4　中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)估計(jì)能力的培養(yǎng)要求

數(shù)學(xué)估計(jì)是一種重要的數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)估計(jì)能力顯得非常必要與迫切.表1列出了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》[30]和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》[31]對數(shù)學(xué)估計(jì)的課程要求，從中能夠看出中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)估計(jì)能力培養(yǎng)的重點(diǎn)與規(guī)律.

表1　中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)估計(jì)能力的培養(yǎng)要求

由表1可知，在第一學(xué)段，課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)估計(jì)能力的培養(yǎng)放在“數(shù)與代數(shù)”和“圖形與幾何”上，沒有把數(shù)學(xué)估計(jì)能力的培養(yǎng)放在“統(tǒng)計(jì)與概率”上，這是由第一學(xué)段學(xué)生的認(rèn)知水平?jīng)Q定的.第一學(xué)段學(xué)生的年齡小，其認(rèn)知水平處于對確定性對象的認(rèn)知，沒有達(dá)到認(rèn)識隨機(jī)現(xiàn)象的認(rèn)知水平.培養(yǎng)重點(diǎn)是定量估計(jì)，即與四則運(yùn)算、度量單位、面積計(jì)算等有關(guān)的估測和估算.通過這些簡單的定量估計(jì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)感.第二學(xué)段，以定量估計(jì)為主，以定性估計(jì)為輔.在定量估計(jì)中，以估算為主，估測為輔；在定性估計(jì)中，主要是能對一些簡單的隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小做出定性描述.第三學(xué)段，定量估計(jì)和定性估計(jì)并重.定量估計(jì)主要表現(xiàn)在估計(jì)數(shù)的范圍、求近似數(shù)等；定性估計(jì)表現(xiàn)為猜想、預(yù)測結(jié)論，用頻率來估計(jì)概率等.高中階段，以定量數(shù)學(xué)估計(jì)為輔、定性數(shù)學(xué)估計(jì)為主.定量數(shù)學(xué)估計(jì)表現(xiàn)為對近似數(shù)的估計(jì)，定性數(shù)學(xué)估計(jì)表現(xiàn)為對解題模式、方法的估計(jì)，對統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的估計(jì)，對合情推理結(jié)果的估計(jì)等.如果以同心圓環(huán)的面積表示各個(gè)學(xué)段數(shù)學(xué)估計(jì)能力的發(fā)展，由內(nèi)向外擴(kuò)張，前一學(xué)段的數(shù)學(xué)估計(jì)能力是后一學(xué)段發(fā)展的基礎(chǔ)，隨著學(xué)生學(xué)段的升高，其知識和認(rèn)知能力也在不斷提升，學(xué)生數(shù)學(xué)估計(jì)能力也發(fā)展得更高，整個(gè)大圓的面積就是學(xué)生數(shù)學(xué)估計(jì)能力發(fā)展的總體狀況，圖2可以表征中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)估計(jì)能力培養(yǎng)要求的模型.

圖2　中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)估計(jì)能力培養(yǎng)要求的模型

5　展 望

數(shù)學(xué)估計(jì)潛浸在人類的數(shù)學(xué)思維過程中，表現(xiàn)出數(shù)學(xué)估計(jì)無所不在，但是真正認(rèn)識到數(shù)學(xué)估計(jì)及其價(jià)值比較晚，對數(shù)學(xué)估計(jì)開展相關(guān)研究的文獻(xiàn)不多.從已有研究文獻(xiàn)來看，數(shù)學(xué)估計(jì)的研究主要涉及估數(shù)、估測和估算3種類型，這3種類型的數(shù)學(xué)估計(jì)都是定量數(shù)學(xué)估計(jì)，即從量的角度研究數(shù)學(xué)估計(jì)；而比定量數(shù)學(xué)估計(jì)更加重要的定性數(shù)學(xué)估計(jì)更加需要深入研究.即便在定量數(shù)學(xué)估計(jì)中，是不是只含有估數(shù)、估測和估算3種類型？是否還有其他類型的定量數(shù)學(xué)估計(jì)？估數(shù)、估測和估算之間有何區(qū)別與聯(lián)系？從中國《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》對數(shù)學(xué)估計(jì)的培養(yǎng)要求看，只提到估算與估測，并沒有把估數(shù)納入課標(biāo)體系.在《中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對估算要求的變化探析》[32]一文中，估算與估測等數(shù)學(xué)估計(jì)的概念之間關(guān)系表述不清，沒有明確估計(jì)、大約、估測、推測等與估算之間的層級關(guān)系.因此，對有關(guān)數(shù)學(xué)估計(jì)的研究需要做出進(jìn)一步探討.

目前有關(guān)數(shù)學(xué)估計(jì)的研究比較松散，缺少對數(shù)學(xué)估計(jì)的系統(tǒng)理論研究，而且對一些核心概念還沒有大致的統(tǒng)一認(rèn)識，因此有必要對數(shù)學(xué)估計(jì)進(jìn)行理論梳理，建構(gòu)能被國內(nèi)數(shù)學(xué)教育工作者基本認(rèn)同的數(shù)學(xué)估計(jì)理論框架和分析框架.在相應(yīng)的框架下析出相應(yīng)的二級、三級或多級的數(shù)學(xué)估計(jì)層級概念，并保持內(nèi)在的一致性.研究各層級可檢測的行為指標(biāo)，通過可檢測的行為指標(biāo)使得數(shù)學(xué)估計(jì)便于把握和研究，根據(jù)各級指標(biāo)制定相應(yīng)的各年級或各學(xué)段量表，這樣能夠正確測量目前中國學(xué)生數(shù)學(xué)估計(jì)能力的水平，為教學(xué)提供客觀依據(jù).研究數(shù)學(xué)估計(jì)的目的是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)估計(jì)能力的發(fā)展，因此，要根據(jù)數(shù)學(xué)估計(jì)的研究成果開發(fā)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)估計(jì)能力發(fā)展的教學(xué)策略.從上述的討論來看，小學(xué)生、中學(xué)生對數(shù)學(xué)估計(jì)能力發(fā)展的需要是不同的，小學(xué)生的估計(jì)能力發(fā)展偏重以定量數(shù)學(xué)估計(jì)為主，隨著年齡的增長，應(yīng)該逐漸從培養(yǎng)定量數(shù)學(xué)估計(jì)能力為主過渡為培養(yǎng)定性估計(jì)數(shù)學(xué)能力為主，所以對不同年齡或不同學(xué)段學(xué)生的數(shù)學(xué)估計(jì)能力培養(yǎng)的教學(xué)材料和教學(xué)策略也是不同的，開發(fā)與不同年齡學(xué)生相適應(yīng)教學(xué)材料和教學(xué)策略也是今后數(shù)學(xué)估計(jì)研究的重要任務(wù)之一.

［參 考 文 獻(xiàn)］

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[責(zé)任編校：張楠]

Athematical Estimation and It’s Training Requirements in Our Country’s Mathematics Curriculum Standards

SHEN Wei, CAO Guang-fu
(School of Mathematics & Information Science, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China)

Abstract:Mathematical estimation including quantitative mathematical estimation and qualitative mathematical estimates. Quantitative mathematical estimation including: numerical estimation, measurement estimation, and computational estimation. The study of qualitative mathematical estimation that there is no the researchers involved, we found that Qualitative mathematical estimates is the cognitive object and important component of metacognition. Mathematics curriculum standards’ Training Requirements for mathematical estimation ability is from qualitative mathematical estimation to quantitative mathematical development.

Key words:estimation; numerical estimation; measurement estimation; computational estimation; quantitative mathematical estimation; qualitative mathematical estimation

作者簡介：沈威（1982—），男，安徽靈璧人，博士生，講師，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究.

基金項(xiàng)目：2014年教育部人文社會(huì)科學(xué)規(guī)劃基金項(xiàng)目——我國農(nóng)村中小學(xué)教師的TPACK及其教學(xué)表現(xiàn)研究（14YJA880054）；2014年廣東省教育研究院一般項(xiàng)目——最新中美數(shù)學(xué)教材編寫與數(shù)學(xué)教學(xué)特色研究（GDJY-2014-A-b210）

收稿日期：2015-03-10

中圖分類號：G40-034

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1004-9894（2015）04-0033-07