基于遍歷函數(shù)型數(shù)據(jù)下條件分位數(shù)的漸近性質(zhì)

陳靈昕， 凌能祥， 王 娟， 楊 艷

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

眾所周知，相比于條件均值，條件分位數(shù)不易受異常值影響，對(duì)其統(tǒng)計(jì)推斷是非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的重要問題之一，受到很多學(xué)者的關(guān)注。在解釋變量X取值于半度量空間F，響應(yīng)變量Y取值于R，來(lái)自總體（X，Y）的樣本是相互獨(dú)立或者某種相依場(chǎng)合下，文獻(xiàn)［1］研究了在一些正則條件下，條件分位數(shù)估計(jì)的強(qiáng)相合性和漸近正態(tài)性；文獻(xiàn)［2］在研究條件經(jīng)驗(yàn)過程中給出了條件分位數(shù)的漸近正態(tài)性及條件分布函數(shù)的置信區(qū)間；文獻(xiàn)［3］研究了基于雙核和局部連續(xù)核方法的2個(gè)條件分位數(shù)非參數(shù)估計(jì)的相合性和漸近性質(zhì)。

近年來(lái)，函數(shù)型數(shù)據(jù)分析已成為數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究的主要領(lǐng)域之一。函數(shù)型數(shù)據(jù)被看作連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程的一條樣本軌道，其取值于一個(gè)無(wú)限維函數(shù)型空間，函數(shù)型數(shù)據(jù)的非參數(shù)估計(jì)的理論和方法的研究在近幾年也得到廣泛的發(fā)展，如文獻(xiàn)［4］利用核方法系統(tǒng)地研究了非參數(shù)回歸算子、累積分布函數(shù)等估計(jì)量的幾乎完全收斂速度，并在α－混合的相依場(chǎng)合下推廣了上述結(jié)果；文獻(xiàn)［5］研究了函數(shù)型非參數(shù)模型的穩(wěn)健估計(jì)，并在i.i.d.場(chǎng)合下給出了非參數(shù)回歸函數(shù)穩(wěn)健估計(jì)量的幾乎完全收斂。

基于函數(shù)型數(shù)據(jù)下分位數(shù)的非參數(shù)估計(jì)也引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注，文獻(xiàn)［6－7］分別研究樣本在i.i.d.和α－場(chǎng)合下，條件分位數(shù)核估計(jì)量的漸近正態(tài)性；文獻(xiàn)［8］采用了推廣的L1方法構(gòu)建樣本在i.i.d.場(chǎng)合下條件分位數(shù)非參數(shù)估計(jì)量的相合性以及漸近性質(zhì)；文獻(xiàn)［9］利用N－W雙核估計(jì)方法研究了樣本在相依場(chǎng)合下，條件分位數(shù)核估計(jì)的LP范數(shù)收斂及收斂速度。

遍歷性假設(shè)是在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)、熱力學(xué)和信號(hào)處理中的基本假設(shè)。盡管α－混合正在最常見的混合條件中是最弱的，但它還不能包括所有的相依結(jié)構(gòu)，另一方面，要驗(yàn)證一個(gè)非線性時(shí)間序列是否為α－混合也不是件容易的工作，而時(shí)間序列數(shù)據(jù)遍歷性驗(yàn)證則比較方便，參見文獻(xiàn)［10］；并且遍歷性假設(shè)在實(shí)際中也有很重要的應(yīng)用，比如它是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中控制關(guān)于氣體、原子、電子、等離子等熱力學(xué)性質(zhì)的基本條件之一。

為了更好地闡述本文內(nèi)容，假設(shè)（Xi，Yi）1≤i≤N為一組平穩(wěn)遍歷函數(shù)型樣本，Yi為取值于實(shí)數(shù)空間R的隨機(jī)變量，Xi為取值于半度量空間（F，d（·，·））的隨機(jī)變量。給定x∈F時(shí)y的條件累積分布函數(shù)為：

條件累積分布函數(shù)F（·｜x）的α分位數(shù)為：

根據(jù)文獻(xiàn)［4］得到條件累積分布函數(shù)的N－W雙重核估計(jì)為：

則函數(shù)型條件分位數(shù)tα（x）的核估計(jì)為：

最近，文獻(xiàn)［11］考慮了在遍歷函數(shù)型數(shù)據(jù)條件下，利用經(jīng)典的N－W核估計(jì)方法研究非參數(shù)回歸算子估計(jì)量的漸近性質(zhì)，如漸近正態(tài)性、相合性；文獻(xiàn)［12］同樣在遍歷函數(shù)型數(shù)據(jù)下利用N－W核估計(jì)方法研究非參數(shù)回歸算子估計(jì)量的強(qiáng)逐點(diǎn)收斂速度及一致收斂速度；文獻(xiàn)［13］在遍歷條件下利用穩(wěn)健M－估計(jì)方法研究非參數(shù)回歸算子估計(jì)量的幾乎完全收斂速度；文獻(xiàn)［14］在遍歷函數(shù)型數(shù)據(jù)下利用鞅的中心極限定理研究條件分位數(shù)核估計(jì)的漸近性質(zhì)。本文是在現(xiàn)有文獻(xiàn)基礎(chǔ)上，基于遍歷函數(shù)型數(shù)據(jù)，利用雙核估計(jì)方法研究條件分位數(shù)估計(jì)量的逐點(diǎn)收斂速度，推廣了現(xiàn)有文獻(xiàn)中的結(jié)果。

1 基本假設(shè)和主要結(jié)果

1.1 基本假設(shè)

其中

為了證明本文的主要結(jié)論，給出一些基本假設(shè)。

（3）給定δ－域Ai－1，Γi（y）、Ωi（y）的條件期望只取決于Xi，即E（Γi（y）｜Ai－1）＝E（Γi（y）｜Xi）a.s.，E（Ωi（y）｜Ai－1）＝E（Ωi（y）｜Xi）a.s.，且對(duì)?m≥2有：

則有：

其中，l＝1，…，l；C＞0；β1＞0；β2＞0；為嚴(yán)格單調(diào)遞增的分布累積函數(shù)。

（5）?u＞0，P（X∈B（x，u））＝φx（u）＞0。

假設(shè)（1）是研究非參數(shù)函數(shù)型數(shù)據(jù)估計(jì)量的一般條件；假設(shè)（2）是遍歷型數(shù)據(jù)的特有條件，此條件參見文獻(xiàn)［12］，滿足條件隨機(jī)過程的例子同樣參見文獻(xiàn)［12］；假設(shè)（3）是本文證明過程中所需要的關(guān)鍵條件，此條件參照文獻(xiàn)［12，14］；假設(shè)（4）是研究分布函數(shù)的經(jīng)典條件；假設(shè)（5）是對(duì)小球概率的限制。

1.2 主要結(jié)論

定理1 若假設(shè)（1）～假設(shè)（5）成立，并且對(duì)?l＝1，…，j，當(dāng)n→∞，且對(duì)?p≥2的自然數(shù)有：

那么?x∈F時(shí)有：

定理2 假設(shè)函數(shù)（·）在tα（x）處j次連續(xù)可微，且滿足：

核函數(shù)H是j次連續(xù)可微，假設(shè)（1）～ 假設(shè)（5）成立，則有：

2 若干引理及定理的證明

為了證明定理1，先做分解，對(duì)?x∈F，有

則有：

引理1 假設(shè)（1）～假設(shè)（4）、（1）式成立，則對(duì)?x∈F有：

證明

其中

其中

故

由假設(shè)（4）得：

由文獻(xiàn)［12］中引理2，假設(shè)（2）中的② 、③ 可知E［Δ1（x）｜Hi－1］是有界量，則

由文獻(xiàn)［12］中引理3及分解（4）式得：

引理2 若假設(shè)（1）～假設(shè)（4）、（1）式成立，并且對(duì)?l＝1，…，j，?p≥2，則對(duì)?x∈F有：

由Jensen不等式得：

對(duì)?m≥1，由假設(shè)（3）得：

其中

對(duì)于上述m，由Holder不等式得：

由文獻(xiàn)［12］中引理2、假設(shè)（2）中的② 、③，且有核函數(shù)｜K｜≤a1，函數(shù)｜τ0｜≤c0，a1、c0、c1、c2為正實(shí)數(shù)，可以得到：

故

當(dāng)n足夠大時(shí)，有

根據(jù)文獻(xiàn)［12］中引理1，對(duì)?ε0＞0，有

其中，c3為正常數(shù)。當(dāng)ε0足夠大時(shí)，可以得到：

故引理得證。

引理3 若假設(shè)（1）～假設(shè)（4）、（1）式成立，對(duì)?x∈F有：

證明

根據(jù)引理2得：

由分解（2）式，引理得證。

引理4 若假設(shè)（1）～ 假設(shè)（5）成立，則有：

證明 易知（y）連續(xù)且嚴(yán)格遞增，因此（y）存在且連續(xù)。

則對(duì)?ε＞0，?δ（ε）＞0，對(duì)?y有：

令y＝（x）有：

對(duì)?ε＞0，?δ（ε）＞0有：

則引理得證。

綜合文獻(xiàn)［12］中引理1、引理3、本文引理3和（5）式即可證明定理1；綜合本文引理4、文獻(xiàn)［4］中內(nèi)容即可證明定理2。

［1］ Samanta M.Non－parametric estimation of conditional quantiles［J］.Statist Probab Lett，1989，7：407－412.

［2］ Stute W.Conditional empirical processes［J］.Ann Statist，1986，14：638－647.

［3］ Gannoun A，Saracco J，Yu K.Nonparametric prediction by conditional median and quantiles［J］.J Statist Plann Infer，2003，117：207－223.

［4］ Ferraty F，Vieu P.Nonparametric functional data analysis：theory and practice［M］.New York：Springer，2006：17－86.

［5］ Azzedine N，Laksaci A，Ould Said E.On the robust nonparametric regression estimation for functional regressor［J］.Statist Probab Lett，2008，78：3216－3221.

［6］ Ezzahrioui M，Ould Said E.Asymptotic normality of the kernel estimators of the conditional quantile in the normed space［J］.Far East J Theoret Statist，2008a，25：15－38.

［7］ Ezzahrioui M，Ould Said E.Asymptotic results of the kernel estimator of the conditional quantiles in the normed space underα－mixing hypothesis ［J］.Commum Statist Ther Meth，2008b，37：2735－2759.

［8］ Laksaci A，Lemdani M，Ould Said E.A generalizedL1－approach for a kernel estimator of conditional quantile with functional regressors：Consistency and asymptotic normality［J］.Statist Probab Lett，2009，79：1065－1073.

［9］ Dabo－Niang S，Laksaci A.Nonparametric quantile regression estimation for functional dependent data［J］.Commum Statist Ther Meth，2012，41：1254－1268.

［10］ 范劍青，姚琦偉.非線性時(shí)間序列：建模預(yù)報(bào)及應(yīng)用［M］.陳 敏，譯.北京：高等教育出版社，2005：19－45.

［11］ Laib N，Louani D.Nonparametric kernel regression estimation for functional stationary ergodic data：asymptotic properties ［J］.J Multivariate Anal，2010，101：2266－2281.

［12］ Laib N，Louani D.Strong consistency of the regression function estimator for functional stationary ergodic data［J］.J Statist Plann Inference，2011，141：359－372.

［13］ Gheriballah A，Laksaci A，Sekkal S.Nonparametric M－regression for functional ergodic data ［J］.Statist Probab Lett，2013，83：902－908.

［14］ 魏亮瑜，凌能祥，李成好.基于遍歷函數(shù)型數(shù)據(jù)條件分位數(shù)估計(jì)的相合性［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，35（4）：557－562.