重點突擊 深度挖掘 橫向延伸

夏利波

小學數(shù)學教材中出現(xiàn)的數(shù)學概念看上去簡單，但要挖掘內(nèi)涵、展示外延，讓小學生充分理解概念的本質(zhì)卻有一定的難度。如人教版五年級下“分數(shù)的意義”，就是一節(jié)相對比較抽象的概念課，如果僅僅把本課的教學目標定位在對分數(shù)意義淺層次的復述和模仿層面，顯然無法滿足學生對分數(shù)本質(zhì)探求的需要。在經(jīng)歷多輪課堂教學實踐后，筆者發(fā)現(xiàn)，要想使學生對分數(shù)意義的本質(zhì)屬性有充分的理解和感悟，必須進行以下幾點拓展。

一、 重點突擊——積極建構單位 “1”

1.從一個物體的“1”擴展到一群物體的“1”

對于“1”的理解，學生的認識并不是一張白紙，從一年級開始，學生就知道1個物體（1個蘋果、1個人……）可以用“1”來表示，這種固有的認識在腦海中可謂是根深蒂固。因此要將學生的思維從一個物體的“1”拓展到多個物體組成的單位“1”，并不是一件簡單的事。

而綜觀教材，對于分數(shù)的序列知識也是按照螺旋上升的梯度排列的。在人教版三年級“分數(shù)的初步認識”中，教材重點讓學生理解把一個圖形、一個物體平均分成若干份，表示這樣的1份或幾份，可以用分數(shù)來表示。而在五年級“分數(shù)的意義”中，教學重點則切換為“把多個物體組成的整體1平均分成若干份，表示這樣1份或幾份可以用分數(shù)來表示。

顯然，如果學生不能很好地理解單位“1”的含義，就會影響其對分數(shù)意義的理解，對后續(xù)的學習也會產(chǎn)生不利影響。基于此，筆者在設計教學環(huán)節(jié)時，將單個“1”到整體“1”的擴展作為“分數(shù)的意義”一課教學的一個重點，并將其放在第一個教學環(huán)節(jié)中，為學生真正理解分數(shù)的意義搭好橋、鋪好路。

【片段一】

師：生活中，哪些物體的數(shù)量可以用1來表示呢？

生：一支鉛筆可以用1來表示；一個人可以用1來表示。

生：一間教室也可以用1表示。

師：想一想：還有什么也能用1來表示？（學生們遲疑了一會兒）

生：一個班級也可以用1來表示。

（學生們將信將疑，看起來不是非常認同）

師：你能給大家解釋一下好嗎？

生：我們班有38個同學，是一個班級，就可以用“1”來表示。

師：說得真好，這樣的例子你還能舉嗎？

（這時學生們聽明白了，紛紛舉手想要表達）

生：一盤蘋果可以用“1”來表示。

生：一組8個同學可以用“1”來表示。

師：想一想：這時候的“1”和我們以前認識的“1”有什么不同？

生：以前的“1”表示1個物體，而現(xiàn)在的“1”可以由很多個物體組成。

師：一個物體、一些物體都可以看作一個整體，這個整體通常叫作單位“1”。

當有學生舉例一個班級可以用“1”來表示時，一部分學生已經(jīng)有所頓悟，但是大多數(shù)學生對于這個例子仍有所質(zhì)疑。但當該學生做了進一步解釋后，大多數(shù)學生也開始認識到“1”可表示多個物體，并能結合自身經(jīng)驗舉出更多實例。

通過學生自己舉例、質(zhì)疑、交流、解釋、頓悟，自然地引出單位“1”，并在學生頭腦中形成層次豐富的單位“1”的表象。但教學設計并未在此處停留，而是乘勢而上，繼續(xù)擴容單位“1”。筆者又借用了長度單位、質(zhì)量單位的意義，將學生置身于不同的教學情境中，讓學生進一步感悟：圖形、物體、計量單位都可以是單位“1”的構成資源，讓學生對單位“1”的豐富內(nèi)涵有更深刻的了解。

2. 從被動選擇單位“1”到主動選擇單位“1”

在單位“1”多層次表象建立之后，要真正實現(xiàn)對單位“1”意義的建構，幫助學生完成從數(shù)1到單位“1”的實質(zhì)性跨越，還需要借助畫一畫、分一分的實踐操作，讓學生在主動選擇合適的單位“1”的過程中，充分暴露其所思所想，經(jīng)歷碰撞與融合，從而真正觸及單位“1”的本質(zhì)。

【片段二】

師：你能用圖來表示嗎？

從學生的作品中可以看出，大多數(shù)學生把一個物體、一個圖形平均分為4份，用一份表示出。也有一部分學生已經(jīng)從一個物體想到了一些物體，有用4個圓形看作一個整體，平均分為4份，1個圓形用來表示；也有學生用8個蘋果平均分為4份，2個蘋果用來表示。但從作品中可以明顯地看出學生對單位“1”的認識還是有不足之處的（如圖1）。

圖1 圖2

生1：（圖1）把4個正方形平均分為4份，1個正方形就可以用來表示。（沒想到生1的回答立即招來幾個同學的質(zhì)疑）

生2：1個正方形應該用“1”來表示，要表示應該把4個正方形圈起來。

師：從剛才生1畫的圖中你能看出4個正方形是單位“1”嗎？

生3：先要把4個正方形圈起來看作一個整體，再把它們平均分為4份。

（生1恍然大悟）

教師隨即畫上集合圈（圖2），這時學生已經(jīng)認識到：要表示，關鍵是把一個整體看成單位“1”，再把單位“1” 平均分。此時，學生對單位“1”的理解已有所深入。

二、深度挖掘——縱向理解分數(shù)意義

什么才是分數(shù)的真正意義？學生怎樣才能從本質(zhì)上理解分數(shù)的意義？事實上，學生對于分數(shù)意義的理解，除了在腦海中積極構建起單位“1”的真正含義之外，還應該借助不同的具體情境，通過操作與比較、體驗與交流等活動，從求同思考與求異比較兩個方面層層深入。

1.求同思考，凸顯分數(shù)的本質(zhì)屬性

在學生創(chuàng)作的不同的四分之一的草圖中，通過交流各圖的基本含義后，重點引導學生抓住“分的物體不一樣，為什么都可以用來表示？”以及“分的數(shù)量不一樣，為什么都可以用來表示呢？”這樣兩個層面的問題進行求同比較。

【片段三】

生：我把4個圓看成一個整體，平均分成4份，這樣的1份就是

生：我把8個三角形看成一個整體，平均分成4份，這樣的1份就是endprint

生：我把12個蘋果看成單位“1”，平均分成4份，每份就是。

師：想一想：這幾幅圖為什么都可以用來表示？

生：都把單位“1”平均分成了4份，表示這樣的1份。

這樣的教學設計意在讓學生通過對的理解，進一步深化為對分數(shù)意義的理解：要準確表示，與單位“1”中所包含的數(shù)量多少沒有關系，只是和它是否被平均分成4份，表示這樣的1份有關。在這一過程中，學生不僅理解了的意義，也為后續(xù)自主學習幾分之幾的含義做好了鋪墊。

2.求異比較，明晰概念的本質(zhì)屬性

通過多層次、多角度理解的意義之后，接著教師提出“你還想研究幾分之幾？”的學習任務，引領學生進入到對8個小正方形分一分、畫一畫，創(chuàng)造出不同分數(shù)的自主學習環(huán)節(jié)，展開對分數(shù)意義更加深入的理解環(huán)節(jié)。

【片段四】

師：練習紙上有8個小正方形，請大家分一分，畫一畫，寫出你喜歡的分數(shù)。

生：我把8個小正方形平均分成8份，3份是。

生：我把8個小正方形平均分成8份，4份是。

生：我把8個小正方形平均分成4份，2份是。

生：我把8個小正方形平均分成2份，1份是。

師：觀察同學們剛才交流的三幅圖，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（ ） （ ） （ ）

生：涂色部分都是4個正方形，表示的分數(shù)卻不相同。

生：因為它們平均分成的份數(shù)不同，而且表示的份數(shù)也不同。

師：也就是說，平均分成的份數(shù)不同，表示的分數(shù)也不同。

師：我們剛才是怎樣得到這些分數(shù)的？你能用一句話來說說什么是分數(shù)嗎？

生：把單位1平均分成幾份，表示這樣的幾份就是分數(shù)。

通過自主創(chuàng)造分數(shù)的教學環(huán)節(jié)引導學生進行“求異比較”：為什么同樣的8個小正方形表示的分數(shù)卻各不相同？抽象概括出單位“1”是什么不重要，關鍵是把“1”平均分成多少份，表示這樣的幾份，這才是分數(shù)的本質(zhì)屬性。

因此，同樣8個小正方形，平均分的份數(shù)不同，所表示的分數(shù)就不同。學生在反思、質(zhì)疑中理解：同樣的圖形，得到不同分數(shù)的原因在于平均分的份數(shù)不同。通過相同與不同的對比辨析之后，讓學生進一步明確分數(shù)意義的本質(zhì)屬性。

三、橫向延伸——擴展分數(shù)意義的外延

美國著名教育家布魯納說過：“學生獲得的知識如果沒有完整的結構把它聯(lián)系起來，那么多半會被遺忘?！睂W生已經(jīng)知道了分數(shù)的本質(zhì)含義，但如果沒有及時納入到已有的知識體系中，那么對分數(shù)的理解還是處于零散的狀態(tài)。要讓學生明白分數(shù)是小學認識數(shù)概念的一次重要擴展，分數(shù)和整數(shù)、小數(shù)一樣也是一種數(shù)，每個分數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個對應的點，從而建構起完整的數(shù)概念，幫助學生明白分數(shù)也能表示事物的數(shù)量。

【片段五】

師：同學們，老師把剛才同學用來表示的線段變了一變，變成了下面這樣，大家在圖上看到了什么？我們以前學過的2，3在哪里呢？

0 1

師：想一想：你能指出剛才我們學過的和在哪里嗎？

生：把0～1之間看作單位1，先把這一段平均分成4份，第一個點就表示，第三個點就可以用表示。

如果本節(jié)課的教學到此戛然而止，學生可能會誤解為分數(shù)總是比1小，從而形成思維上的僵化。因此在這時教師應繼續(xù)追問：數(shù)軸上1到2之間的數(shù)是不是也可以用分數(shù)來表示呢？

師：我們把1到2之間平均分成4份，1后面的這個點你能用分數(shù)來表示嗎？

生：可以用來表示。

生：不行，1就是， 比還要小。

生：應該用來表示。

師：這個點到底用還是用來表示，我們以后還將繼續(xù)學習。

在學生獲得分數(shù)的意義之后，利用數(shù)軸這一載體，引導學生找到已學整數(shù)和新學分數(shù)在數(shù)軸中的不同位置，使學生認識到分數(shù)也是一個具體的數(shù)，同樣可以在數(shù)軸上找到相應的位置。這樣不僅將真分數(shù)延伸到了假分數(shù)，在抽象層面建構起分數(shù)的一般意義，更溝通了分數(shù)、整數(shù)和“1”之間的聯(lián)系，形成辯證的自我認知。

教學中，筆者根據(jù)教學所需，對教學內(nèi)容進行了重組和建構。從學生的生活經(jīng)驗和已有的認知出發(fā)，將分數(shù)的概念轉(zhuǎn)變成學生可以實際探究的具體情境，在學生思維沖突、意義重建的過程中逐步豐滿分數(shù)意義的表象，幫助學生對分數(shù)內(nèi)涵的自我建構。這樣做不僅突出了單位“1”的地位，更縱向剖析了分數(shù)的本質(zhì)含義，橫向延伸了分數(shù)的外延，從而使學生經(jīng)歷了更為厚實、豐富、寬廣的分數(shù)意義的探索過程，建構起了屬于學生自己的數(shù)學知識體系。

（浙江省寧波市荷花莊小學 315040）endprint

生：我把12個蘋果看成單位“1”，平均分成4份，每份就是。

師：想一想：這幾幅圖為什么都可以用來表示？

生：都把單位“1”平均分成了4份，表示這樣的1份。

這樣的教學設計意在讓學生通過對的理解，進一步深化為對分數(shù)意義的理解：要準確表示，與單位“1”中所包含的數(shù)量多少沒有關系，只是和它是否被平均分成4份，表示這樣的1份有關。在這一過程中，學生不僅理解了的意義，也為后續(xù)自主學習幾分之幾的含義做好了鋪墊。

2.求異比較，明晰概念的本質(zhì)屬性

通過多層次、多角度理解的意義之后，接著教師提出“你還想研究幾分之幾？”的學習任務，引領學生進入到對8個小正方形分一分、畫一畫，創(chuàng)造出不同分數(shù)的自主學習環(huán)節(jié)，展開對分數(shù)意義更加深入的理解環(huán)節(jié)。

【片段四】

師：練習紙上有8個小正方形，請大家分一分，畫一畫，寫出你喜歡的分數(shù)。

生：我把8個小正方形平均分成8份，3份是。

生：我把8個小正方形平均分成8份，4份是。

生：我把8個小正方形平均分成4份，2份是。

生：我把8個小正方形平均分成2份，1份是。

師：觀察同學們剛才交流的三幅圖，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（ ） （ ） （ ）

生：涂色部分都是4個正方形，表示的分數(shù)卻不相同。

生：因為它們平均分成的份數(shù)不同，而且表示的份數(shù)也不同。

師：也就是說，平均分成的份數(shù)不同，表示的分數(shù)也不同。

師：我們剛才是怎樣得到這些分數(shù)的？你能用一句話來說說什么是分數(shù)嗎？

生：把單位1平均分成幾份，表示這樣的幾份就是分數(shù)。

通過自主創(chuàng)造分數(shù)的教學環(huán)節(jié)引導學生進行“求異比較”：為什么同樣的8個小正方形表示的分數(shù)卻各不相同？抽象概括出單位“1”是什么不重要，關鍵是把“1”平均分成多少份，表示這樣的幾份，這才是分數(shù)的本質(zhì)屬性。

因此，同樣8個小正方形，平均分的份數(shù)不同，所表示的分數(shù)就不同。學生在反思、質(zhì)疑中理解：同樣的圖形，得到不同分數(shù)的原因在于平均分的份數(shù)不同。通過相同與不同的對比辨析之后，讓學生進一步明確分數(shù)意義的本質(zhì)屬性。

三、橫向延伸——擴展分數(shù)意義的外延

美國著名教育家布魯納說過：“學生獲得的知識如果沒有完整的結構把它聯(lián)系起來，那么多半會被遺忘。”學生已經(jīng)知道了分數(shù)的本質(zhì)含義，但如果沒有及時納入到已有的知識體系中，那么對分數(shù)的理解還是處于零散的狀態(tài)。要讓學生明白分數(shù)是小學認識數(shù)概念的一次重要擴展，分數(shù)和整數(shù)、小數(shù)一樣也是一種數(shù)，每個分數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個對應的點，從而建構起完整的數(shù)概念，幫助學生明白分數(shù)也能表示事物的數(shù)量。

【片段五】

師：同學們，老師把剛才同學用來表示的線段變了一變，變成了下面這樣，大家在圖上看到了什么？我們以前學過的2，3在哪里呢？

0 1

師：想一想：你能指出剛才我們學過的和在哪里嗎？

生：把0～1之間看作單位1，先把這一段平均分成4份，第一個點就表示，第三個點就可以用表示。

如果本節(jié)課的教學到此戛然而止，學生可能會誤解為分數(shù)總是比1小，從而形成思維上的僵化。因此在這時教師應繼續(xù)追問：數(shù)軸上1到2之間的數(shù)是不是也可以用分數(shù)來表示呢？

師：我們把1到2之間平均分成4份，1后面的這個點你能用分數(shù)來表示嗎？

生：可以用來表示。

生：不行，1就是， 比還要小。

生：應該用來表示。

師：這個點到底用還是用來表示，我們以后還將繼續(xù)學習。

在學生獲得分數(shù)的意義之后，利用數(shù)軸這一載體，引導學生找到已學整數(shù)和新學分數(shù)在數(shù)軸中的不同位置，使學生認識到分數(shù)也是一個具體的數(shù)，同樣可以在數(shù)軸上找到相應的位置。這樣不僅將真分數(shù)延伸到了假分數(shù)，在抽象層面建構起分數(shù)的一般意義，更溝通了分數(shù)、整數(shù)和“1”之間的聯(lián)系，形成辯證的自我認知。

教學中，筆者根據(jù)教學所需，對教學內(nèi)容進行了重組和建構。從學生的生活經(jīng)驗和已有的認知出發(fā)，將分數(shù)的概念轉(zhuǎn)變成學生可以實際探究的具體情境，在學生思維沖突、意義重建的過程中逐步豐滿分數(shù)意義的表象，幫助學生對分數(shù)內(nèi)涵的自我建構。這樣做不僅突出了單位“1”的地位，更縱向剖析了分數(shù)的本質(zhì)含義，橫向延伸了分數(shù)的外延，從而使學生經(jīng)歷了更為厚實、豐富、寬廣的分數(shù)意義的探索過程，建構起了屬于學生自己的數(shù)學知識體系。

（浙江省寧波市荷花莊小學 315040）endprint

生：我把12個蘋果看成單位“1”，平均分成4份，每份就是。

師：想一想：這幾幅圖為什么都可以用來表示？

生：都把單位“1”平均分成了4份，表示這樣的1份。

這樣的教學設計意在讓學生通過對的理解，進一步深化為對分數(shù)意義的理解：要準確表示，與單位“1”中所包含的數(shù)量多少沒有關系，只是和它是否被平均分成4份，表示這樣的1份有關。在這一過程中，學生不僅理解了的意義，也為后續(xù)自主學習幾分之幾的含義做好了鋪墊。

2.求異比較，明晰概念的本質(zhì)屬性

通過多層次、多角度理解的意義之后，接著教師提出“你還想研究幾分之幾？”的學習任務，引領學生進入到對8個小正方形分一分、畫一畫，創(chuàng)造出不同分數(shù)的自主學習環(huán)節(jié)，展開對分數(shù)意義更加深入的理解環(huán)節(jié)。

【片段四】

師：練習紙上有8個小正方形，請大家分一分，畫一畫，寫出你喜歡的分數(shù)。

生：我把8個小正方形平均分成8份，3份是。

生：我把8個小正方形平均分成8份，4份是。

生：我把8個小正方形平均分成4份，2份是。

生：我把8個小正方形平均分成2份，1份是。

師：觀察同學們剛才交流的三幅圖，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（ ） （ ） （ ）

生：涂色部分都是4個正方形，表示的分數(shù)卻不相同。

生：因為它們平均分成的份數(shù)不同，而且表示的份數(shù)也不同。

師：也就是說，平均分成的份數(shù)不同，表示的分數(shù)也不同。

師：我們剛才是怎樣得到這些分數(shù)的？你能用一句話來說說什么是分數(shù)嗎？

生：把單位1平均分成幾份，表示這樣的幾份就是分數(shù)。

通過自主創(chuàng)造分數(shù)的教學環(huán)節(jié)引導學生進行“求異比較”：為什么同樣的8個小正方形表示的分數(shù)卻各不相同？抽象概括出單位“1”是什么不重要，關鍵是把“1”平均分成多少份，表示這樣的幾份，這才是分數(shù)的本質(zhì)屬性。

因此，同樣8個小正方形，平均分的份數(shù)不同，所表示的分數(shù)就不同。學生在反思、質(zhì)疑中理解：同樣的圖形，得到不同分數(shù)的原因在于平均分的份數(shù)不同。通過相同與不同的對比辨析之后，讓學生進一步明確分數(shù)意義的本質(zhì)屬性。

三、橫向延伸——擴展分數(shù)意義的外延

美國著名教育家布魯納說過：“學生獲得的知識如果沒有完整的結構把它聯(lián)系起來，那么多半會被遺忘?！睂W生已經(jīng)知道了分數(shù)的本質(zhì)含義，但如果沒有及時納入到已有的知識體系中，那么對分數(shù)的理解還是處于零散的狀態(tài)。要讓學生明白分數(shù)是小學認識數(shù)概念的一次重要擴展，分數(shù)和整數(shù)、小數(shù)一樣也是一種數(shù)，每個分數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個對應的點，從而建構起完整的數(shù)概念，幫助學生明白分數(shù)也能表示事物的數(shù)量。

【片段五】

師：同學們，老師把剛才同學用來表示的線段變了一變，變成了下面這樣，大家在圖上看到了什么？我們以前學過的2，3在哪里呢？

0 1

師：想一想：你能指出剛才我們學過的和在哪里嗎？

生：把0～1之間看作單位1，先把這一段平均分成4份，第一個點就表示，第三個點就可以用表示。

如果本節(jié)課的教學到此戛然而止，學生可能會誤解為分數(shù)總是比1小，從而形成思維上的僵化。因此在這時教師應繼續(xù)追問：數(shù)軸上1到2之間的數(shù)是不是也可以用分數(shù)來表示呢？

師：我們把1到2之間平均分成4份，1后面的這個點你能用分數(shù)來表示嗎？

生：可以用來表示。

生：不行，1就是， 比還要小。

生：應該用來表示。

師：這個點到底用還是用來表示，我們以后還將繼續(xù)學習。

在學生獲得分數(shù)的意義之后，利用數(shù)軸這一載體，引導學生找到已學整數(shù)和新學分數(shù)在數(shù)軸中的不同位置，使學生認識到分數(shù)也是一個具體的數(shù)，同樣可以在數(shù)軸上找到相應的位置。這樣不僅將真分數(shù)延伸到了假分數(shù)，在抽象層面建構起分數(shù)的一般意義，更溝通了分數(shù)、整數(shù)和“1”之間的聯(lián)系，形成辯證的自我認知。

教學中，筆者根據(jù)教學所需，對教學內(nèi)容進行了重組和建構。從學生的生活經(jīng)驗和已有的認知出發(fā)，將分數(shù)的概念轉(zhuǎn)變成學生可以實際探究的具體情境，在學生思維沖突、意義重建的過程中逐步豐滿分數(shù)意義的表象，幫助學生對分數(shù)內(nèi)涵的自我建構。這樣做不僅突出了單位“1”的地位，更縱向剖析了分數(shù)的本質(zhì)含義，橫向延伸了分數(shù)的外延，從而使學生經(jīng)歷了更為厚實、豐富、寬廣的分數(shù)意義的探索過程，建構起了屬于學生自己的數(shù)學知識體系。

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