構(gòu)造性思想與方法摭探

史詠梅

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種創(chuàng)造性思維活動，《 普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)》加強(qiáng)了重要數(shù)學(xué)思想方法的滲透與概括，對學(xué)生的創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力提出了更高的要求.構(gòu)造性思想與方法是解決那些見解獨(dú)到、立意新穎的問題的重要方法之一.常見的構(gòu)造方法有構(gòu)造圖形，構(gòu)造模型，構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造算法，構(gòu)造反例，構(gòu)造多項式，構(gòu)造數(shù)列等等，它常成為解題中實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵步驟.從解題實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)中，我們體會到：構(gòu)造性思維一要目的明確，即為什么目的而構(gòu)造;二要清楚題設(shè)條件的特點(diǎn)，以便依據(jù)特點(diǎn)，確定方案實(shí)現(xiàn)這一構(gòu)造.本文例舉的五種構(gòu)造方法是用構(gòu)造法解題中常見的五種類型，構(gòu)造性思想與方法的各種類型，在解題中往往要綜合運(yùn)用.學(xué)習(xí)掌握好構(gòu)造性思想與方法，不但有助于初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，而且也為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的思想方法打下了一定的基礎(chǔ).

方法一 構(gòu)造圖形

如果問題條件中的數(shù)量關(guān)系有明顯的幾何意義或以某種方式可與幾何圖形建立聯(lián)系，則可通過幾何作圖構(gòu)造圖形，將題設(shè)條件及其數(shù)量關(guān)系直接在圖形中得到實(shí)現(xiàn)，然后在構(gòu)造的圖形中尋求所要的結(jié)論.

例1 已知a，b，c，d都是正數(shù).證明：存在這樣的三角形，它的三邊等于b2+c2、a2+c2+d2+2cd、a2+b2+d2+2ab.并計算這個三角形的面積.

分析 只要注意到b2+c2、a2+c2+d2+2cd、a2+b2+d2+2ab的特點(diǎn)，就會點(diǎn)燃思維的火花，考慮利用勾股定理把這三條線段作出來.

證明 如圖1，以a+b，c+d為邊畫一個矩形ABCD，斜邊所示的三角形CEF的三邊：EF=

b2+c2，CE=a2+（c+d）2， CF=d2+（a+b）2，滿足題設(shè)條件的三角

形作出來了，它的存在性也就自明了.

設(shè)△CEF的面積為S，顯然S=（a+b）（c+d）-

12bc-12d（a+b）-12a（c+d）=12（ac+bc+bd）.

從以上例題可以看出，只要圖形構(gòu)造的合理，所要求證的關(guān)系就會在所構(gòu)造的圖形中得到直接或間接的顯示.常用的構(gòu)圖方法有：正數(shù)a，b可以用兩條線段表示;a+b，a-b可以用兩條線段的和與差表示;2a，a2+b2可以用直角三角形的斜邊表示;a2+b2+c2可以用長方體的對角線表示;a2，ab可以用正方形、矩形的面積表示.

方法二 構(gòu)造算法

構(gòu)造算法是指我們能夠直接設(shè)計、構(gòu)造出一種可行的計算程序，在有限次內(nèi)能夠?qū)崿F(xiàn)所構(gòu)造的對象，這樣，通過所構(gòu)造的計算程序和方法，來證明對象的存在性.我們設(shè)計輾轉(zhuǎn)相除法來求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)，就是構(gòu)造算法的一個例子.

例2 已知十個不同的正數(shù)a1，a2，a3，…，a10.證明：至少存在55個彼此不等的形如n1a1+n2a2+n3a3+…+n10a10的正數(shù)，其中ni取1或0.

分析 a1，a2，a3，…，a10顯然是符合要求的十個不同的正數(shù)（如n1=0，n2=n3=…=n10=0，則取a1，以下依此類推）.其余45個彼此不同的數(shù)都要由這十個數(shù)設(shè)法構(gòu)造出來，但又要彼此不等，要保證這一點(diǎn)，不妨按嚴(yán)格遞增的次序構(gòu)造.

證明 第一組共十個不同的正數(shù)a1，a2，a3，…，a10.設(shè)a1

a10+a9+a8+a1

有且只有9個取1其余取0的不同的和數(shù)1個：a10+a9+a8+…+a3+a2+a1.

總計十組，共10+9+8+7+…+3+2+1=55個彼此不等的形如n1a1+n2a2+n3a3+…+n10a10的正數(shù)，其中ni取1或0.

本題可推廣到“已知m個不同的正數(shù)a1，a2，a3，…，am.證明：至少存在m（m+1）2個彼此不等的形如n1a1+n2a2+n3a3+…+nmam的正數(shù)，其中ni取1或0.”可依例2的方法構(gòu)造并寫出m（m+1）2個彼此不等的形如n1a1+n2a2+n3a3+…+nmam的正數(shù)的程序和步驟進(jìn)行證明.

顯然構(gòu)造算法較構(gòu)造圖形是一種更為抽象的構(gòu)造性思維過程.

方法三 構(gòu)造函數(shù)

由題設(shè)條件及所給的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)想、組合成一種新的函數(shù)、方程、多項式等具體關(guān)系，使問題在新的關(guān)系下實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化從而獲得解決.

例3 解方程組x1+x2+…+xn=n，

x21+x22+…+x2n=n，

…

xn1+xn2+…+xnn=n.

分析 該方程組是n元方程組，形式很對稱，可構(gòu)造函數(shù)解決.

解 構(gòu)造函數(shù)f（t）=（t-x1）（t-x2）（t-x3）…（t-xn）=a0+a1t+a2t2+…+antn，則f（1）=a0+a1+a2+…+an，

f（x1）=a0+a1x1+a2x21+…+an，

f（x2）=a0+a1x2+a2x22+…+anxn2，

…，f（xn）=a0+a1xn+a2x2n+…+anxnn.又∵f（x1）=f（x2）=…=f（xn）=0，∴f（x1）+f（x2）+…+f（xn）=na0+a1（x1+x2+…+xn）+a2（x21+x22+…+x2n）+…+an（xn1+xn2+…+xnn）=na0+na1+na2+…+nan=n（a1+a2+…+an）=nf（1）=0.

∴f（1）=0.

這表明x1，x2，…，xn中有一個為1，根據(jù)方程的對稱性可知，x1=x2=…=xn=1.

構(gòu)造函數(shù)是更加抽象的構(gòu)造性思維，除對問題條件特點(diǎn)分析之外，還要求對典型的函數(shù)及其特性要非常熟悉.

以上所例舉的構(gòu)造方法是用構(gòu)造法解題中常見類型，但遠(yuǎn)非構(gòu)造性思想與方法的全部.學(xué)習(xí)掌握好構(gòu)造性思想與方法，不但有助于初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，而且也為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的思想方法打下一定的基礎(chǔ).