基于模糊調(diào)節(jié)的兩輪自平衡車的終端滑模分解控制

楊興明， 段 舉， 朱 建， 高銀平

（合肥工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，安徽 合肥 230009）

欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)是一類驅(qū)動(dòng)器數(shù)目小于系統(tǒng)自由度數(shù)目的系統(tǒng)。兩輪自平衡小車則是欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的典型代表，它具有欠驅(qū)動(dòng)、非線性、強(qiáng)耦合、多變量的特點(diǎn)。它可以在3個(gè)自由度上運(yùn)動(dòng)，包括擺桿的旋轉(zhuǎn)，車體的前后運(yùn)動(dòng)以及車體的旋轉(zhuǎn)。其廣泛的應(yīng)用前景引起了國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。由于非線性系統(tǒng)不能建立精確模型，傳統(tǒng)PID、LQR等線性控制方法具有局限性，因而研究人員開始關(guān)注智能控制方法的應(yīng)用，滑?？刂?、模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、迭代學(xué)習(xí)、遺傳算法等控制方法的設(shè)計(jì)各有特點(diǎn)。其中，滑?？刂频奶攸c(diǎn)在于系統(tǒng)的“結(jié)構(gòu)”并不固定，隨著當(dāng)前系統(tǒng)的狀態(tài)不斷變化，按照預(yù)定的“滑動(dòng)模態(tài)”的狀態(tài)作軌跡運(yùn)動(dòng)，因此滑?？刂频玫搅藦V泛的應(yīng)用［1］。其穩(wěn)定性強(qiáng)，魯棒性較好，實(shí)現(xiàn)相對容易。

為實(shí)現(xiàn)對小車的平衡控制，文獻(xiàn)［2］將其平衡控制系統(tǒng)分解為2個(gè)子系統(tǒng)，通過一個(gè)中間變量將2個(gè)子系統(tǒng)聯(lián)系起來，用1個(gè)控制量實(shí)現(xiàn)對小車的平衡控制。但這種傳統(tǒng)的分解滑?？刂频木窒扌栽谟跓o論如何控制，系統(tǒng)狀態(tài)在滑動(dòng)模態(tài)上無法在有限時(shí)間內(nèi)收斂至平衡點(diǎn)，且動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度較慢。文獻(xiàn)［3］提出引入模糊推理來調(diào)節(jié)線性滑模面的斜率參數(shù)，一定程度上加快了動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度，卻仍然存在有限時(shí)間內(nèi)無法收斂的問題。

20世紀(jì)80年代，有學(xué)者提出終端滑?？刂撇呗?，通過引入非線性滑模面，系統(tǒng)狀態(tài)能在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)平衡點(diǎn)［4］。其缺點(diǎn)在于降低了收斂速度，且存在奇異性問題。通過增加線性項(xiàng)，快速終端滑?？刂瓶梢赃M(jìn)一步改善收斂速度，但始終未能解決奇異性問題［5］。文獻(xiàn)［6］提出一種新型快速終端滑模控制法，它表明在選取適當(dāng)?shù)姆謹(jǐn)?shù)冪的情況下可以避免奇異性，且收斂速度較快。然而，對于階數(shù)較高的系統(tǒng)，此類方法的終端滑模控制器設(shè)計(jì)復(fù)雜，計(jì)算機(jī)仿真耗時(shí)較長。

為解決欠驅(qū)動(dòng)兩輪自平衡車的平衡控制問題，本文將分解滑?？刂婆c新型快速終端滑?？刂葡嘟Y(jié)合，解決了有限時(shí)間收斂的問題。鑒于常值滑模面系數(shù)影響收斂速度，采用模糊推理法進(jìn)一步調(diào)節(jié)，加快了系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)速度，表現(xiàn)出較好的魯棒性。此外，對于高階系統(tǒng)而言，本文的控制方法相對于普通終端滑模控制方法設(shè)計(jì)簡單，易于實(shí)現(xiàn)。

1 兩輪自平衡車的模型建立

兩輪自平衡車模型示意圖如圖1所示。

圖1 兩輪自平衡車模型示意圖

設(shè)R為左右車輪的半徑；mR＝mRL＝mRR為車輪質(zhì)量；mP為車體質(zhì)量；XRL、XRR為左右車輪的位移為車體的行駛速度（即ωP）為擺桿與垂直方向的夾角角度和角速度；θRL、θRR為左右車輪繞Z軸的轉(zhuǎn)角為車體繞Y軸的角度和角速度；D為兩車輪的間距；L為車體質(zhì)心到Z 軸的距離；JR＝JRL＝JRR，JPδ、JPθ分別為左右車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、車體繞Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、車體繞通過質(zhì)心且平行于Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

采用基于能量的分析方法［7］，選取車輪所在平面為零勢能面，得到小車系統(tǒng)的動(dòng)能T和勢能V的方程：

系統(tǒng)的輸入功率和輸出功率為：

其中，CL、CR分別為電機(jī)對左、右車輪的轉(zhuǎn)矩。

為了便于建模，將系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近進(jìn)行線性化處理，即在小角度的范圍內(nèi)，取sinθP≈θP，cosθP≈1，忽略二次分量?；谏鲜龇匠?，結(jié)合文獻(xiàn)［7］中系統(tǒng)所受約束條件，可以得到系統(tǒng)模型的方程組：

這里選取需要觀察的狀態(tài)變量為XRM、VRM、θP、

結(jié)合電機(jī)轉(zhuǎn)矩C和控制電壓U的關(guān)系：

其中，Km、Ke分別為電機(jī)力矩系數(shù)和電機(jī)反電動(dòng)勢系數(shù)。

整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：

其中

對系統(tǒng)解耦，并將（11）式代入，即

上述解耦得出的2個(gè)部分分別為小車的平衡控制部分與旋轉(zhuǎn)控制部分，可看作是相互獨(dú)立的，可分別對這2個(gè)部分進(jìn)行控制。由于小車?yán)@Y軸旋轉(zhuǎn)的狀態(tài)矩陣為定值，也不存在干擾，控制相對容易，故本文重點(diǎn)研究平衡控制部分［8］。

2 控制器設(shè)計(jì)

將（12）式簡化為如下的系統(tǒng)：

其中，x1＝θP，x2＝XRM，x3＝ωP，x4＝VRM；dθ（t）、dx（t）為外在的干擾，實(shí)際情況下它們都是具有上界的，即｜dθ（t）｜≤Dθ（t）、｜dx（t）｜≤Dx（t）；fθ（X，t）、fx（X，t）、gθ（X，t）、gx（X，t）的值可以由（12）式推出。

2.1 傳統(tǒng)分解滑模控制器及其改進(jìn)

將小車平衡控制部分分解為擺角子系統(tǒng)和位移子系統(tǒng)。擺角控制子系統(tǒng)記為子系統(tǒng)A，位移控制子系統(tǒng)記為子系統(tǒng)B。2個(gè)子系統(tǒng)的滑模面分別設(shè)計(jì)如下［2］：

其中，c1，c2＞0；z與s2是成比例的，可看作一個(gè)有界衰減振蕩信號。定義：

其中，0＜zu＜1；｜z｜≤zu；φz為s2的邊界層厚度。顯然z是s2的函數(shù)，當(dāng)s2→0時(shí)，有z→0。

平衡控制的目標(biāo)是控制擺角和位移漸進(jìn)收斂為0。這里采用了分解控制的方法，引入能夠反映子系統(tǒng)B滑模面信息的中間變量z，將其引入到子系統(tǒng)A的滑模面中，用1個(gè)控制量控制2個(gè)子系統(tǒng)，從而完成小車的平衡控制。此時(shí)，控制目標(biāo)從普通滑?？刂频膞1＝0，x3＝0轉(zhuǎn)變?yōu)閤1＝z，x3＝0。

根據(jù)Lyapunov定理，令滑模面s1的導(dǎo)數(shù)為0，即

對方程進(jìn)行求解，暫不考慮dθ，并將（14）式代入，得到等效控制律：

考慮到整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，設(shè)計(jì)控制律為：

選取切換控制律：

于是總的控制律為：

其中，k＞［Dθ（t）／｜gθ｜］；φ1為s1的邊界層厚度，為正常數(shù)。飽和函數(shù)sat（·）用來抑制抖振現(xiàn)象，定義：

采用上述分解滑?？刂破麟m然能夠較好地實(shí)現(xiàn)對小車平衡控制部分的解耦控制，但缺陷在于其收斂速度慢，且系統(tǒng)狀態(tài)無法在有限時(shí)間內(nèi)收斂。文獻(xiàn)［3］使用模糊推理來調(diào)節(jié)滑模面系數(shù)，對其進(jìn)行了改進(jìn)。其滑模面設(shè)計(jì)如下：

該方法針對傳統(tǒng)方法滑模面系數(shù)為常值的缺陷，制定了一維模糊規(guī)則，將子系統(tǒng)的2個(gè)狀態(tài)變量分別乘以比例系數(shù)，利用其差值進(jìn)行模糊推理，得到可變的系數(shù)和，其余設(shè)計(jì)與傳統(tǒng)方法類似，雖使得系統(tǒng)狀態(tài)相對較快地趨近至平衡點(diǎn)附近，但由于其采用線性滑模面，始終無法實(shí)現(xiàn)滑動(dòng)模態(tài)上的系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)平衡點(diǎn)。

2.2 基于模糊調(diào)節(jié)的終端滑模分解控制器

針對上述分解滑?？刂品ǖ南到y(tǒng)狀態(tài)收斂速度較慢，不能在有限時(shí)間收斂至平衡點(diǎn)的缺點(diǎn)，本文采用一種新型快速終端滑模面［6］：

其中，ai，ci＞0，i＝1，2。結(jié)合分解控制，設(shè)計(jì)子系統(tǒng)A和子系統(tǒng)B的滑模面如下：

其中，0＜γ1＝p1／q1＜1，0＜γ2＝p2／q2＜1。p1、p2、q1、q2皆為正整數(shù)，且為奇數(shù)。注意到當(dāng)（x1－z）＜0，x2＜0時(shí)，冪指數(shù)γ1，γ2使｜x1－z｜γ1∈R，｜x2｜γ2∈R，即不為虛數(shù)，因而不存在普通終端滑模所出現(xiàn)的奇異性問題。

當(dāng)系統(tǒng)在滑動(dòng)模態(tài)上時(shí)，有如下等式：

根據(jù)有限時(shí)間收斂的定義［9］，求解上述微分方程，得到各個(gè)子系統(tǒng)狀態(tài)收斂的時(shí)間為：

其中，xz（0）為（x1－z）的初始值；x2（0）為x2的初始值。顯然狀態(tài)變量能在有限時(shí)間內(nèi)收斂。

為了實(shí)現(xiàn)控制目的，同樣使滑模面s1的導(dǎo)數(shù)等于0，即

暫不考慮dθ，將（14）式代入（33）式可得系統(tǒng)的等效控制律為：

考慮到（17）式中間變量z的求導(dǎo)不易于實(shí)現(xiàn)而造成分解滑模等效控制量無法直接求出的問題，這里采用一種新型的具有反正切函數(shù)形式的中間變量［10］，即

同樣，當(dāng)s2→0時(shí)，有z→0。采用這樣的形式，z的導(dǎo)數(shù)可以直接求得，有

代入（36）式可得出控制律的具體表達(dá)式。

觀察（31）式、（32）式可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)狀態(tài)收斂至平衡點(diǎn)的時(shí)間與參數(shù)ai、γi、ci（i＝1，2）有關(guān)。其中當(dāng)ci減小時(shí)，時(shí)間變長；ci增大時(shí)，時(shí)間縮短，但會(huì)影響跟蹤的精確性。為了解決此矛盾，受文獻(xiàn)［11］啟發(fā)引入一維模糊推理來改善系統(tǒng)的性能，其原理如圖2如示。

圖2 模糊調(diào)節(jié)系數(shù)的原理圖

圖2中，li（i＝1，2，…，6）為選取參數(shù)。FC表示模糊推理系統(tǒng)，其輸入語言變量為Xd（t），對應(yīng)于變量＝｜lixi｜－，輸出語言變量為C，對應(yīng)于變量＝ci／li＋4，其中i＝1，2。模糊規(guī)則描述為：

其中，XDi用來表示輸入Xd（t）的模糊集｛NB，NM，NS，ZO，PS，PM，PB｝表示輸出C 的模糊集｛VVS，VS，S，M，B，VB，VVB｝。模糊規(guī)則表見表1所列。模糊控制器采用Mamdani型模糊推理系統(tǒng)，其輸入XDi的論域?yàn)椋郏?，1］，輸出的論域?yàn)椋?，2］。輸入集和輸出集的隸屬函數(shù)采用均勻分布的三角形隸屬函數(shù)，推理使用最大最小合成規(guī)則，解模糊采用重心法。

表1 模糊規(guī)則表

2.3 系統(tǒng)穩(wěn)定性的證明

由于滑模面s2中的狀態(tài)信息被轉(zhuǎn)移到滑模面s1中，故下面來證明s1的穩(wěn)定性。在系統(tǒng)的可控范圍內(nèi)，構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

將（36）式代入，化簡得：

因?yàn)閗＞Dθ（t）／｜gθ｜，所以無論s1為何值，始終能保證˙V為非正數(shù)。這表明所設(shè)計(jì)的滑模面s1是漸進(jìn)穩(wěn)定的且能夠在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)。當(dāng)子系統(tǒng)A處于滑動(dòng)模態(tài)s1＝0時(shí)，有（x1－z）＝0以及x3＝0。另一方面，由（33）式得到：

此方程可看作一個(gè)關(guān)于x3的一階非齊次線性微分方程，對其求解得到：

其中，x3（0）為x3的初始值。顯然當(dāng)（x1－z）＝0且＝0時(shí)，x3收斂為0。因此，當(dāng)且僅當(dāng)z→0（即s2→0）時(shí)，有x3→0。故2個(gè)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性都得到保證［3］。

3 仿 真

3.1 仿真參數(shù)選取

實(shí)際的模型參數(shù)為：

代入（12）式求得狀態(tài)方程：

對于不確定參數(shù)JPθ、JR、JPδ所引起的系統(tǒng)的最大不確定矩陣為則不確定性干擾表示為其中，α為［－11］的隨機(jī)數(shù)；分別為：

控制器的參數(shù)選取如下：c1＝2，c2＝0.5，γ1＝γ2＝29／31，l1＝l3＝0.5，l5＝2，l2＝l4＝0.5，l6＝0.5，k＝20，φ1＝5，φz＝15，a1＝0.3，a2＝0.1，zu＝0.8。

3.2 仿真結(jié)果及分析

選取下面3種情形的控制器進(jìn)行仿真，滑模面分別選擇為：

情形1 傳統(tǒng)分解滑模面，即

情形2 改進(jìn)的傳統(tǒng)分解滑模面，即

情形3 本文設(shè)計(jì)的分解滑模面，即

這里就兩輪自平衡小車的擺角子系統(tǒng)平衡過程和位移子系統(tǒng)平衡過程進(jìn)行仿真。假設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為：θP＝0.3，XRM＝0，ωP＝0，VRM＝0。即初始擺角為0.3rad（17°），位移、角速度、速度均為0。在整個(gè)過程中引入系統(tǒng)不確定性干擾IJ，擺角和位移趨近平衡過程的仿真曲線控制律的變化曲線如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)擺桿角度、位移響應(yīng)、控制律響應(yīng)曲線

經(jīng)模糊調(diào)節(jié)的滑模面系數(shù)曲線如圖4所示。

圖4 滑模面系數(shù)曲線

由圖3a中擺桿的角度曲線可以看出，本文所設(shè)計(jì)方法的角度在3.6s時(shí)達(dá)到穩(wěn)定，而傳統(tǒng)分解滑模控制及其改進(jìn)后的方法所需的時(shí)間分別大于9s和5s，因此本文設(shè)計(jì)的方法明顯具有較快的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度；還可以看出其超調(diào)量較小，跟蹤精度較高。圖3b中位移曲線同樣表明，本文所設(shè)計(jì)的方法響應(yīng)速度較快，能將位移保持在較小的距離范圍內(nèi)。從圖3c可以看出，系統(tǒng)的控制輸入的響應(yīng)速度也明顯更快。圖4體現(xiàn)小車在平衡過程中的變化情況，其到達(dá)穩(wěn)定常值之前的變化表明了模糊推理系統(tǒng)產(chǎn)生的調(diào)節(jié)作用，反映了對系統(tǒng)性能實(shí)時(shí)改善的過程。

4 結(jié)束語

本文針對兩輪自平衡車設(shè)計(jì)了一種新型控制方法。該方法將整個(gè)平衡控制系統(tǒng)分解為2個(gè)子系統(tǒng)，并分別定義了新型快速終端滑模面函數(shù)，利用可直接求導(dǎo)的中間變量實(shí)現(xiàn)1個(gè)控制量對小車的平衡控制，簡化了高階系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，且能夠使系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂至平衡點(diǎn)。在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用模糊推理法調(diào)節(jié)滑模面系數(shù)，明顯改善了動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度。仿真結(jié)果也表明此控制方法能夠獲得較好的動(dòng)態(tài)特性和具有較強(qiáng)的魯棒性。

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