一類帶有混合時變時滯的非線性切換系統的鎮(zhèn)定

李天瑞，董亞麗，張 燕

（天津工業(yè)大學理學院，天津 300387）

通過解（16）、（17）式可得

機械系統、通訊工程、空中交通管理、汽車工業(yè)以及許多其他領域提出了大量的切換系統控制問題[1-3]，引起了人們的極大關注.一個系統的穩(wěn)定性與控制器的設計是實際工程中最重要的部分，一個實際的系統必須是穩(wěn)定的或者魯棒鎮(zhèn)定的，否則該系統是不可能付諸工程實施的.因為只有系統本身是穩(wěn)定的，它才能妥善保持預定的工作狀態(tài)與效率，承受各種不利因素的影響.因此，在現實生活中研究切換系統的穩(wěn)定性及控制器設計的問題很有實際意義[4-6].近年來，大多數研究者對帶有時變時滯的線性系統的穩(wěn)定性問題已經作了深入透徹的研究，并獲得了一些較好的科研成果，然而，對于帶有時變時滯的非線性系統的穩(wěn)定性問題及控制器設計的研究成果卻很少.由于非線性時滯現象廣泛存在于液壓系統、漩渦發(fā)動機、核反應堆等實際控制系統中，而時滯的存在又常會引起該系統的不穩(wěn)定性，因此非線性時滯系統穩(wěn)定性問題成為近些年重要的研究對象[7-8].本文研究了一類帶有混合時變時滯的非線性切換系統的鎮(zhèn)定性問題.首先構造新穎的Lyapunov-Krasovskii泛函，然后通過對一些矩陣進行適當變形，利用平均駐留時間的方法，建立了帶有混合時變時滯的非線性切換系統指數鎮(zhèn)定的充分條件，并提出了該系統的控制器設計方法.

1 問題描述及預備知識

考慮如下帶有混合時變時滯的非線性切換系統

式中：x（t）∈Rn為狀態(tài)；u（t）∈Rm為控制輸入；切換信號σ（t）∶[0，∞]→M={1，2，…，l}為分段連續(xù)函數；l為子系統數；{（t0，σ（t0）），（t1，σ（t1）），…，（tk，σ（tk）），…}為切換序列；t0為切換初始時刻；tk為第k次切換時刻；Ai，Bi，Di，Ei，i∈M為常矩陣；φ（s）∈Rn為初始條件；時滯函數τ（t），h（t）滿足

非線性函數fi（x（t-h（t）），t）滿足

‖fi（x（t-h（t）），t）‖≤‖Vi（x（t-h（t）））‖

式中：Vi為已知的常矩陣.

對系統（1），本文考慮

形式的狀態(tài)反饋，Ki，i∈M為反饋增益矩陣.

定義1 系統（1）的平衡點x*=0稱為是指數穩(wěn)定的，如果系統（1）的解x（t）滿足

定義2 對任意的T2＞T1≥0，記Nσ（T1，T2）為切換信號σ（t）在區(qū)間（T1，T2）上的切換次數，給定N0≥0，τa≥0，如果

那么τa稱為平均駐留時間，一般取N0=0.

引理1[9]給定對稱矩陣S1，S2，S3且S1=S1T＜0，S3=S3T＞0，則S1+S2S3-1S2T＜0當且僅當

2 切換系統指數鎮(zhèn)定判據

定理1 對于給定的正常數α和μ≥1，如果存在正標量ρi和對稱正定矩陣Pi、Qi、Ri、Si、Ti，使得下面的矩陣不等式對任意的i，j∈M，i≠j成立：

式中：

其中時，系統（1）為指數鎮(zhèn)定的.

證明：考慮下面的Lyapunov-Krasovskii泛函

沿系統（1）的軌線，Vjσ(t)，j=1，2，3，4，5，對時間的導數為

由此可得：

由于‖fi（x（t-h（t），t））‖≤‖Vi（x（t-h（t）））‖，則對ρi＞0可以得到

由（9），（10）式可得

令ξ（t）=

由（7）、（11）式可得

其中Ξi由（7）式給出.因此有當t∈[tk，tk+1）時，（12）式兩邊取從tk到t的積分，可得

由式（13）和k=Nσ（t，t0）≤（t-t0）/τa，得到：

從（8）式可得

式中：

由（14），（15）式可得

即‖x（t）‖≤

因此系統（1）為指數鎮(zhèn)定的.

定理2 對于給定的正常數α和μ≥1，如果存在正標量ρi，對稱正定矩陣Xi、Gi、Oi、Li、Mi和矩陣Yi滿足下面的矩陣不等式：

式中：

被設計出.

證明：由于Gi＞0，Oi＞0所以可得到

從而有

式中：

設

利用式（20）及引理1，可以得到（7）式成立.根據定理1，系統（1）是指數鎮(zhèn)定的.

注1 對給定的ρi，式（16）和式（17）為線性矩陣不等式，可以利用Matlab LMI工具箱進行求解.

3 數值舉例

對于系統（1），在這里只考慮兩個子系統，并且各自系統參數如下：

取α=1.35，μ=1.6，τ=0.6，d=0.3，h=0.5，H= 0.4，ρ1=ρ2=0.6，那么可得

通過解（16）、（17）式可得

控制器收益可以通過（19）式求得：

因此，在狀態(tài)反饋（3）下，系統（1）是指數鎮(zhèn)定的.

4 結束語

本文研究了一類帶有混合時變時滯的非線性切換系統的鎮(zhèn)定性問題.首先構造Lyapunov-Krasovskii泛函，然后通過對一些矩陣的適當變形技術，并最終利用平均駐留時間的方法，建立了帶有混合時變時滯的非線性切換系統的鎮(zhèn)定性的充分條件，并且提出了該系統的控制器設計方法.通過Matlab軟件求解數值例，驗證了所獲得結果的有效性.

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