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    非精確線搜索條件下共軛梯度法的收斂性分析

    2014-11-15 04:07:10鞠靜潔龐德艷杜守強(qiáng)
    關(guān)鍵詞:共軛收斂性步長

    鞠靜潔,龐德艷,杜守強(qiáng)

    (青島大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 青島 266071)

    0 引言

    討論無約束最優(yōu)化問題

    其中f為RN上的可微函數(shù).本文中‖·‖為歐幾里得范數(shù).

    共軛梯度法自創(chuàng)立以來就被廣泛應(yīng)用于解無約束最優(yōu)化問題,是求解大規(guī)模無約束優(yōu)化問題的一種很有效的方法[1-11],原因在于它在計(jì)算過程中只需要目標(biāo)函數(shù)值和梯度函數(shù)值,不需要矩陣存儲(chǔ),卻比最速下降法有更好的數(shù)值效果,如由Hideaki與Yasushi提出的使用目標(biāo)函數(shù)值的共軛梯度法.

    傳統(tǒng)的求解問題(1)的共軛梯度法的迭代公式為

    其中g(shù)k=▽f(xk),αk>0是步長,dk是搜索方向,βk是一個(gè)參數(shù).

    本文將介紹兩種改進(jìn)的共軛梯度法,它們的步長都是由一種新的Wolfe線搜索方法[5]

    本文結(jié)構(gòu)為:在第1、2部分中將分別給出在新的Wolfe型線搜索條件下的兩種算法,并詳細(xì)介紹其收斂性質(zhì);第3部分給出這兩種算法在其它的非精確線搜索條件下的一些討論;最后,分別給出這幾種算法的數(shù)值實(shí)例以說明它們的有效性.

    1 算法Ⅰ及其收斂性分析

    算法Ⅰ

    步驟0:選取初始點(diǎn)x1∈RN,給定參數(shù)0<ρ<,0<σ<1且ρ<σ,容許誤差0<ε?1,令d1=-g1,k=1.

    步驟1:給定xk,dk∈RN,計(jì)算滿足不等式(4),(5)的αk>0.由(2)式計(jì)算xk+1∈RN.

    步驟2:若gk+1=0,停止.否則轉(zhuǎn)第3步.

    步驟3:由(6)式計(jì)算βk+1∈R,計(jì)算搜索方向

    步驟4:令k=k+1.轉(zhuǎn)到步驟1.

    為了建立算法Ⅰ的全局收斂性,先給出如下假設(shè)及引理.

    假設(shè)1 A1)f:RN→R在水平集Γ={x∈RN:f(x)≤f(x1)}中有下界,x1∈RN為初始點(diǎn).A2)▽f:RN→RN在Γ的某個(gè)鄰域N中是Lipsichitz連續(xù)的,即存在L>0滿足

    引理1 若假設(shè)1成立,則Wolfe型線搜索方法(4)和(5)可行.

    引理1的證明見文獻(xiàn)[5].

    引理2 算法Ⅰ中的序列(dk)k∈N滿足下降條件,即gkTdk<0(k∈N).

    證 顯然d=-g∈RN滿足gTd<0.設(shè)gTd <0對(duì)任意n∈N成立,則由不等式(4)知1111nn

    若gTn+1dn≤0,則

    因此,由歸納法可知gTkdk<0(k∈N).

    引理3 設(shè)假設(shè)1成立,并結(jié)合等式(2)的任意方法,這里αk滿足不等式(4),(5),則

    證 由線搜索(4),(5)及假設(shè)1可知(2σ+L)αk‖dk‖2≥-gTkdk,從而有

    對(duì)上式兩邊同時(shí)平方可得

    由(4)式可知

    引理得證.

    由假設(shè)1和引理3可推出如下引理.

    引理4 設(shè)假設(shè)1成立,且βk滿足

    則由等式(2)和(3)產(chǎn)生的(xk)k∈N在穩(wěn)定點(diǎn)停止或者在收斂點(diǎn)停止,即

    證 若‖gk0‖=0(k0∈N),則立即可得結(jié)果.考慮‖gk‖≠0(k∈N)的情形.由等式(3),有

    從而

    因此,對(duì)于?k∈N,有

    從而有

    假設(shè)存在c1>0,對(duì)?k∈N,有‖gk‖≥c1,則可得

    這證明了

    定理1 設(shè)假設(shè)1成立,則算法Ⅰ在一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)停止或者收斂,即

    證 不等式(4)和引理2說明對(duì)?k∈N,有

    因此可得βk>0(?k∈N).再由引理2,對(duì)?k∈N,有

    搜索方向的定義及(6)式保證了

    因此,對(duì)?k∈N,有

    這確保了(βk+1)k≥1滿足引理4中的條件.因此算法Ⅰ全局收斂.

    2 算法Ⅱ及其收斂性分析

    算法Ⅱ

    步驟0:選取初始點(diǎn)x1∈RN,給定參數(shù),容許誤差0<ε?1,令d1=-g1,k=1.

    步驟1:給定xk,dk∈RN,由不等式(4),(5)計(jì)算步長αk>0.由(2)式計(jì)算xk+1∈RN.

    步驟2:若gk+1=0,停止.否則轉(zhuǎn)第3步.

    步驟3:由(7)式計(jì)算βk+1∈R,再由(8)計(jì)算搜索方向dk+1.

    步驟4:令k=k+1.轉(zhuǎn)到步驟1.

    同算法Ⅰ一樣,在給出算法Ⅱ的全局收斂性之前先給出一些假設(shè)與性質(zhì).

    假設(shè)2 A3)水平集Γ?RN在初始點(diǎn)有界.

    引理5[7]結(jié)合等式(2),(3)的方法,設(shè)γ>0,且對(duì)任意k∈N,存在,使得γ≤‖gk‖≤.若b>1,且存在λ>0,使得|β|≤b,且‖s‖≤λ(s=x-x),則|β|≤.kkkk+1kk

    由引理5可以推出如下定理.

    定理2 結(jié)合(2),(3)的方法,同時(shí)

    i)對(duì)?k∈N,βk≥0;

    ii)假設(shè)1和假設(shè)2及引理5都滿足;

    iii)(dk)k∈N滿足充分下降條件,則全局收斂到問題(1)的穩(wěn)定點(diǎn)或者至少存在一個(gè)聚點(diǎn)是問題(1)的穩(wěn)定點(diǎn).

    定理3 在假設(shè)1和引理5的條件下,設(shè)算法Ⅱ中的(dk)k∈N滿足充分下降條件,則算法Ⅱ在一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)停止或收斂,即

    證 由(7)式可知,對(duì)?k∈N,βk≥0,只需證算法滿足引理5即可.

    不等式(4),(5)及定理2中的條件確保了?c>0,使得對(duì)?k∈N,有

    另一方面,假設(shè)2確保了?M1,>0使得‖sk‖≤M1,且‖gk‖≤(k∈N).因此,有

    假設(shè)?M>0,滿足‖gk+1‖≥M(k∈N),有,并令.若‖sk‖≤λ(?k∈N),由不等式(9)可知,對(duì)?k∈N,有

    這證明引理5是滿足的,因此定理3確保了算法Ⅱ的全局收斂性.

    3 討論

    除了由(4),(5)定義的線搜索方法以外,還有許多種非精確線搜索方法可以應(yīng)用于這兩種新的共軛梯度算法中,如

    其中0<δ<σ<1,0<γ<1.

    下面將給出使用由(10),(11)定義的線搜索方法的兩種新的共軛梯度算法.

    3.1 算法Ⅲ

    步驟0:選取初始點(diǎn)x1∈RN,給定參數(shù)0<δ<σ<1,0<γ<1,容許誤差0<ε?1,令d1=-g1,k=1.

    步驟1:給定xk,dk∈RN,計(jì)算滿足(10),(11)的αk>0.由(2)式計(jì)算xk+1∈RN.

    步驟2:若gk+1=0,停止.否則轉(zhuǎn)第3步.

    步驟3:由(6)式計(jì)算βk+1∈R,由(8)式計(jì)算搜索方向dk+1.步驟4:令k=k+1.轉(zhuǎn)到步驟1.

    3.2 算法Ⅳ

    步驟0:選取初始點(diǎn)x1∈RN,給定參數(shù)0<δ<σ<1,0<γ<1,容許誤差0<ε?1,令d1=-g1,k=1.

    步驟1:給定xk,dk∈RN,由不等式(10),(11)計(jì)算步長αk>0.由(2)式計(jì)算xk+1∈RN.

    步驟2:若gk+1=0,停止.否則轉(zhuǎn)第3步.

    步驟3:由(7)式計(jì)算βk+1∈R,再由(8)式計(jì)算搜索方向dk+1.

    步驟4:令k=k+1.轉(zhuǎn)到步驟1.

    4 數(shù)值試驗(yàn)

    分別給出算法Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ的一些數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果,比較它們的性能.從CUTE測(cè)試函數(shù)庫中選擇了無約束優(yōu)化問題完成本次試驗(yàn).表1中列出了本次數(shù)值實(shí)驗(yàn)的測(cè)試問題及結(jié)果,其中Problem表示測(cè)試問題的名稱,NI為迭代次數(shù),NF為函數(shù)值計(jì)算次數(shù),NG為梯度值計(jì)算次數(shù),g為最終得到的梯度的范數(shù).所有算法均采用 Matlab編程,在程序中參數(shù)設(shè)置為:ρ=0.4,δ=0.5,σ=0.6,γ=0.8,且ε=10-4.

    表1 算法Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ的數(shù)值結(jié)果Tab.1 The numerical results of the Algorithm Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ

    由表1可知,算法Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ在不同的函數(shù)上性能表現(xiàn)有很大差異.因此,并沒有一種算法適應(yīng)于所有的函數(shù).對(duì)于不同的函數(shù)應(yīng)該進(jìn)行大量的實(shí)驗(yàn)以找出最適合函數(shù)自身的一種或幾種算法.因此,對(duì)于共軛梯度算法進(jìn)行全面的研究是很有必要的.

    [1]Yuan Yaxiang.Analysis on the conjugate gradient method[J].Optim Methods softw,1993,2(1):19.

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    [3]Dai Yuhong,Yuan Yaxiang.A nonlinear conjugate gradient method with a strong global convergence property[J].SIAM J Optim,1999,10(1):177.

    [4]Dai Yuhong.Further insight into the convergence of the Fletcher-Reeves method[J].Sci China:Ser A,1999,42(9):905.

    [5]Du Shouqiang,Chen Yuanyuan.Global convergence of a modified spectral FR conjugate gradient method[J].Appl Math Comput,2008,202(2):766.

    [6]Hideaki I,Yasushi N.Conjugate gradient methods using value of objective function for unconstrained optimization[J].Optim Lett,2012,6(5):914.

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    [8]馬昌鳳.最優(yōu)化方法及其 Matlab程序設(shè)計(jì)[M].北京:科學(xué)出版社,2010:47.

    [9]張秀軍,徐安農(nóng).一種新的非線性共軛梯度法的全局收斂性[J].廣西科學(xué),2005,12(4):283.

    [10]李敏,屈愛平.一種充分下降的PRP共軛梯度法的全局收斂性[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2013,35(2):148.

    [11]Qian Weiyi,Cui Haijuan.A new method with sufficient sescent property for unconstrained optimization[J].Abstr Appl Anal,to be published.

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