有感于《繞來繞去的向量法》

倪丹紅

最近看了張景中、彭翕成所著的《繞來繞去的向量法》.首先是這個書名吸引了我.為什么是繞來繞去的呢？看了前言才明白是怎么回事.書中主要介紹了回路法，適當選擇回路，是向量解題的基本方法.這也是本書書名的由來.

前言的主要內容是五個例題，而這幾個例題也是我們教師平時教學中比較常見的題目.每個例題都是先給出某些雜志的求解證明方法，后又給出利用回路法的簡便之法，體現(xiàn)了向量回路解題的獨特之處，會讓人有種茅塞頓開的感覺，不愧為大師之手筆.

圖1其中的例5就是人教A版教科書上的一個例題：如圖1，在平行四邊形ABCD中E和F分別為AD和CD的中點，連接BE和BF交AC于點R和T，求證：R和T分別為AC的三等分點.

書中原解：第一步，建立平面幾何與向量的關系，用向量表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉化成向量問題：設AB=a，AD=b，AR=r，AT=t，則AC=a+b.

第二步，通過向量運算，研究幾何元素之間的關系：由于AR與AC共線，所以，我們設r=n（a+b），n∈R，又因為EB=AB-AE=a-12b，ER與EB共線，所以我們設ER=mEB=m（a-12b）.因為AR=AE+ER，所以r=12b+m（a-12b）.因此n（a+b）=12b+m（a-12b），即（n-m）a+（n+m-12）b=0.

由于向量a和b不共線，要使得上式為0，必須n-m=0，

n+m-12=0，解得n=m=13.所以AR=13AC，AT=23AC.

第三步，把運算結果“翻譯”成幾何關系：AR=RT=TC.

其實這是一個初中生很容易解答的題目（易證△ATB∽△CTF，從而ATCT=ABCF=2），到了高中反而越來越復雜了.相比較而言，向量法則顯得繁瑣了很多.這樣的證明給我們不少老師帶來了疑惑，在教學中不知道如何很好地向學生解釋課標中所謂的“向量法的先進性”.而利用本書中提到的回路法則非常簡單，可證如下：

AT+TB=AB=DC=2FC=2FT+2TC.根據(jù)平面向量基本定理得AT=2TC，故點T為AC的三等分點.同理點R為AC的三等分點.

從這可看出，不是向量法本身有問題，而是沒有正確使用向量法來解題.向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，這也是將向量引入中學教材的一個重要原因.

下面和大家一起來分享書中的幾個簡單例題，是關于我們平時教學中碰到的一類問題：根據(jù)題中已知條件，求參數(shù)值.

（書中P41例319）△ABC外接圓圓心為O，兩條高交于H，OH=m（OA+OB+OC），求m.（2005年全國高考試題）

原解如圖2，設D是BC中點，則OH=m（OA+OB+OC）=mOA+2mOD，所以OA+AH=mOA+2mOD，AH=（m-1）OA+2mOD；而AH·BC=（m-1）OA·BC+2mOD·BC=0，即0=（m-1）OA·BC+0，所以m=1.

這種解法沒有錯，但卻走了彎路，當?shù)玫絆A+AH=mOA+2mOD后，應該由平面向量基本定理立刻得出m=1.

解法三圖6如圖6，分別過點O作AC與AB的平行線交AB、AC的延長線于點F、E，則AFOE為平行四邊形，取AC的中點D，由BC=27及正弦定理得到外接圓的半徑AO=2321，則DO=533.在△DOE中，∠DEO=60°，則EO=103，DE=53，進而EOAB=56，得到EO=56AB，同理AE=43AC，所以AO=AE+EO=56AB+43AC，得到λ1=56，λ2=43，則λ1+λ2=136.

在此，相比較而言幾何法比坐標法要方便.