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    一個經(jīng)典的數(shù)學(xué)教學(xué)案例

    2014-12-01 09:38周波濤
    關(guān)鍵詞:啟發(fā)尊重引導(dǎo)

    周波濤

    [摘 要] 本文從一個現(xiàn)實(shí)例子出發(fā),闡述了這樣的觀點(diǎn):啟發(fā)式教育永遠(yuǎn)是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究學(xué)習(xí)的不二法寶;應(yīng)尊重學(xué)生的思維方式;為搞清楚原理多花時間,遠(yuǎn)比為熟練操作多花時間更重要;培養(yǎng)學(xué)生遇到問題相信自己可以獨(dú)立處理的自信心.

    [關(guān)鍵詞] 二元;一元;啟發(fā);引導(dǎo);尊重

    案例

    一個小學(xué)六年級的學(xué)生,假期里遇到這樣一個數(shù)學(xué)問題:解二元一次方程組3x+4y=10,

    x+2y=12,他自己想了一會,沒有找到解決的辦法,然后跑去問他的父親怎么做,父親說,做不起就耍一會再做嘛,孩子就做其他事情去了.

    第二天,父親問兒子昨天那個問題做出來了沒有,兒子說沒有,父親說,今天你再想一下,可能就做出來了. 兒子就把那個問題拿出來,大概做了半個小時,還是沒有做出來,父親說做了這么久都沒有做出來,那就不做了,明天再想.

    第三天,兒子跑來給父親說還是做不出來,父親說,你把問題拿來我們一起研究一下. 父親一看,心里就明白了,這個問題屬于初一的內(nèi)容,對于兒子現(xiàn)在的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)來說,的確比較難,于是父親說,二元一次方程組解不出來,這是個問題,那你會解什么方程???兒子想了想說,一元方程. 父親說,那能不能把這個二元的問題弄成你會的呢?兒子又把問題拿回去做.

    過了大概半個小時,兒子把他的草稿本拿過來,上面寫了很多過程,后來他找到一個辦法,就是把第二個式子各項(xiàng)均乘2,得到2x+4y=24,再用第一個式子3x+4y=10來減它,這樣y就沒有了,只剩下x. 但又出現(xiàn)了一個新問題,10減24不夠減,思路就卡在這里了. 父親說,不夠減怎么辦呢?兒子說,不知道. 父親說,我們住的樓平層以下是幾樓?。績鹤诱f負(fù)一樓,父親說,還有負(fù)二樓、負(fù)三樓,不夠減是不是也可以用這種方式?。績鹤酉肓讼?,是啊,那這里是不是減了就可以得到負(fù)14???父親說,你太聰明啦. 兒子高興極了,屁顛屁顛地回去繼續(xù)做. 隔了大概十分鐘,就得到了這個問題的解x=-14,

    y=13.

    父親說,既然你可以把y消掉,可不可以先把x消掉呢?兒子觀察了一下,說把第二個式子的各項(xiàng)均乘3,再去減第一個式子. 父親說,那你又去做一下,看是不是行得通. 隔了一會,兒子就把第二種方法的過程做出來了. 父親說,觀察一下,這兩種方法有沒有共同的地方呢?兒子想了之后,基本上說出了加減消元法的核心. 兒子很高興,說爸爸真厲害,父親說,我什么厲害哦,我又沒給你講什么. 兒子說,你就是給我講了我才做出來的. 父親說,你說我講了些什么?兒子想了想,好像又沒有講什么,然后又高興地去玩了.

    第四天,父親寫了兩個系數(shù)與前一個二元一次方程組不同的方程組,兒子解第一個的時候還有些慢,解第二個時就已經(jīng)很熟練了,而且還找到了解二元一次方程組的另一方法——代入消元法.

    又隔了幾天,孩子遇到一個應(yīng)用題,在他想到用x,y設(shè)未知數(shù)建立二元一次方程組之后,很熟練地得到了問題的求解.

    啟示

    這是一個非常經(jīng)典的教學(xué)案例,案例中的父親是我的同事,也是一名數(shù)學(xué)老師,但這個案例中父親的做法并不全是非要數(shù)學(xué)工作者才能完成,作為家長、作為教育工作者,都可以參考和學(xué)習(xí).

    啟示一:啟發(fā)式教育永遠(yuǎn)是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究學(xué)習(xí)的不二法寶. 兒子第一個思維難點(diǎn)是如何想到將二元問題轉(zhuǎn)化成一元問題,父親設(shè)置了一個很好的提問“你會解什么方程”,孩子回答之后,父親又給了一個極具提示作用的問題“能不能把這個二元的問題弄成你會的呢”,這一下孩子基本上就會朝著將未知的沒有見過的問題轉(zhuǎn)化成自己會的、熟悉的模型. 這個環(huán)節(jié)能很好地讓孩子體會到轉(zhuǎn)化的思想. 兒子的第二個思維難點(diǎn),是關(guān)于“不夠減”的處理. 父親用了生活中孩子每天都會看見的模型“負(fù)樓層”來提示. 小學(xué)生對于負(fù)數(shù)是沒有概念的,用這樣一個貼近生活的實(shí)例來提示,對于負(fù)數(shù)的概念理解就比較順利了,這就是類比的推理方式. 而類比推理是我們生活或數(shù)學(xué)中最常用的推理方式之一. 第三個啟發(fā)在兒子用兩種方式解出方程后,“觀察一下,這兩種方法有沒有共同的地方呢”,引導(dǎo)兒子完成歸納總結(jié). 數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化,如果不學(xué)會歸納總結(jié),找到同類問題的共性,永遠(yuǎn)都是“見子打子”,那就太笨了,不僅耗費(fèi)時間,思維也不會得到升華.

    啟示二:尊重學(xué)生的思維方式. 大多數(shù)教師在初次講二元一次方程組時,一般都會先講解代入消元法(這也是教材的編寫順序),案例中的方程組較簡單的方式也是將第二個方程變形為x=12-2y,然后代入第一個式子得到求解,但孩子并沒有想到這種方式. 我分析是孩子更習(xí)慣解用x表示未知數(shù)的方程,所以先想到消去變量y,進(jìn)而想到了加減消元法解方程組. 父親并沒有刻意地將兒子的思維往代入消元法上引,而是因勢利導(dǎo),讓孩子先學(xué)會用加減消元法解二元一次方程組(其實(shí)熟練了之后兩種方法的運(yùn)算量差不多). 這里最重要的是明白消元的思想. 接著,在第四天的時候通過習(xí)題讓孩子找到代入消元法. 這樣的處理方式,尊重了孩子的思維方式,讓孩子在思維的過程中始終有主動感、成就感,在思維的過程中體會到了不斷深入,以及被肯定感,而這種體驗(yàn)會積極地影響到他今后遇到問題的自信程度. 試想,如果當(dāng)孩子把草稿本拿給父親看,父親立馬給他講了代入消元法,那么孩子得到的心理反饋會是什么?啊,我想了這么久,竟然全白費(fèi)了,還沒有爸爸的這種方法簡單,我真笨. 由此帶來的挫敗感,可能會讓他在下一次遇到問題時產(chǎn)生懷疑和不自信,還容易產(chǎn)生依賴思想,因?yàn)榘职种栏唵蔚姆椒?,自己不用想,可以直接去問? 失去獨(dú)立思考的想法,養(yǎng)成依賴別人的習(xí)慣,這是最可怕的事情.

    啟示三:為搞清楚原理多花時間,遠(yuǎn)比為熟練操作多花時間更重要. 讀者可以看到,孩子思維的核心工作是在第三天完成的,據(jù)其父親說,第三天把原理搞清楚差不多花了兩個多小時,而第四天的練習(xí)大概在半個小時內(nèi)就完成了,最后應(yīng)用題中的解方程組僅僅只用了兩三分鐘. 在學(xué)校教育中,同樣的內(nèi)容可能是這樣安排的,一節(jié)課四十分鐘,可能花15到20分鐘講清楚代入消元法的原理,然后開始大量練習(xí),系數(shù)同為正數(shù)的,有正有負(fù)的,系數(shù)有分?jǐn)?shù)的,解是整數(shù)的,解為分?jǐn)?shù)的等,有的在課堂上,有的出現(xiàn)在作業(yè)中,有的在習(xí)題評講中. 練習(xí)鞏固的時間遠(yuǎn)遠(yuǎn)比探尋原理所花的時間多. 這種方式與案例中的教學(xué)方式最大的不同在哪里呢?遇到二元一次方程組不會解——將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題——找到二元一次方程組的一般解法,這是有創(chuàng)造性的思維過程,而練習(xí)不同類型的二元一次方程組解法,是熟練操作的過程,創(chuàng)造性的活動相對減少. 其實(shí),道理很簡單,真正搞清楚原理后,熟練過程會水到渠成,可以減少很多不必要的重復(fù)機(jī)械工作. 數(shù)學(xué)應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生什么?是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會理性地思考,學(xué)會理性地分析,而不單是簡單的計(jì)算. 當(dāng)然,學(xué)校的集體教育不能和這種單個對象的教育完全一樣. 課堂集體教育有教學(xué)任務(wù),有教學(xué)進(jìn)度的安排,不可能像單獨(dú)對象教育這樣隨意,更不用說還有考試壓力. 實(shí)際教學(xué)中,用前面談到的課堂教育方式,在階段性考試中可能效果會好一些,但在教學(xué)設(shè)計(jì)上我們可以考慮讓創(chuàng)造性思維多一些的環(huán)節(jié),多留一些時間. 從長遠(yuǎn)來看,讓學(xué)生體驗(yàn)更多的創(chuàng)造性思維過程,會更有利于他們的學(xué)習(xí).

    啟示四:培養(yǎng)學(xué)生遇到問題相信自己可以獨(dú)立處理的自信心,這是教育者應(yīng)該一直堅(jiān)持的工作. 讀者可以看到,案例中的孩子第一天就碰到問題,并向他父親求助了,但是他的父親沒有馬上回答他. 第二天,父親仍然沒有回答他,而是讓他思考,直到第三天才和他展開討論. 我們有些家長在輔導(dǎo)孩子時,內(nèi)心比較焦慮,恨不得馬上告訴孩子所有的內(nèi)容,然后立馬收到很好的效果,但這并不是一件好事. 人的認(rèn)知有一個時間過程,同樣的東西認(rèn)知時,需要從陌生到熟悉,從不同的角度去觀察,是一個循序漸進(jìn)的過程. 陳重穆教授提倡的螺旋式教學(xué)法就尊重了人的這一認(rèn)知特點(diǎn). 一個知識點(diǎn),第一次教學(xué)過程中可能只能掌握一部分內(nèi)容,隨著時間的推移、新知識的增加,他會對這個知識點(diǎn)有更深的認(rèn)識,在此基礎(chǔ)上會有新的認(rèn)識和升華. 經(jīng)常聽到有的老師抱怨學(xué)生,才講了的都不會,其實(shí)這種現(xiàn)象很正常,有可能是學(xué)生當(dāng)時的認(rèn)知還沒有到位,隨著時間的推移,我們在合適的時候安排復(fù)習(xí)鞏固,從另外的角度去講解,說不定學(xué)生就能掌握了. 你可能覺得案例中的第一天、第二天是浪費(fèi)了,其實(shí)第一天就可以做第三天的工作,但是,第一天和第二天的工作不是白費(fèi)的,前兩天,父親的做法很明顯,讓兒子知道遇到問題要自己思考,思考是自己的事情,也沒有強(qiáng)求他一定要思考出來,但一定要去思考,且深入地思考. 在思考中,孩子會對問題更熟悉,盡管沒有進(jìn)行到最核心的地方,但對于問題本身更熟悉了,這有利于今后對同類問題模型的提煉. 而第三天,父親也沒有代替他思考,只是拋出了幾個富有啟發(fā)性的問題,孩子通過思考和演算,找到了將二元問題轉(zhuǎn)化成一元問題,通過思考找到克服負(fù)數(shù)的辦法,通過觀察和思考,歸納并總結(jié)加減消元法的一般步驟,整個思維過程孩子都是主體. 尤為有趣的是,找到方法后父子的那段對話——“兒子很高興,說爸爸真厲害,父親說,我什么厲害哦,我又沒給你講什么. 兒子說,你就是給我講了我才做出來的. 父親說,你說我講了些什么?兒子想了想,好像又沒有講什么”. 這段對話,充分顯示了這位父親的睿智. 他讓兒子真實(shí)地感受到,問題是通過自己的思考解決的. 當(dāng)然,兒子對于父親的引導(dǎo)肯定是知道的,但他清晰地看到了自己的思考在解決問題中的重要作用,這是極其珍貴的學(xué)習(xí)體驗(yàn),它可以很好地培養(yǎng)孩子的自信心,讓他有勇氣去面對新的數(shù)學(xué)難題,相信自己通過努力可以找到解決問題的辦法,而不是遇到問題就想著依賴別人,這才是我們希望孩子們具備的優(yōu)良學(xué)習(xí)品質(zhì). 當(dāng)然,一次這樣的體驗(yàn)還不能形成這種品質(zhì),需要我們隨時注意,直至他養(yǎng)成這種優(yōu)秀的品質(zhì). 其實(shí),這個過程能培養(yǎng)孩子的學(xué)習(xí)動機(jī),增強(qiáng)其學(xué)習(xí)目的內(nèi)驅(qū)力,讓他覺得自己在成長,且從學(xué)習(xí)中獲得知識與能力是很愉快的事情,從而幫助孩子形成健康的人格.

    案例是經(jīng)同事本人口述后,筆者記錄整理的,有不妥之處,敬請指正.

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