從兩種不同解法談發(fā)展學(xué)生的思維

張劉坤+安國(guó)釵

郅庭瑾先生指出：“無(wú)論使學(xué)生‘學(xué)會(huì)生存也好，‘學(xué)會(huì)關(guān)心‘學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)也好，只有學(xué)會(huì)思維，學(xué)會(huì)創(chuàng)造性地思維才是最核心和最首要的.”美國(guó)教育大師杜威先生也指出：“學(xué)習(xí)就是要學(xué)會(huì)思維”，“教育在理智方面的任務(wù)是形成清醒的，細(xì)心的，透徹的思維習(xí)慣.”大師們?yōu)榻逃虒W(xué)指明了目標(biāo)與方向. 數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，學(xué)數(shù)學(xué)離不開(kāi)訓(xùn)練，離不開(kāi)解題. 但訓(xùn)練的目的和側(cè)重點(diǎn)是解題的技能技巧還是解決問(wèn)題的思維方法卻是一個(gè)重大的原則性問(wèn)題.重在訓(xùn)練技能技巧可能會(huì)禁錮學(xué)生的思維，而重在訓(xùn)練思維卻會(huì)促進(jìn)思維更好的發(fā)展. 本文就一個(gè)例題的兩種不同解法與各位同行交流對(duì)發(fā)展學(xué)生思維的若干思考.

一、題目呈現(xiàn)

如圖1，拋物線(xiàn)y=x2-2x-3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于A，C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線(xiàn)AC的函數(shù)表達(dá)式;（2）P是線(xiàn)段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作y軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于E點(diǎn)，求線(xiàn)段PE長(zhǎng)度的最大值;（3）點(diǎn)G是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使以A，C，F(xiàn)，G這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿(mǎn)足條件的F點(diǎn)坐標(biāo);如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

二、題目簡(jiǎn)析

本題是一個(gè)以?huà)佄锞€(xiàn)為背景的綜合題，第（1）問(wèn)較簡(jiǎn)單，第（2）問(wèn)由點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致點(diǎn)E位置及線(xiàn)段PE長(zhǎng)度的變化，可建立一個(gè)新的二次函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最大值.第（3）問(wèn)是一個(gè)動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，不但豐富了（1）（2）問(wèn)中的數(shù)形結(jié)合思想，而且增加了分類(lèi)討論思想.要使以A，C，F(xiàn)，G四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，由于未說(shuō)明頂點(diǎn)字母順序，因此需按頂點(diǎn)字母順序進(jìn)行分類(lèi)討論，F(xiàn)，G是動(dòng)點(diǎn)，故應(yīng)抓住定點(diǎn)A，C進(jìn)行分類(lèi)，A，C兩點(diǎn)是相鄰點(diǎn)（即AC為邊）或A，C兩點(diǎn)是相對(duì)點(diǎn)（即AC為對(duì)角線(xiàn)）進(jìn)行討論.

三、兩種解法展示

解法1：①當(dāng)AC為邊時(shí)，F(xiàn)G平行且等于AC，F(xiàn)，G有三種不同的位置關(guān)系.第一種（如圖2），F(xiàn)1G1平行且等于AC，過(guò)G1，C分別作x軸的垂線(xiàn)，垂足分別為M，N，易證△F1G1M≌△ACN，故G1M=CN=3，G1縱坐標(biāo)為3，把y=3代入拋物線(xiàn)解析式中，x2-2x-3=3，解得x1=1-■，x2=1+■，即可得出點(diǎn)G1的橫坐標(biāo)為1-■（第二種G2的橫坐標(biāo)為1+■，如圖3），由F1M=NA=3可知F1（4-■，0）（第二種F2（4+■，0））;第三種（如圖4），CG3平行且等于AF3得G3（0，-3），F(xiàn)3（-3，0）. ② 當(dāng)AC為對(duì)角線(xiàn)時(shí)（如圖5），CG4平行且等于AF4，得F4（1，0）. 綜上所述，滿(mǎn)足條件的F點(diǎn)有四個(gè)，它們的坐標(biāo)分別是F1（4-■，0），F(xiàn)2（4+■，0），F(xiàn)3（-3，0），F(xiàn)4（1，0）.

解法2：因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線(xiàn)互相平分，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，設(shè)F（m，0），G（x，x2-2x-3），分以下三種情況：

①當(dāng)A，F(xiàn)是相對(duì)點(diǎn)時(shí)，■=■，■=■，解得x1=1+■，m1=4+■或x2=1-■，m2=4-■.

②當(dāng)A，G是相對(duì)點(diǎn)時(shí)■=■，■=■，解得x=0（x=2時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，舍去），m=-3.

③當(dāng)A，C是相對(duì)點(diǎn)時(shí)■=■，■=■，解得x=0（x=2時(shí)，舍去），m=1.

綜上所述，滿(mǎn)足條件的F點(diǎn)的坐標(biāo)為（4+■，0），（4-■，0），（-3，0），（1，0）.

四、分析與討論

對(duì)于解法1，關(guān)鍵是先引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出滿(mǎn)足條件的圖形. 當(dāng)AC為邊時(shí)，向上平移AC，使點(diǎn)A不離拋物線(xiàn). 當(dāng)點(diǎn)C平移到x軸上點(diǎn)F1時(shí)，點(diǎn)A平移到點(diǎn)G1位置，再可以把G1F1沿x軸向右平移. 當(dāng)點(diǎn)G1落在拋物線(xiàn)上點(diǎn)G2位置時(shí)，點(diǎn)F1平移到x軸上點(diǎn)F2，然后沿x軸向左平移AC. 當(dāng)點(diǎn)C平移到拋物線(xiàn)與 y軸交點(diǎn)G3（0，-3）時(shí)，點(diǎn)A平移到x軸上的點(diǎn)F3. 畫(huà)出圖形后，學(xué)生不難求出F3的坐標(biāo)，而對(duì)于F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)，可抓住GF平行且等于AC，求點(diǎn)的坐標(biāo)可轉(zhuǎn)化為求線(xiàn)段長(zhǎng)度. 因此過(guò)點(diǎn)G，C分別作x軸的垂線(xiàn)構(gòu)造全等三角形先求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后進(jìn)一步求出點(diǎn)F的坐標(biāo). 當(dāng)AC為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線(xiàn)互相平分，則GF必經(jīng)過(guò)AC中點(diǎn)，由AF平行且等于CG，就可確定G與（0，-3）重合，再由AF=CG可得F4的坐標(biāo)為（1，0）.該解法在數(shù)形結(jié)合思想的指引下，用變化的眼光去觀察和研究圖形. 在平移AC的過(guò)程中，以靜制動(dòng)，最終捕捉、定格出符合條件的圖形，再結(jié)合圖形探求解題思路.中間用到了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，而后通過(guò)列方程求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，再進(jìn)一步求出點(diǎn)F的坐標(biāo). 這種解法的側(cè)重點(diǎn)是在解決問(wèn)題的思維方法，讓學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題逐步轉(zhuǎn)化，獲得解決思路的過(guò)程.

有的教師說(shuō)，我是選擇解法2進(jìn)行分析，因?yàn)榘凑战夥?很多學(xué)生圖形都畫(huà)不出，下面構(gòu)造全等三角形就更加不會(huì). 而解法2不用畫(huà)圖，只要分成三種情況，機(jī)械套用中點(diǎn)坐標(biāo)公式（列方程時(shí)甚至可以把分母2直接去掉），答案馬上出來(lái)了，方法快捷而實(shí)惠，何樂(lè)不為呢？答案是出來(lái)了，但是否少了什么？

確實(shí)，解法2是一種方法，學(xué)生掌握是件好事.但如果僅僅是為了求得問(wèn)題結(jié)果而放棄解法1，那中間就缺失了太多的數(shù)學(xué)思維，而“培養(yǎng)思維能力、發(fā)展理性精神”是數(shù)學(xué)的育人本分.解題教學(xué)的目標(biāo)不僅僅是求得問(wèn)題的結(jié)果，真正的目標(biāo)是提高學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神. 這個(gè)目標(biāo)的達(dá)成，必須以學(xué)生親歷解題結(jié)果的探索過(guò)程，親歷對(duì)解題的主要思路，關(guān)鍵因素和解題方法的挖掘和概括過(guò)程為基礎(chǔ).解法1對(duì)學(xué)生盡管不能立竿見(jiàn)影，但思想方法非常深刻，不僅需要掌握坐標(biāo)與圖形相互轉(zhuǎn)換的知識(shí)和相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，還需要對(duì)其轉(zhuǎn)換具有深刻的理解和很強(qiáng)的應(yīng)用知識(shí).解題過(guò)程中滲透的數(shù)形結(jié)合思想具有普遍意義，遷移能力強(qiáng)，是有思想的教學(xué)，是發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力的教學(xué). 而解法2最后簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單的方法傳授，學(xué)生只會(huì)依葫蘆畫(huà)瓢，缺乏創(chuàng)新能力，結(jié)果在稍有變化的情境中，方法失靈，而出現(xiàn)“講過(guò)的不一定會(huì)，沒(méi)講過(guò)的一定不會(huì)”的情況.如下題（圖6），在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOB≌Rt△CDA，且A（-1，0），B（0，2），拋物線(xiàn)y=ax2+ax-2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.（1）求拋物線(xiàn)的解析式;（2）在拋物線(xiàn)（對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)）上是否存在兩點(diǎn)P，Q，使四邊形ABPQ是正方形？若存在，求點(diǎn)P，Q的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.此題第（2）小題由原例題的平行四邊形變成了正方形，如果學(xué)生沒(méi)有從例題的解法1中獲取應(yīng)有的思維能力，而只“記住”了套用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，那么根本應(yīng)付不了這變化了的問(wèn)題，求不出結(jié)果也在所難免了.endprint

五、幾點(diǎn)思考

1.親歷問(wèn)題解決 ? 暴露思維過(guò)程

數(shù)學(xué)活動(dòng)歸根結(jié)底是思維活動(dòng)，學(xué)生的思維能力只有在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過(guò)程中，才能得以發(fā)展.因此，在解決問(wèn)題的探索過(guò)程中，教師要設(shè)置具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生積極參與分析題意，啟發(fā)學(xué)生尋求解題思路. 讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言把問(wèn)題表達(dá)出來(lái)，盡量讓他們暴露分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的思維過(guò)程，以便于總結(jié)分析問(wèn)題的方法，提高解決問(wèn)題的能力.如上述例題的解答過(guò)程中，先給學(xué)生機(jī)會(huì)嘗試畫(huà)出符合條件的平行四邊形. 學(xué)生往往會(huì)漏解，老師應(yīng)抓住契機(jī)及時(shí)讓學(xué)生總結(jié). 遇見(jiàn)哪些情形需要分類(lèi)討論，分別怎樣確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn). 畫(huà)出平行四邊形求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，教師不要急于給出輔助線(xiàn)的作法，而是先讓學(xué)生思考怎樣作輔助線(xiàn)，為什么要這樣作. 不斷激發(fā)學(xué)生思維的積極性，發(fā)展學(xué)生思維.在教學(xué)過(guò)程中，如果只重結(jié)果輕過(guò)程，那就會(huì)損害數(shù)學(xué)思維過(guò)程的完整性，不利于思維能力的培養(yǎng)，沒(méi)有過(guò)程的教學(xué)是把思維的體操降格為“刺激——反應(yīng)”訓(xùn)練. 是教學(xué)功利化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的集中體現(xiàn)，為使數(shù)學(xué)教學(xué)成為“有思想的教學(xué)”，成為發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力的舞臺(tái)，就必須堅(jiān)持“重結(jié)果，更重過(guò)程”的原則.

2.優(yōu)化解題教學(xué) ? 強(qiáng)化思維訓(xùn)練

解題教學(xué)是運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，原理，尋找問(wèn)題的條件，結(jié)論，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為自己熟悉的表達(dá)方式，并連接相關(guān)知識(shí)領(lǐng)域通道的過(guò)程. 在解題思路的獲得過(guò)程中，我們需要通過(guò)學(xué)生的思維和操作活動(dòng)，展現(xiàn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化的過(guò)程，理清相關(guān)知識(shí)領(lǐng)域連接的通道.數(shù)學(xué)教師應(yīng)尋找，抓住并利用好思維的關(guān)節(jié)點(diǎn)，如上述例題的教學(xué)中，為什么要分類(lèi)，怎樣分類(lèi)，如何畫(huà)出符合條件的平行四邊形？如何想到作垂線(xiàn)？怎樣求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)等都是解決該問(wèn)題的關(guān)節(jié)點(diǎn).抓住和利用好這些關(guān)節(jié)點(diǎn)，才能訓(xùn)練學(xué)生思維，促進(jìn)思維更好地發(fā)展.而如果只是玩解題的技能技巧，那么學(xué)生學(xué)習(xí)就會(huì)停留在機(jī)械模仿的水平上.正如杜威先生所指出：“純粹的模仿，采用指定的步驟，機(jī)械式的練習(xí)，均可能取得最快的效果，然后，對(duì)反省思維能力的增強(qiáng)，卻可能鑄成不可挽回的錯(cuò)誤.”

3.學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考 ? 積淀思維經(jīng)驗(yàn)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生愿意思考，會(huì)思考，思維真正參與其中是關(guān)鍵.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，善于問(wèn)為什么，善于尋根究底，善于浮想聯(lián)翩和聯(lián)系推廣，是思維真正參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的重要方面.要使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，首先從觀察入手，善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，如例題中畫(huà)出平行四邊形ACF1G1后，如果有一定的思維經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)觀察就會(huì)得到點(diǎn)G和點(diǎn)C縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等，其次學(xué)會(huì)運(yùn)用歸納和類(lèi)比進(jìn)行猜想，并在猜想基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)演繹證明，“點(diǎn)G和點(diǎn)C縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等”可以通過(guò)作垂線(xiàn)構(gòu)造全等三角形加以證明.“任何數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決都不是單一方法可以奏效的，常常是類(lèi)比，歸納，演繹與直覺(jué)一起起作用，它們之間的關(guān)系是‘剪不斷，理還亂.”因此要為學(xué)生提供對(duì)具體事例進(jìn)行觀察、比較、分析、歸納、概括的機(jī)會(huì)，使學(xué)生的思維深度參與到數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)和應(yīng)用中來(lái)，達(dá)到對(duì)知識(shí)實(shí)質(zhì)性的理解.幫助和引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，積淀思維經(jīng)驗(yàn)，不僅是為了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，更是為了學(xué)生一生的發(fā)展.日本米山國(guó)藏指出：在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，畢業(yè)后若沒(méi)什么機(jī)會(huì)去用，一兩年后，很快就忘掉了.然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和看問(wèn)題的著眼點(diǎn)等，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終生受益.endprint