一道“超難”高考數(shù)學(xué)題的因由分析及命題的改進(jìn)建議

李廣修

全面的多角度的分析高考數(shù)學(xué)試題中的“超級(jí)難題”的因由，探討如何進(jìn)一步科學(xué)、規(guī)范命題，進(jìn)而促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)更加合理、有效，是一件很有意義的事情.本文以江蘇省2014年高考數(shù)學(xué)附加題的壓軸題（以下簡(jiǎn)稱蘇題）為例，試圖作出一些分析和討論，以期拋磚引玉.

1“超級(jí)難題”的因由分析

蘇題已知函數(shù)f0（x）=sinxx（x>0），設(shè)fn（x）為fn-1（x）的導(dǎo)數(shù)，n∈N*.

（1）求2f1π2+π2f2π2的值；

（2）證明：對(duì)任意的n∈N*，等式nfn-1π4+π4fnπ4=22成立.

該題旨在考查簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，考查探究能力及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的推理論證能力.該題滿分10分，但省均分不足2分；幾十萬(wàn)考生，少見能夠做出第二小題的；數(shù)學(xué)教師中的解題高手，也大都做不出來(lái)第二小題.那么，第二小題緣何成為“超級(jí)難題”？

1.1情景較為陌生

蘇題通過(guò)數(shù)列記號(hào)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)來(lái)表征函數(shù)列.函數(shù)列{fn（x）}在本質(zhì)上屬于二元函數(shù)，其自變量為x和n，絕大多數(shù)考生對(duì)于二元函數(shù)的認(rèn)知幾乎是一張白紙，一下子讓他們懂得其意義，是不現(xiàn)實(shí)的.對(duì)于用符號(hào)與變?cè)碚鞯膶?duì)象，從感知到理解，再到運(yùn)用，需要一定過(guò)程.再者，考生對(duì)證明函數(shù)恒等式這樣的命題結(jié)構(gòu)也不甚習(xí)慣.還有，因?yàn)橐C明的等式nfn-1π4+π4fnπ4=22是用具體值包裝的，把本質(zhì)性的一般化關(guān)系給掩蓋住了，考生需要先去證明一個(gè)加強(qiáng)的命題，進(jìn)而再證明一個(gè)弱化的命題，這也增加了推理難度.有部分考生曾經(jīng)做過(guò)：已知函數(shù)f（x）=sinx，記f1（x）=f′（x），f2（x）=f1′（x）…，fn+1（x）=fn′（x），則fn（x）=，陌生感可能會(huì)小一些.

1.2探究函數(shù)列{fn（x）}的通項(xiàng)表達(dá)式比較困難

弄明白了符號(hào)表征的考生，按慣常的思路，先算出函數(shù)列{fn（x）}的前幾項(xiàng)，通過(guò)歸納得出函數(shù)列通項(xiàng)表達(dá)式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，基本上都是無(wú)功而返.其原因有三：一是運(yùn)算量大、運(yùn)算要求高.求函數(shù)列{fn（x）}的前兩項(xiàng)的運(yùn)算較為簡(jiǎn)單，但求第三項(xiàng)、第四項(xiàng)的運(yùn)算就很復(fù)雜了，要用到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、冪函數(shù)三種類型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要用到和、積導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則.使用歸納法，避不開算出前幾項(xiàng)，只有準(zhǔn)確無(wú)誤地算出前幾項(xiàng)，才有可能歸納出函數(shù)列{fn（x）}的通項(xiàng)表達(dá)式.有些學(xué)生可能需要算出第五項(xiàng)，才有可能發(fā)現(xiàn)函數(shù)列通項(xiàng)的端倪..二是很不容易概括函數(shù)列{fn（x）}的通項(xiàng)的表達(dá)式.函數(shù)列的前四項(xiàng)依次為：f1（x）=-x-2sinx+x-1cosx，f2（x）=2x-3sinx-2x-2cosx-x-1sinx，f3（x）=-6x-4sinx+6x-3cosx+3x-2sinx-x-1cosx，f4（x）=24x-5sinx-24x-4cosx-12x-3sinx+4x-2cosx+x-1sinx，要想概括出函數(shù)列{fn（x）}的通項(xiàng)的表達(dá)式，需要綜合地分析、評(píng)判出函數(shù)列{fn（x）}的前四項(xiàng)中的三角函數(shù)、冪函數(shù)、排列數(shù)、正負(fù)號(hào)的組織結(jié)構(gòu)；需要作出合適變形，以形成統(tǒng)一性.能夠正確地獲得fn（x）的表達(dá)式（-1）-n[Annx-n-1sinx-AnnA11x-ncosx-AnnA22x-n+1sinx+…+AnnAnnx-1sin（x-nπ2）]，是著實(shí)不易的.三是考試時(shí)間不足.江蘇省高考理科考生需要做附加題，要在30分鐘時(shí)間內(nèi)做四道解答題，其中選做題兩道，必做題兩道.選做的兩道題是從平面幾何、不等式、矩陣與幾何變換、極坐標(biāo)與參數(shù)方程（各一道題）這四道題中自主選取兩道.盡管兩道選做題很容易，但也要耗費(fèi)一些時(shí)間.2014年江蘇高考數(shù)學(xué)附加題必做題的第一題，考查排列與組合、離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望，需要縝密的分類、正確的運(yùn)算求解，耗時(shí)也不少.對(duì)于絕大多數(shù)理科考生，做完前三題，剩余時(shí)間不多.對(duì)于第四題蘇題，求函數(shù)列{fn（x）}的通項(xiàng)運(yùn)算繁復(fù)，比如算函數(shù)列的第四項(xiàng)，需要算導(dǎo)數(shù)8次，合并同類項(xiàng)三次，能力極強(qiáng)的考生用此方法也難以在考試時(shí)限內(nèi)完全解答出第二小題.

1.3考生缺少探尋函數(shù)列的遞推關(guān)系的意識(shí)和能力

高考對(duì)于數(shù)列的考查，通常是考查求通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和、最大（小）項(xiàng)，證明數(shù)列的性質(zhì)如單調(diào)性、等差、等比等.如果涉及遞推數(shù)列，通常會(huì)給出遞推關(guān)系.而解答蘇題的最有效方法是通過(guò)尋求函數(shù)列{fn（x）}的遞推關(guān)系來(lái)解決.求數(shù)列的遞推關(guān)系，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是異常困難的.筆者曾經(jīng)讓學(xué)生解答“對(duì)于給定的大于2的正整數(shù)n，由1，2，3，…，n排成的數(shù)列滿足：任意一項(xiàng)要么都大于它之前的所有項(xiàng)，要么都小于它之前的所有項(xiàng)，這樣的數(shù)列有多少個(gè)？”，學(xué)生們找到遞推關(guān)系用了很長(zhǎng)時(shí)間.況且，對(duì)于遞推數(shù)列的教學(xué)要求，2002年的《普通高中教學(xué)大綱》曾明確規(guī)定，“了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)”，而新的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》則對(duì)遞推數(shù)列沒(méi)有提出明確的教學(xué)要求.從這種角度講，考生缺少探尋數(shù)列的遞推關(guān)系的意識(shí)和能力，是正常的.

1.4該題探尋函數(shù)列的遞推關(guān)系最為技巧、有效的解法是命題組所給出的參考方法：由已知，得xf0（x）=sinx，等式兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，得f0（x）+xf′0（x）=cosx，即f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（x+π2），2f1（x）+xf2（x）=-sinx=sin（x+π），3f2（x）+xf3（x）=-cosx=sin（x+3π2），4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π）.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式nfn-1（x）+xfn（x）=sin（x+nπ2），對(duì)所有的n∈N*都成立（下略）.由“f0（x）=sinxx（x>0）”，到“xf0（x）=sinx”，再到“對(duì)等式xf0（x）=sinx的兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)”，不斷地對(duì)新得到的等式分別對(duì)x求導(dǎo)，概括出函數(shù)列{fn（x）}的遞推關(guān)系，確實(shí)是神來(lái)之筆.然而此法太偏，除極個(gè)別考生外根本不可能想到.蘇教版普通高中數(shù)學(xué)教材中的閱讀材料“算兩次”，有從等式出發(fā)，等式兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)的例子；2008年江蘇高考數(shù)學(xué)附加題，所用的解法也是對(duì)含變量的等式兩邊分別求導(dǎo)，然后再賦值證明組合恒等式，但這兩題都有所鋪墊，都是直接的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，部分學(xué)生還是可為之的.《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》對(duì)于導(dǎo)數(shù)教學(xué)的要求是理解導(dǎo)數(shù)概念，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵，直接運(yùn)用初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值、極值，求函數(shù)圖象的切線，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題的最值，證明簡(jiǎn)單的不等式等.這就是說(shuō)，要求學(xué)生在導(dǎo)數(shù)方面僅是操作性理解、關(guān)系性理解，而將“f0（x）=sinxx（x>0）”變形成“xf0（x）=sinx”，通過(guò)積的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，巧妙地導(dǎo)出f0（x）與f1（x）的遞推關(guān)系，這是對(duì)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的靈活應(yīng)用，這便是遷移性理解了，考生是難以達(dá)到這樣的水平的.

2命題改進(jìn)的三點(diǎn)建議

由于高考事關(guān)社會(huì)穩(wěn)定，事關(guān)考生前途，事關(guān)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)可持續(xù)發(fā)展，事關(guān)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，所以高考數(shù)學(xué)命題應(yīng)該以考綱為依據(jù)，從中學(xué)生的學(xué)情出發(fā)，通過(guò)考題準(zhǔn)確詮釋高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，確保考查全面、區(qū)分度良好、穩(wěn)妥漸進(jìn)，絕不可輕易的拿考題作“試驗(yàn)田”.我們有如下三點(diǎn)建議：

2.1第一，不刻意設(shè)計(jì)中學(xué)從沒(méi)有用過(guò)的方法.高考命題組設(shè)計(jì)出其解法是中學(xué)從沒(méi)有用過(guò)的題目，或許目的是為了考查考生的應(yīng)變能力、創(chuàng)新能力.但這樣的愿望往往很難實(shí)現(xiàn).因?yàn)榭荚囅薅丝荚嚂r(shí)間，所用的解決問(wèn)題的知識(shí)必須是中學(xué)所學(xué)的，所用的解決問(wèn)題的方法也必須是中學(xué)生能夠理解的，這和創(chuàng)新的本質(zhì)要求之一——用什么知識(shí)、用什么方法來(lái)解決問(wèn)題是無(wú)法預(yù)判的，有著顯著區(qū)別.一般地，考試只能考查出和創(chuàng)新能力密切相關(guān)的遷移能力、綜合應(yīng)用知識(shí)能力、突破思維定勢(shì)的品質(zhì).如果高考命題一味地想設(shè)計(jì)出其解法是中學(xué)沒(méi)有用過(guò)的試題，很容易劍走偏鋒，命制出偏題、怪題來(lái)，使得題目越來(lái)越難.再者，考中學(xué)很少用過(guò)的方法，這樣的方法必是“冷僻”的方法，而絕大多數(shù)非常優(yōu)秀的考生也會(huì)和數(shù)學(xué)比較差的考生一樣，在考試時(shí)想不到，這就會(huì)造成絕大多數(shù)數(shù)學(xué)優(yōu)秀的考生的資質(zhì)、投入與考試成績(jī)非正相關(guān)，考試信度差，影響高考數(shù)學(xué)的公平公正.長(zhǎng)此以往，給人感覺(jué)“難題反正做不出來(lái)，再努力也是白搭功夫，還不如集中精力做基礎(chǔ)題、中檔題”.現(xiàn)在許多老師確實(shí)受此影響，不是去想方設(shè)法促進(jìn)學(xué)生跳一跳摘桃子，而是去反反復(fù)復(fù)訓(xùn)練基本題、中檔題，不斷地給學(xué)生灌輸，在高考時(shí)看都不要看××題，對(duì)××大題只做第一小題，罔顧學(xué)生思維水平的發(fā)展、提高了.而且，考查考生的創(chuàng)新素養(yǎng)，不只可以通過(guò)考查考生從沒(méi)有用過(guò)的方法，也可以通過(guò)其它調(diào)控手段，比如在理性思維的深廣度，信息的捕捉與篩選，新穎設(shè)問(wèn)的應(yīng)對(duì)，不同領(lǐng)域知識(shí)的有機(jī)融合等方面去挖掘，去設(shè)計(jì)出新穎考試題.

2.2考查中學(xué)從沒(méi)有用過(guò)的方法要適當(dāng)?shù)匿亯|.

如果高考考查中學(xué)生沒(méi)有用過(guò)的方法，就要增設(shè)鋪墊.對(duì)于蘇題，我們可以將第一小題的計(jì)算換成證明f0（x）+xf1（x）=sin（x+π2），其余不變.變動(dòng)后，有三點(diǎn)益處，一是第一小題變得簡(jiǎn)捷，運(yùn)算量也小了，自然也就提高了第一小題的得分率.并且，第一小題的證明方法至少有兩種難易程度差不多的方法，一種是直接對(duì)f0（x）求導(dǎo)后代入，另一種是通過(guò)將“f0（x）=sinxx（x>0）”變形成“xf0（x）=sinx”，等式的兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)；二是為第二小題的解決做出鋪墊，由于有第一問(wèn)的“腳手架”，有理由相信多數(shù)非常優(yōu)秀的考生會(huì)從第一小題的結(jié)論，頓悟出直接從f0（x）+xf1（x）=cosx出發(fā)，等式兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)；三是兩個(gè)小題，前后呼應(yīng)，更有整體性結(jié)構(gòu).當(dāng)然，也可以將已知函數(shù)f（x）=sinxx（x>0）中的sinx換成ex，并對(duì)兩個(gè)小題作相應(yīng)的改動(dòng).這樣的改動(dòng)，運(yùn)算會(huì)簡(jiǎn)單一些，歸納函數(shù)列{fn（x）}的通項(xiàng)的表達(dá)式要容易一些，且使得第2小題的證明方法會(huì)更多一些，既可以用歸納法，又可以用遞推關(guān)系法.上述的兩種變更，都沒(méi)有改變考查的主要目的，但卻提高了考試的信度、區(qū)分度.

23考題的表述應(yīng)多一些平實(shí).現(xiàn)在，高考試題中的數(shù)學(xué)文化題，數(shù)學(xué)應(yīng)用題，數(shù)學(xué)信息遷移題（新定義題）量不在少數(shù).這三種類型的試題，難免附著較大文字量，對(duì)它們的表述就需要命題者特別注意“陽(yáng)春白雪”和“下里巴人”兼顧，既保證簡(jiǎn)練、準(zhǔn)確、數(shù)學(xué)味濃，比如用符號(hào)、集合用語(yǔ)敘述，又要讓考生容易理解題目的意思.比如，信息遷移題，對(duì)考查考生繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能很適用，但是不可以用過(guò)多的符號(hào)、變?cè)⑿g(shù)語(yǔ)干擾考生的數(shù)學(xué)閱讀.我們知道，對(duì)于陌生的定義，要理解它，就要能順利地認(rèn)讀、感知、分析、理解材料中的每個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)、圖表和符號(hào)的含義，對(duì)問(wèn)題的表征“用自己的語(yǔ)言來(lái)敘述出來(lái)”，并能根據(jù)數(shù)學(xué)原理分析它們之間的邏輯關(guān)系，最后達(dá)到對(duì)材料的本真理解，形成對(duì)問(wèn)題的整體領(lǐng)會(huì).倘若用過(guò)多的符號(hào)、變?cè)⑿g(shù)語(yǔ)去包裝題目，考生很難有時(shí)間去看懂它，領(lǐng)會(huì)它.所以，規(guī)范的、平實(shí)易懂的表述試題是必須的.另外，對(duì)于數(shù)學(xué)文化題，數(shù)學(xué)應(yīng)用題，數(shù)學(xué)信息遷移題是以小題面目出現(xiàn)，還是以大題面目出現(xiàn)，對(duì)試題的表述的要求不盡相同.如果是大題，考查的目標(biāo)就會(huì)多一些，就更應(yīng)該把試題表述得淺近一些.不然的話，想考查的便無(wú)從考查出來(lái).還有，從人文關(guān)懷角度出發(fā)，也要讓考生能看懂試題，考生連試題都看不懂，將情何以堪？