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    一類(lèi)非線(xiàn)性矩陣方程組性質(zhì)的研究

    2014-12-30 05:53張帆
    科技經(jīng)濟(jì)市場(chǎng) 2014年11期
    關(guān)鍵詞:方程組特征向量特征值

    張帆

    摘 ?要:討論了方程組X-A Y A=QY-B X B=QHermit正定解的性質(zhì)及存在條件.

    關(guān)鍵詞:非線(xiàn)性矩陣方程組;Hermit正定解

    0 ?引言

    本文主要研究非線(xiàn)性矩陣方程組X-A Y A=QY-B X B=Q (1)

    其中A,B為非奇異矩陣,Q為 Hermite正定陣.討論方程組的 Hermite正定解的最大最小特征值與系數(shù)矩陣的特征值之間的關(guān)系,給出解的存在范圍,并得到方程組存在Hermite正定解的充要條件。

    1 ?主要結(jié)果

    定理1 若λ- ,λ+分別為方程組 (1)Hermite正定解X的最小特征值和最大特征值,?-, ?+分別為方程組(1)Hermite正定解Y的最小特征值和最大特征值,θ-, θ+分別為Q的最小特征值和最大特征值,η,ξ分別為 A, B的特征值.那么,

    證明:假設(shè)v為矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值?濁的特征向量,且||v||=1,?棕為矩陣B對(duì)應(yīng)于特征值?孜的特征向量,且||?棕||=1。

    定理2 若方程組(1)存在Hermite正定解 ,那么Q

    證明:因?yàn)椋╔,Y)是方程組的Hermite正定解,所以A Y A>0,B X B>0

    所以X>Q,Y>Q。

    由Y>Q可知A Y A

    那么X=Q+A Y A

    因此 Q

    同理可證 Q

    定理3 方程組(1)存在Hermite正定解當(dāng)且僅當(dāng)矩陣A,B滿(mǎn)足A=P*P N,B=R*R M。其中P,R為非奇異矩陣且滿(mǎn)足R*R-N*N=Q,P*P-M*M=Q此時(shí)方程組的解為(R*R,P*P)。

    證明:若方程組(1)存在正定解(X,Y),令X=R*R,Y=P*P,其中R,P為非奇異矩陣。那么方程組可寫(xiě)為

    R R-A P P A=QP P-B R R B=Q ? R R-A P P P P A=QP P-B R R R R B=Q

    令N=(P*P)-n/2A,M=(R*R)-mB,則有A=P*P N,B=R*R M

    若A,B滿(mǎn)足A=(P*P)n/2N,B=(R*R)m/2M,且R*R-N*N=Q,P*P-M*M=Q

    令X=R*R,Y=P*P。那么X,Y正定且為Hermite陣。此時(shí)

    X-A Y A=R R-A P P A

    =R R-A P P P P A

    =R R-N N

    =Q

    Y-B X B=P P-B R R B

    =P P-B R R R R B

    =P P-M M

    =Q

    由此,方程組(1)的Hermite正定解可記為(R*R,P*P)。

    參考文獻(xiàn):

    [1]AsmaaM.Al-Dubiban.IterativeAlgorithmforSolvingaSystemofNonlinearMatrix Equations[J].Journal of Applied Mathematics,2012, 2012:1-15.

    [2]高東杰.矩陣方程X=Q+A*X A0

    [3]高東杰,張玉海.矩陣方程X-A*X A=Qq>0 的Hermite正定解[J].計(jì)算數(shù)學(xué),2007,29(1):73-80.

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