改進灰色證據(jù)理論的區(qū)間數(shù)決策方法研究

李存斌，趙 坤，2，苑嘉航

（1.華北電力大學經(jīng)濟與管理學院，北京 102206；2.國華能源投資有限公司，北京 100007）

多指標決策是一種基于多個指標屬性的情況下，選擇最優(yōu)方案排序的問題，其在實際生活中有著廣泛的應用[1].由于客觀世界的復雜性和人類認知的主觀不確定性，人們對事物的內(nèi)部發(fā)展變化規(guī)律不能給出合理的解釋.當面臨一些多指標決策問題時，對指標的描述往往也是模糊的、不精確的、灰色的.這種不精確的描述信息常常不是用實數(shù)來簡單表示，而是用區(qū)間數(shù)的形式來表達.因此，對于決策指標值為區(qū)間數(shù)、決策指標權(quán)重為區(qū)間數(shù)的多指標決策問題也引起了廣泛的關(guān)注[2-4].Zhang等[5]在區(qū)間數(shù)向量范數(shù)應用的基礎(chǔ)上，提出了使用灰色關(guān)聯(lián)分析區(qū)間數(shù)多指標決策；劉勇等[6]結(jié)合灰靶模型與前景理論，考慮決策人的風險態(tài)度，提出了一種區(qū)間數(shù)的多目標決策方法；王堅強等[7]擴展了區(qū)間數(shù)的范圍，提出了區(qū)間灰色區(qū)間數(shù)，并針對其多準則決策問題，提出了灰色模糊的決策方法；Jahanshahloo等[8]擴展了TOPSIS的應用范圍，利用相似理想解排序進行多指標區(qū)間數(shù)的決策.由于灰色關(guān)聯(lián)具有樣本數(shù)據(jù)少、易結(jié)合的優(yōu)點，上述文獻在研究中都成功地借鑒了灰色關(guān)聯(lián)理論，但卻忽略了決策過程中不確定性的問題.從不確定性的角度考慮，推理決策方法適合處理不確定性信息，提高決策能力.證據(jù)理論作為一種不確定性的推理方法，已被一些學者應用于決策領(lǐng)域中.潘巍[9]等分析比較了證據(jù)理論的決策規(guī)則，并提出了基于pignistic概率的決策規(guī)則.陳增明[10]把證據(jù)理論應用于群決策中，并對個體決策結(jié)果一致性分析方法進行了研究.雖然證據(jù)理論可以有效地處理不確定信息，但它也要求了證據(jù)之間的相互獨立性，因此也存在著無法處理沖突證據(jù)和基本概率賦值獲取困難的局限[11].許多學者對證據(jù)理論算法進行了改進，大致可以分為2種：①修改合成過程.如孫全等[12]針對證據(jù)合成中的悖論問題和改進后的Yager受限制的問題，在應用證據(jù)理論中可信度概念的基礎(chǔ)上，提出了新的合成公式.②修改證據(jù)源.王育紅等[13]通過理想屬性偏離度把區(qū)間數(shù)決策問題轉(zhuǎn)化成了確定性的決策問題，將灰色關(guān)聯(lián)分析法與D-S證據(jù)理論相結(jié)合，提出了信息不確定的提取方法和Mass函數(shù)，并研究了不同子集間信度函數(shù)和Mass函數(shù)之間的關(guān)系.李鵬[14]將區(qū)間數(shù)的決策問題擴展為區(qū)間直覺模糊數(shù)的決策問題，根據(jù)決策者的風險態(tài)度，定義了轉(zhuǎn)化算子，利用灰色關(guān)聯(lián)分析法從新定義了指標的不確信度，進而得到不同于王育紅的Mass函數(shù).改進的方法雖然很好地結(jié)合了灰色關(guān)聯(lián)和證據(jù)理論，明顯降低了融合后的整體不確信度，但仍存在一些不足.以上研究均通過各自的定義將區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化成實數(shù)進行后面的計算，但是實數(shù)作為一個精確值，過早地被運用于計算指標不確信度，會造成原本的區(qū)間數(shù)表達的信息丟失.而指標的不確信度是構(gòu)建Mass函數(shù)的重要基礎(chǔ)，如果它的值不準確會使融合結(jié)果中的整體不確定性增加，從而導致融合結(jié)果不準確.在灰色關(guān)聯(lián)結(jié)合證據(jù)理論的決策問題中，雖然有研究考慮了指標權(quán)重（決策者對于指標的偏好）的影響[15]，但是沒有研究將區(qū)間數(shù)決策問題中的指標權(quán)重納入Mass函數(shù)中，以致決策結(jié)果忽略了各指標權(quán)重的影響.基于上述分析，本文在王育紅等的研究成果基礎(chǔ)上，將灰色關(guān)聯(lián)和證據(jù)理論結(jié)合用于區(qū)間數(shù)決策問題中.引用定義理想距離矩陣，通過區(qū)分效益型指標和風險型指標確定了規(guī)范化決策矩陣，利用區(qū)間數(shù)熵權(quán)法求出指標的客觀權(quán)重，使用灰色關(guān)聯(lián)法分析加權(quán)區(qū)間數(shù)之間的距離，求出指標的不確信度，結(jié)合理想偏離度矩陣構(gòu)建Mass函數(shù)，最后利用證據(jù)理論進行信息融合，并與借鑒的成果相對比，得到了更為滿意的結(jié)果.

1 區(qū)間數(shù)及D-S證據(jù)理論

1.1 區(qū)間數(shù)的基本知識

設(shè)兩個區(qū)間數(shù)s1= [s1l，s1u]（s1l＜s1u） 和s2=[s2l，s2u]（s2l＜s2u），區(qū)間數(shù)的四則運算規(guī)則如下[16]：

s1+s2=[s1l+s2l，s1u+s2u]

s1×s2=[s1l×s2l，s1u×s2u]

定義1[17]兩個區(qū)間數(shù)的距離公式為：

定義2[18]區(qū)間數(shù)s1≥s2的可能度為：

式中：l1=s1u-s1l，l2=s2u-s2l，0≤P（s1≥s2）≤1.如果0.5≤P（s1≥s2）≤1，則判定s1≥s2；否則，s1＜s2.區(qū)間數(shù)越大，表明屬性屬于該評判等級的概率越高[19]. 1.2 區(qū)間數(shù)熵權(quán)法

指標權(quán)重的確定方法歸納起來包括主觀賦權(quán)方法、客觀賦權(quán)方法和主客觀賦權(quán)結(jié)合的方法.主觀賦權(quán)方法通過調(diào)研相關(guān)領(lǐng)域的多名專家根據(jù)其知識能力和工作經(jīng)驗對指標權(quán)重進行主觀判斷，并采用數(shù)學方法將指標權(quán)重量化表示，如AHP、ANP、三角模糊數(shù)、梯形相似模糊數(shù)等.客觀賦權(quán)方法依據(jù)決策矩陣中各個備選方案的指標值差異程度進行客觀賦權(quán).客觀賦權(quán)法適用于多指標決策時指標權(quán)重無明顯偏好的問題，采用客觀方法可以有效避免主觀賦權(quán)時權(quán)重所產(chǎn)生的主觀性，如離差最大化、理想偏離、熵權(quán)法等.主客觀賦權(quán)結(jié)合的方法主要是利用上述方法將決策問題的主觀權(quán)重和客觀權(quán)重分別求出，再通過離差最大化設(shè)定權(quán)重系數(shù)，最后的權(quán)重為主客觀的線性結(jié)合.針對區(qū)間數(shù)多指標決策問題的權(quán)重確定方法，為避免主觀賦權(quán)方法對決策結(jié)果對比的影響，本文采用客觀賦權(quán)法.而鑒于離差最大化和理想偏離方法賦權(quán)時的一些不足，本文借鑒文獻[20]的研究成果，利用熵權(quán)法計算指標值為區(qū)間數(shù)的指標權(quán)重.

設(shè)上下界信息熵的平均值ej可以表示指標Ij下各個備選方案區(qū)間數(shù)的偏差程度，則ej為Ij下各個備選方案區(qū)間數(shù)指標值的信息熵.

ej最大值為1，熵值最大時，指標對整體的貢獻最小，指標Ij下備選方案的重要程度越小，即相應的權(quán)重也越小，此時可用1-ej度量其重要程度，則區(qū)間數(shù)指標Ij的權(quán)重為：

1.3 D-S證據(jù)理論

D-S（dempster-shafer）證據(jù)理論是一種不確定性推理融合算法，它利用不確定性的評判和推斷，對評判和推斷中的一致性信息進行聚焦，對矛盾信息進行刪除和從新整合，最后得到結(jié)論[22].由于證據(jù)理論中需要的先驗數(shù)據(jù)相比于概率論中的推理等更容易獲得，且其核心算法Dempster合成規(guī)則可以融合不同信息源的數(shù)據(jù)，使得證據(jù)理論在情報分析、威脅評估、風險診斷、多屬性決策等多領(lǐng)域有著廣泛的應用.

定義3 識別框架Θ，識別框架是一個互斥非空有限集合，表示對整體的判斷，框架內(nèi)包含了對某事件推斷的所有可能假設(shè).

區(qū)間的上限稱為似然函數(shù) （plausibility function，pl），在識別框架Θ上似然函數(shù)定義為：

某假設(shè)的信任函數(shù)bel（A）和似然函數(shù)pl（A）組成信任區(qū)間[bel（A），pl（A）]，可以用來表示對這個假設(shè)的確認程度，如圖1所示.

圖1 信任函數(shù)與似然函數(shù)的關(guān)系Fig.1 Relationship between belief function and plausibility function

由圖1可以看出：

Dempster合成規(guī)則也稱證據(jù)合成公式，如式（9）所示：

對于識別框架Θ下n個證據(jù)m1，m2，…，mn的合成規(guī)則[13]如式（10）所示：

式中：A?Θ，m1，m2，…，mn為識別框架Θ上的Mass函數(shù).

D-S證據(jù)理論合成公式有交換性和結(jié)合性兩個重要特征.具體表述如下：

（1）m1⊕m2=m2⊕m1；

（2）m1⊕（m2⊕m3）=（m1⊕m2）⊕m3.

2 決策模型

2.1 區(qū)間數(shù)規(guī)范化與理想距離

針對某決策問題有m個備選方案，S=（S1，S2，…，Sm），對于方案的決策屬性有相應的n個評判指標，I=（I1，I2，…，In）.備選方案在指標下的值為sij，且sij=[sijl，siju]是一個區(qū)間數(shù)，0≤sijl≤siju，當sijl=siju時，區(qū)間數(shù)就會退化為實數(shù)，由sij構(gòu)成了初始的區(qū)間決策矩陣S=（sij）m×n.由于各指標的屬性不同，為了消除不同量綱對決策結(jié)果的影響，使指標屬性統(tǒng)一，需要對初始區(qū)間決策矩陣進行規(guī)范化處理，得到規(guī)范化區(qū)間矩陣S=（sij）m×n，sij=[sijl，siju].首先將指標屬性分類，分為效益型指標和風險型指標.對于效益型指標，有

對于風險型指標，有

根據(jù)區(qū)間數(shù)熵權(quán)法的權(quán)重ωj，得到加權(quán)區(qū)間數(shù)決策矩陣X=ωj×Sij=ωj×[sijl，siju]m×n=[xijl，xiju]m×n

通過區(qū)間數(shù)距離公式（1），計算各指標值關(guān)于理想?yún)^(qū)間數(shù)的距離d，令gij=d（sij，sj*），構(gòu)建理想距離矩陣G=（gij）m×n.如果距離越大，說明該指標值與設(shè)定的理想?yún)^(qū)間的偏差就越大，那么該指標值在決策過程中被視為較佳的選項.反之，則被視為較差的選項.

2.2 改進的灰色Mass函數(shù)

確定指標的不確信度是得到多方案Mass函數(shù)的關(guān)鍵，為避免區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化中原有的信息丟失，本文以原決策矩陣中區(qū)間指標值為基礎(chǔ)，運用灰關(guān)聯(lián)法來計算指標的不確信度.

指標Ij的q階不確信度為：

式中：q=2；rij為綜合灰關(guān)聯(lián)系數(shù)，rij=1/（1+rij+/rij-）2；rij+為最優(yōu)關(guān)聯(lián)系數(shù)；rij-為最劣關(guān)聯(lián)系數(shù).使用最優(yōu)最劣兩個關(guān)聯(lián)系數(shù)求解可以提高結(jié)果的準確性，避免結(jié)果失真.

在確定各指標的不確信度后，通過公式（7）計算各指標基本概率分配：

3 決策步驟

綜上所示，可以得到改進灰色關(guān)聯(lián)和D-S證據(jù)理論的決策步驟.

（1）確定初始風險矩陣Sij=（sij）m×n=[sijl，siju]m×n，判斷指標的屬性，通過公式（11）和（12）求出規(guī)范化決策矩陣Sij=（sij）m×n=[sijl，siju]m×n.通過距離公式求出Sij與各指標下的理想?yún)^(qū)間數(shù)的距離矩陣G=（gij）m×n，標準化后得Y=（yij）m×n.

（2）應用區(qū)間熵權(quán)理論，求得各指標的權(quán)重ωj（j= 1，2，…，n）.得到加權(quán)風險矩陣X=ω×Sij=[xijl，xiju]m×n.

（3）判斷加權(quán)決策矩陣中的最優(yōu)理想序列和最劣理想序列，通過公式（14）和（15）確定最優(yōu)關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣和最劣關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣，進而得到綜合關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣，由公式（13）得到指標Ij下的不確信度DOI（Ij）.

（4）由公式（16）計算Mass函數(shù)mj（i）并確定整體不確定的Mass函數(shù)mj（i+1）.

（5）應用公式（10）進行Mass函數(shù)的合成，得到證據(jù)對各方案的置信度，對備選方案進行排序得出結(jié)論.

4 算例分析

本文為了證明提出的改進有效，引用文獻[13]的算例，并與之前的算法進行對比.有房地產(chǎn)的投資決策方案S={S1，S2，S3，S4}.該投資項目有5個評價指標I1、I2、I3、I4、I5分別表示房屋的面積、設(shè)施水平、小區(qū)環(huán)境、房屋價格和小區(qū)與工作單位的距離.其中房屋的面積、設(shè)施水平、小區(qū)環(huán)境為效益型指標，房屋價格和小區(qū)與工作單位的距離是風險型指標.4種投資方案的初始決策區(qū)間值如表1所示.

表1 各方案的初始指標值Tab.1 Initial index value of each project

根據(jù)公式（11）和（12）對初始矩陣進行規(guī)范化處理，得到規(guī)范化區(qū)間值如表2所示.

利用區(qū)間熵權(quán)法求解指標的權(quán)重，首先要求得各個方案指標值的上界和下界決策矩陣：

下界序列信息熵：e1-=0.991 1，e2-=0.965 6，e3-= 0.981 0，e4-=0.999 6，e5-=0.991 9.上界序列信息熵：e1+=0.987 8，e2+=0.968 0，e3+=0.988 4，e4+=0.999 7，e5+=0.993 1.通過公式（6）計算決策方案中各指標的權(quán)重：ω1=0.193 6，ω2=0.507 9，ω3=0.184 1，ω4= 0.004 7，ω5=0.109 5.

通過對各個區(qū)間數(shù)的距離判斷，找出最優(yōu)理想?yún)^(qū)間序列和最劣理想?yún)^(qū)間序列，通過公式（14）和（15）求出最優(yōu)關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣Rij+和最劣關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣Rij-，并求出綜合關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣R.

各指標的不確信度為：

DOI（I1）=0.218 8，DOI（I2）=0.173 3，DOI（I3）= 0.191 8，DOI（I4）=0.162 7.根據(jù)定義的理想?yún)^(qū)間數(shù)，得到理想偏離度矩陣和標準化決策矩陣Y=（yij）m×n，構(gòu)建整體不確定的Mass函數(shù)：

在Mass函數(shù)矩陣中，整體不確定性的Mass函數(shù)為：m1（5）=0.218 8，m2（5）=0.173 2，m3（5）=0.191 7，m4（5）=0.162 7，m5（5）=0.180 6.令Θ={S1，S2，S3，S4}，并取2Θ={{S1}，{S2}，{S3}，{S4}，{S1，S2，S3，S4}}，通過D-S證據(jù)理論合成Θ中各子集的信度函數(shù)：

bel（A1）=（m1⊕m2⊕m3⊕m4⊕m5）（A1）=0.415 5

bel（A2）=（m1⊕m2⊕m3⊕m4⊕m5）（A2）=0.276 9

表2 規(guī)范化后的各方案指標值Tab.2 Standard index value of each project

bel（A3）=（m1⊕m2⊕m3⊕m4⊕m5）（A3）=0.253 9

bel（A4）=（m1⊕m2⊕m3⊕m4⊕m5）（A4）=0.047 2

bel（A1，A2，A3，A4）=（m1⊕m2⊕m3⊕m4⊕m5）（A1，A2，A3，A4）=0.006 4

根據(jù)信度函數(shù)最大化的原則，決策者在風險中性的態(tài)度（即沒有主觀權(quán)重）下應選取S1方案，4個備選方案的選擇排序應為S1＞S2＞S3＞S4，在信息融合之后，整體不確定性的信度函數(shù)值由最初的18.66%下降到0.64%.原文結(jié)果與本文結(jié)果的對比如表3所示.

表3 原文結(jié)果與本文結(jié)果的對比Tab.3 Comparison of previous and this paper′s results %

由表3可知，對比于原文獻中的結(jié)果，方案排序選擇相同，但本文的初始指標不確定性（平均值18.66%）和整體不確定性（0.64%）都大幅度降低，而且融合結(jié)果中方案的優(yōu)劣也較前文更明顯.方案1的信度增加（原文結(jié)果為36.43%）；而方案4的信度降低（原文結(jié)果為7.5%）；方案2和方案3之間的差距也較原文結(jié)果有所拉大，說明方案2優(yōu)于方案3.融合結(jié)果更有利于決策者做出決策.

5 結(jié)束語

本文對灰色關(guān)聯(lián)和D-S證據(jù)理論相結(jié)合的區(qū)間數(shù)決策方法進行改進，區(qū)分決策中效益型指標和風險型指標，規(guī)范化決策矩陣，利用區(qū)間熵權(quán)法求出權(quán)重，并代入決策矩陣中，通過加權(quán)區(qū)間數(shù)矩陣求出指標不確信度.由理想偏離度矩陣和指標不確信度構(gòu)建Mass函數(shù)，最終應用Dempster合成法則對信息進行融合.對比之下，改進的結(jié)果降低了整體不確信度，增加了各方案置信度的差距，更為符合決策者的需求，更利于投資者進行決策.

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