學(xué)會“數(shù)學(xué)思考”的兩層次本原性問題研究

李靜　王秀蘭

摘要：“數(shù)學(xué)思考”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要目標(biāo)和手段。學(xué)會“數(shù)學(xué)思考”應(yīng)關(guān)注兩層次數(shù)學(xué)本原性問題的設(shè)置，以及在教學(xué)活動中利用兩層次數(shù)學(xué)本原性問題促動學(xué)生學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思考 本原性問題 設(shè)置

學(xué)會思考是數(shù)學(xué)新課程的課程目標(biāo)，也是達(dá)到課程目標(biāo)的重要手段。不同國家的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家都認(rèn)識到，學(xué)會數(shù)學(xué)思考對“學(xué)好數(shù)學(xué)”和“好學(xué)數(shù)學(xué)”起著重大作用。學(xué)會數(shù)學(xué)思考，是數(shù)學(xué)素質(zhì)提高、數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新意識培養(yǎng)的重要舉措。但是如何促動學(xué)生數(shù)學(xué)思考，如何學(xué)會數(shù)學(xué)思考，或者說數(shù)學(xué)思考的路徑應(yīng)是什么？常規(guī)的說法，設(shè)置思考問題。但是，設(shè)置什么樣問題？如何設(shè)置？如何引導(dǎo)學(xué)生解決這些問題？解決問題的標(biāo)準(zhǔn)是什么？所有這些應(yīng)起什么作用？其依據(jù)是什么？等等。對于這些問題的研究，可以從根本上解決一直困擾一線教師“如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會‘?dāng)?shù)學(xué)思考？”的教學(xué)難題。

世界著名數(shù)學(xué)家R.柯朗說過[1]，數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵在于結(jié)構(gòu)與關(guān)系要與“可驗證的”事實相符合。這就是說，數(shù)學(xué)研究或?qū)W習(xí)，需要基于自身經(jīng)驗對結(jié)構(gòu)和關(guān)系的一切可能想象和與“可驗證的”事實相符合的驗證或理解，即為數(shù)學(xué)思考。為此，英國著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家斯根普特別強調(diào)數(shù)學(xué)關(guān)系性理解（relational understanding）[2]，認(rèn)為關(guān)系性理解是指“不僅知道要做什么，而且知道理由”，涉及到數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的整體和局部、宏觀和微觀的理解或思考。何為整體宏觀理解？何為局部微觀理解？理解什么？思考什么？數(shù)學(xué)思考需要從宏觀哲學(xué)思考到微觀結(jié)構(gòu)思考，我們以為，其路徑應(yīng)是兩層次的數(shù)學(xué)本原性問題訓(xùn)練。以下探討“兩層次本原性問題”的內(nèi)涵、設(shè)置和實施。

一、兩層次數(shù)學(xué)本原性問題

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》課程目標(biāo)關(guān)于“數(shù)學(xué)思考”有以下闡述[3]：

·建立數(shù)感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力，發(fā)展形象思維與抽象思維。

·體會統(tǒng)計方法的意義，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，感受隨機現(xiàn)象。

·在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學(xué)活動中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法。

·學(xué)會獨立思考，體會數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式。

由此可以看出，“數(shù)學(xué)思考”主要是關(guān)于數(shù)與代數(shù)概念間運算關(guān)系及模式、圖形與幾何位置關(guān)系及結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)統(tǒng)計及關(guān)系推斷等的認(rèn)識和信念，甚至一些基本的原始樸素的觀點和看法，是科學(xué)研究的入口，學(xué)習(xí)的動力源泉?！皵?shù)學(xué)思考”旨在圍繞數(shù)學(xué)觀或數(shù)學(xué)思維方式，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)識能力、合情推理能力、演繹推理能力等。這既涉及到數(shù)學(xué)內(nèi)容的宏觀或整體價值認(rèn)識，又涉及到數(shù)學(xué)內(nèi)容的微觀或關(guān)系直覺推理，因而可追溯為一種數(shù)學(xué)本真或本原的思考。

“本原”是哲學(xué)本體論中的一個術(shù)語，指事物的原始根源或構(gòu)成世界的最根本實體。哲學(xué)上對“本原”的思考凸顯為一種刨根問底的探尋精神，始終把理解世界的“始基”或“構(gòu)成要素”作為第一問題。這里并非從哲學(xué)角度來探討，而是借用哲學(xué)中對“本原”的思考和理解方式，從數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)論角度來探討促進(jìn)學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)內(nèi)容及其本質(zhì)的“數(shù)學(xué)本原性問題”，即考慮對師生尤其是對學(xué)生而言，哪些問題反映了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主題中最為樸素、原始、本質(zhì)的思想、方法和觀念。因為“本原問題”是人類天然好奇心的表現(xiàn)，也是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的原動力[4]。

數(shù)學(xué)知識體系是建立在概念定義、命題定理、證明推導(dǎo)之上的演繹體系，客觀上給學(xué)生的理解造成了困難。其學(xué)習(xí)時不但需要關(guān)于一些常規(guī)性知識問題來驅(qū)動學(xué)生對數(shù)學(xué)探究，而且更需要從數(shù)學(xué)整體結(jié)構(gòu)乃至本原，抑或數(shù)學(xué)哲學(xué)層面把握數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展過程。這需要設(shè)置本原性宏觀問題和微觀問題，促動學(xué)生主動學(xué)習(xí)與探究，加深數(shù)學(xué)內(nèi)容知識的理解。

二、兩層次數(shù)學(xué)本原性問題的設(shè)置

“宏觀問題”整體上單刀直面指向材料，“微觀問題”微觀上提綱挈領(lǐng)回味真諦?！昂暧^問題”只是幫助學(xué)生的數(shù)學(xué)哲學(xué)思考，“微觀問題”只是幫助學(xué)生的數(shù)學(xué)研究思考。這些問題沒有也不要求具體準(zhǔn)確答案，只是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考，為教師教授打好鋪墊，提高師生互動質(zhì)量。

這類問題，不是單純的“是什么”，也不是單純的“為什么”？而是知識產(chǎn)生的緣由、意義或方法，以及知識發(fā)展的各種選擇的緣由，甚至是解決問題的信念或經(jīng)驗，是一種哲學(xué)思考，更多的是一種數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)研究或數(shù)學(xué)認(rèn)知學(xué)習(xí)的緘默知識，是學(xué)好數(shù)學(xué)必備的一種知識，久而久之，發(fā)展成一種數(shù)學(xué)思考能力。我們應(yīng)從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)的角度看數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的這兩類本原性問題的設(shè)置。

比如當(dāng)你第一次上你岳母家或婆家，會涉及一個起始問題和一個結(jié)論問題。

起始問題（或宏觀問題）：基于你對象的描述以及一些電話聲音、相片等資料，以及他（她）父母從事的職業(yè)養(yǎng)成的共性特征，你在走進(jìn)門之前，會猜想或想象——他（她）父母可能是比較開明的人吧？喜歡談?wù)摫容^有層次話題？可能對我比較友好？對我友好的緣由可能是我有才華？或者其他？——或者相反的想象及緣由。

結(jié)論問題（或微觀問題）：通過與你對象家人的談話、交流，甚至他們的眼神，口氣，以及其他成員的流露，吃飯等活動后，你走出去以后，會回憶或思考——他（她）父母是這樣的人嗎？母親說了算嗎？家人關(guān)系真的那么不好？是否真喜歡談?wù)搰掖笫?？真喜歡我和我的職業(yè)嗎？我以后應(yīng)該怎么做呢？這些現(xiàn)象的真實緣由是由于我經(jīng)濟條件好？還是其他？——或者相反的結(jié)論及緣由。

這些問題及思考自然而然地成為你進(jìn)一步了解有關(guān)人和事真面目、真緣由的動力和路徑。

類似地，對數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解，也應(yīng)在“起始問題（或宏觀問題）”和“結(jié)論問題（或微觀問題）”上有所思考?！昂暧^問題”幫助學(xué)生比較粗放地了解或認(rèn)識“材料內(nèi)容”，做到以舊帶新，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；“微觀問題”幫助學(xué)生微觀地探究或研究“材料內(nèi)容”，驅(qū)動學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)。這些問題可以幫助學(xué)生“認(rèn)識——探究”，會給學(xué)生指明高效學(xué)習(xí)與能力提高的路徑。

設(shè)置的問題不易太多，要概括和精煉，以“導(dǎo)學(xué)思考”的形式呈現(xiàn)出來?？梢源賱訉W(xué)生課前思考、課上聚焦實質(zhì)、課后總結(jié)反思。

例如：初中數(shù)學(xué)《變量與函數(shù)》一節(jié)

導(dǎo)學(xué)思考：

（1）現(xiàn)實生活中有變量和常量，變量為什么“變”呢？請給這種“變”的關(guān)系起個名字。（評：以舊帶新，宏觀掃描，本原思考——常識性思考）

（2）表示函數(shù)關(guān)系的方式為什么有三種？解析法、列表法和圖象法的區(qū)別和聯(lián)系是什么？（評：直達(dá)本質(zhì)，微觀聯(lián)系，促動探究——學(xué)術(shù)性思考）

導(dǎo)學(xué)思考在于激發(fā)學(xué)生積極思考，它是數(shù)學(xué)家研究思考的問題和數(shù)學(xué)認(rèn)知家考察的問題，這是數(shù)學(xué)元認(rèn)知精華。通過這些本原性問題驅(qū)動，引誘學(xué)生進(jìn)入知識圈后，也能看到走出知識迷宮的線路或路徑。

例如：初中數(shù)學(xué)《圓周角》一節(jié)

導(dǎo)學(xué)思考：

（1）將圓心角的頂點移到圓周上，而圓心角與圓兩交點不動，其角度如何變換？與圓心角度數(shù)有關(guān)系嗎？（評：針對背景→理解，以舊帶新的高位反問——入口）

（2）圓周角與圓心相對位置關(guān)系有幾種？每一種位置為什么都滿足圓周角定理？（評：針對理解→鞏固，內(nèi)部聯(lián)絡(luò)的低位思考——出口）

基于這些問題，聯(lián)系以往知識，激發(fā)學(xué)生對新知識“研究”或者“好奇”，使學(xué)習(xí)遵循著“先由外到內(nèi)，后由內(nèi)到外”，即華羅庚先生所說：“由薄到厚，由厚到薄”，這是一種元認(rèn)知的設(shè)計，還不全是認(rèn)知的問題。

三、兩層次數(shù)學(xué)本原性問題促動學(xué)生學(xué)習(xí)的實施

1.教師研究教學(xué)內(nèi)容

首先，教師在設(shè)置一節(jié)課的兩層次本原性問題時，多涉獵各種版本教材或其他相關(guān)數(shù)學(xué)哲學(xué)材料或初等數(shù)學(xué)研究等，以現(xiàn)有教材為改造范本，形成自己的教材體系，尋找知識本質(zhì)的學(xué)習(xí)和探究路徑。

然后，教師針對具體教學(xué)內(nèi)容，基于學(xué)生目前所掌握的知識以及思維水平，思考這些內(nèi)容是怎樣因時因地因生研究出來的呢？是實際問題需要？還是數(shù)學(xué)美追求？按照什么規(guī)則得到的呢？類比推理、歸納推理、還是演繹推理？類似于數(shù)學(xué)家研究或發(fā)現(xiàn)這些知識，進(jìn)行路徑的設(shè)計。這是一種宏觀本原性問題的思考。

接著，教師聚焦于具體的知識內(nèi)容本質(zhì)以及前后內(nèi)在之間的聯(lián)系?？疾旄拍畹谋举|(zhì)，命題推證的依據(jù)，公式應(yīng)用條件的緣由，知識內(nèi)容應(yīng)用范圍的分析，等等?；趶V義知識分類，搞清楚陳述性、程序性和策略性等知識的產(chǎn)生緣由，使得學(xué)生由表及里地形成知識產(chǎn)生過程中的信念和緣由，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)探究的熱情，形成比較靈活的良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)。這些過程性的探究，可以轉(zhuǎn)化為微觀本原性問題。

2.課前呈現(xiàn)導(dǎo)學(xué)思考

教師悟道出本節(jié)課內(nèi)容的兩類本原性問題，以“導(dǎo)學(xué)思考”的形式在課前呈現(xiàn)在學(xué)生面前，讓學(xué)生帶著這些問題進(jìn)行預(yù)習(xí)。當(dāng)然，也可以提前一天布置下去“導(dǎo)學(xué)思考”問題。

學(xué)生預(yù)習(xí)后，教師針對問題，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行回答討論，回答可以正確，也可以錯誤，只要有所思考，就是一種收獲，它都有利于知識的深入學(xué)習(xí)。問題旨在促進(jìn)思考，不在乎回答正確與否。再說這種本原性問題本身就沒有一個確切的答案，它是一個由模糊到清晰，無序到有序的路徑或一個引子。這種原始本能的探究或好奇是人類科學(xué)發(fā)展的動力，一旦開發(fā)出來，將爆發(fā)出巨大的學(xué)習(xí)能量。這樣，學(xué)生也不會因為自己的思考不符合答案標(biāo)準(zhǔn)而膽怯，它只會因此營造一種相互討論交流，思維火花碰撞的氛圍。既體現(xiàn)了新課程探究合作理念，又符合了新課程“人人獲得成功”和“以人為本”的育人發(fā)展評價理念。由此為進(jìn)一步探究打好了鋪墊，也為本節(jié)課指明了方向。

3.問題導(dǎo)向教學(xué)活動

學(xué)生討論回答完“導(dǎo)學(xué)思考”本原性問題后，學(xué)生的頭腦中也就形成了該節(jié)課的大致輪廓，對接了認(rèn)知根源，勾畫了認(rèn)知地圖。教師因勢利導(dǎo)地進(jìn)行師生活動，以“宏觀問題”作為研究方向，撥開知識的外殼，暴露出知識的狀態(tài)；以“微觀問題”作為探究目標(biāo)，賦予知識新的自我意義，凝聚成自我的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

4.活動小結(jié)回顧問題

學(xué)生經(jīng)過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動后，基本上對本節(jié)數(shù)學(xué)知識有了比較清楚的認(rèn)識和比較深刻的理解。但還需要教師及時引導(dǎo)學(xué)生回顧“導(dǎo)學(xué)思考”中的問題，加深學(xué)生的數(shù)學(xué)理解和鞏固。這將有助于學(xué)生研究性地完成作業(yè)和激發(fā)其進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的欲望。

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該依據(jù)教學(xué)任務(wù)、教學(xué)對象和教學(xué)環(huán)境，找出切實可行的方案，變學(xué)生被動接受為主動探究。本原性問題驅(qū)動下的數(shù)學(xué)教學(xué)實施[5]，可以促使學(xué)生思考數(shù)學(xué)，熱愛數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)自學(xué)能力和理解能力得到提高。重要的是，教學(xué)時，師生有了活動方向感，學(xué)生主體性得到了發(fā)揮，學(xué)習(xí)潛在能量得到了釋放。這正如諾貝爾獎獲得者費曼說過科學(xué)知識教學(xué)：“首先弄清楚為什么要讓學(xué)生學(xué)這個主題，您想要學(xué)生知道些什么，而教的方法多多少少會來自常識?！边@里所謂常識，是指對于事物本身的真正本質(zhì)的真知灼見，也就是本原性問題思考，因而能用簡單易懂的語言表述出來。

參考文獻(xiàn)

[1] R.柯朗.數(shù)學(xué)是什么.汪浩，等譯.長沙：湖南教育出版社，1985.

[2] 鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程.上海：上海教育出版社，2009.

[3] 教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[4] 楊玉東.職初教師與經(jīng)驗教師教學(xué)過程比較研究.桂林：廣西師范大學(xué)出版社，2007.

[5] 李靜.本原性問題驅(qū)動下的高等數(shù)學(xué)變式教學(xué).數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2013（62）.

【責(zé)任編輯 郭振玲】