仇金祥
求陰影部分面積是圓中的重要題型之一,也是中考中的常見(jiàn)題型. 下面以中考題為例,舉例說(shuō)明解決這類問(wèn)題的常用方法與技巧,供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.
一、 和差法
陰影部分的面積可以看成是幾個(gè)規(guī)則圖形面積的和或差.
例1 (2014·湖北荊門)如圖1,在?ABCD中,以點(diǎn)A為圓心,AB的長(zhǎng)為半徑的圓恰好與CD相切于點(diǎn)C,交AD于點(diǎn)E,延長(zhǎng)BA與☉A相交于點(diǎn)F. 若的長(zhǎng)為,則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____.
【解析】圖中陰影部分的面積可以看作是△ACD的面積與扇形ACE的面積之差. 如圖1,連接AC,∵DC是☉A的切線,∴AC⊥CD. 又∵AB=AC=CD,∴△ACD是等腰直角三角形,∴∠CAD=45°. 又∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,∴∠CAD=∠ACB=45°. 又∵AB=AC,∴∠ACB=∠B=45°,∴∠FAD=45°. ∵的長(zhǎng)為,∴=,解得:r=2,∴S陰影=S△ACD-S扇形ACE=×2×2-=2-.
二、 分割法
把不規(guī)則的圖形的面積分割成幾個(gè)規(guī)則圖形的面積來(lái)計(jì)算,進(jìn)而得到問(wèn)題的答案.
例2 (2014·四川廣安)如圖2,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,上底AD為,以對(duì)角線BD為直徑的☉O與CD切于點(diǎn)D,與BC交于點(diǎn)E,且∠ABD為30°. 則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____. (結(jié)果保留π)
【解析】連接OE,過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BE于點(diǎn)F. ∵∠ABC=90°,AD=,∠ABD=30°,∴BD=2,AB=3,∠DBC=60°.
∵OB=OE,∴△OBE是等邊三角形,∵BO=OD=,∴BE=,OF=. ∵CD為☉O的切線,∴∠BDC=90°,∴∠C=30°,∴BC=4,S陰影=
S梯形ABCD-S△ABD-S△OBE-S扇形ODE=---π=-π.
三、 割補(bǔ)法
將不規(guī)則圖形的面積進(jìn)行割補(bǔ)轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積來(lái)計(jì)算.
例3 (2009·四川涼山州)將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A′BC′,使A、B、C′在同一直線上,∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=4 cm,則圖3中陰影部分面積為_(kāi)_____cm2.
【解析】將△A′BC′中的陰影部分割下后補(bǔ)到△ABC上,則陰影部分的面積為兩個(gè)扇形面積之差. 兩個(gè)扇形的圓心角都是120°,半徑分別為2 cm和4 cm,所以陰影部分面積=×16×π-×4×π=4π(cm2).
四、 平移法
通過(guò)圖形的平移,將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積來(lái)計(jì)算.
例4 如圖4,兩個(gè)半圓中,小圓的圓心O′在大☉O的直徑CD上,長(zhǎng)為4的弦AB與直徑CD平行且與小半圓相切,那么圖中陰影部分面積等于______.
【解析】按照常規(guī)思路,圖中陰影部分的面積等于兩個(gè)半圓的面積之差,但兩個(gè)半圓的半徑都不知道,而在圖4中很難發(fā)現(xiàn)兩個(gè)半圓的半徑與弦AB的關(guān)系,為此,將圖4中的小圓“動(dòng)”起來(lái)——沿直徑CD將☉O′向右平移,使O′與O重合,從而得到圖5,此時(shí)圖中陰影部分的面積不變. 設(shè)弦AB與☉O′相切于點(diǎn)E,連接OE、OB,則OB2-OE2=
AB2,所以S陰影=π(OB2-OE2)=π×BE2=2π.
五、 等積法
將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為與它等積的規(guī)則圖形的面積來(lái)計(jì)算.
例5 (2014·四川綿陽(yáng))如圖6,☉O的半徑為1 cm,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于☉O,則圖中陰影部分面積為_(kāi)_____cm2. (結(jié)果保留π)
【解析】圖形中的陰影部分是不規(guī)則圖形,面積較難計(jì)算. 連接BO、CO、AO,注意到六邊形ABCDEF是☉O的內(nèi)接正六邊形,☉O的半徑為1 cm,∴AB=BC=CO=BO=AO= 1 cm,△ABO、△OBC都是等邊三角形,∴AO∥BC,因此,圖中陰影部分的面積=扇形OBC的面積,即S陰影=S扇形OBC==(cm2).
六、 方程法
通過(guò)構(gòu)造方程(組)的方法來(lái)計(jì)算不規(guī)則圖形的面積.
例6 如圖7,正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為16,求以各邊為直徑的半圓所圍成的葉形圖案的總面積.
【解析】如圖7,由正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)為16,可知正方形的邊長(zhǎng)=8,設(shè)一個(gè)葉子的面積為x,一個(gè)空白部分的面積為y,則有:4x+4y=128,
2x+y=16π.解得4x=64π-128,即葉形圖案的總面積為64π-128.
求陰影部分的面積方法多,技巧性強(qiáng),在解題時(shí)要因地制宜,靈活選用上述方法.
小試身手
1. (2014·重慶)如圖8,△OAB中,OA=OB=4,∠A=30°,AB與☉O相切于點(diǎn)C,則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____.(結(jié)果保留π)
2. 如圖9,PA,PB切☉O于A,B兩點(diǎn),若∠APB=60°,☉O的半徑為3,則陰影部分的面積為_(kāi)_____.
3. 如圖10,半圓的直徑AB=10,P為AB上一點(diǎn),點(diǎn)C、D為半圓的三等分點(diǎn),則陰影部分的面積等于_______.
4. (2014·山東泰安)如圖11,半徑為2 cm,圓心角為90°的扇形OAB中,分別以O(shè)A、OB為直徑作半圓,則圖中陰影部分的面積為( ).
A.
-1 cm2 B.
+1 cm2
C. 1 cm2 D. cm2
5. (2014·山東煙臺(tái))如圖12,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于☉O,若☉O的半徑為4,則陰影部分的面積等于______.
6. (2014·浙江寧波)如圖13,半徑為6 cm的☉O中,C、D為直徑AB的三等分點(diǎn),點(diǎn)E、F分別在AB兩側(cè)的半圓上,∠BCE=∠BDF=60°,連接AE、BF,則圖中兩個(gè)陰影部分的面積之和為_(kāi)_____cm2.